周益春材料固體力學(xué)習(xí)題解答習(xí)題三

--第三章彈性本構(gòu)關(guān)系和彈性問題的求解習(xí)題習(xí)題1、試?yán)酶飨虍愋岳硐霃椥泽w的廣義虎克定律導(dǎo)出：在什么條件下，理想彈性體中的主應(yīng)力方向和主應(yīng)變方向相重合？解：各向異性理想彈性體的廣義虎克定律為：（a）當(dāng)時，三個互相垂直的應(yīng)力方向為主應(yīng)力方向。當(dāng)時，三個互相垂直的應(yīng)變方向為主應(yīng)變方向。在主應(yīng)變方向上，剪應(yīng)力分量為：（b）若使，則式中，，具有非零解的條件為（c）上式即為x，y，z軸同時為應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸的條件。如果材料性能對稱于一個平面，如Oxy平面，則，而且，此時（c）式恒等于零。在此情況下，當(dāng)存在以x，y，z軸為主方向的應(yīng)變狀態(tài)時，其對應(yīng)的剪應(yīng)力分量將成為（d）若應(yīng)變分量之間滿足，則此點的應(yīng)變主方向和應(yīng)力主方向重合。如果材料性能對稱于Oxy，Oyz，Ozx三個平面，則有，此時（d）式總是滿足的。由此可知，當(dāng)x，y，z軸為應(yīng)變的主方向時，也必定為應(yīng)力的主方向。但是，當(dāng)應(yīng)變主方向和正交軸不重合時，一般它與應(yīng)力的主方向是不重合的。對于各向同性彈性體，不需要任何補充條件，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向總是重合的。習(xí)題2、對于各向同性彈性體，試導(dǎo)出正應(yīng)力之差和正應(yīng)變之差的關(guān)系式。且進一步證明：當(dāng)其主應(yīng)力的大小順序為時，其主應(yīng)變的排列順序為。解：各向同性條件下的廣義虎克定律為將上式中的（1）－（2），（2）－（3），（3）－（1）分別得：即證明：當(dāng)其主應(yīng)力的大小順序為時，其主應(yīng)變的排列順序為。且，利用上述正應(yīng)力之差和正應(yīng)變之差的關(guān)系式有。習(xí)題3、將某一小的物體放入高壓容器內(nèi)，在靜水壓力作用下，測得體積應(yīng)變，若泊松比=0.3，試求該物體的彈性模量。解：設(shè)為第一應(yīng)力不變量，而，據(jù)各向同性條件下的廣義虎克定律為有：，其中體積應(yīng)變，故有習(xí)題4、在各向同性柱狀彈性體的軸向施加均勻壓力，且橫向變形完全被限制?。ㄈ鐖D所示）。試求應(yīng)力與應(yīng)變的比值（稱為名義楊氏模量，以表示）。解：設(shè)柱體的軸線z軸，。因為橫向變形被限制，所以。據(jù)各向同性條件下的廣義虎克定律圖3-1圖3-1得：，，將此兩式相減得：，而泊松比的理論取值范圍為，故，將其代入廣義虎克定律得：從而，得解。習(xí)題5、在某點測得正應(yīng)變的同時，也測得與它成60。和90。方向上的正應(yīng)變，其值分別為，，，試求該點的主應(yīng)變、最大剪應(yīng)變和主應(yīng)力（，）。解：設(shè)該點的x，y軸向的正應(yīng)變分別為，，剪應(yīng)變?yōu)椤Ｈ我夥较颍榕cx軸正向的夾角）上的正應(yīng)變?yōu)椋核?，，，解由此三式組成的方程組得該點的，和分別為：,（1）計算該點的主應(yīng)變：由、、和得該點的主應(yīng)變?yōu)椋海?）該點的最大剪應(yīng)變。（3）計算該點的主應(yīng)力：現(xiàn)、、，據(jù)向同性條件下的廣義虎克定律得，即，所以將、、、及、代入上面三式得：習(xí)題6、根據(jù)彈性應(yīng)變能理論的應(yīng)變能公式，導(dǎo)出材料力學(xué)中桿件拉伸、彎曲及圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能公式分別為：解：（1）桿件拉伸的應(yīng)變能公式推導(dǎo)：設(shè)桿件橫截面積為，彈性模量為，如圖建立坐標(biāo)系。桿件為單向拉伸，只存在軸向的伸長或縮短，軸向纖維間無剪切變形，即。同時軸向纖維間無相互作用力，即。據(jù)彈性應(yīng)變能理論的應(yīng)變能公式（其余分量產(chǎn)生的應(yīng)變能為零）。O圖3-2現(xiàn)在桿件上x處取一微段dx，其體積為，其應(yīng)變能O圖3-2,而整個桿件的拉伸應(yīng)變能為：而，故整個桿件的拉伸應(yīng)變能為：（2）桿件彎曲的應(yīng)變能公式的推導(dǎo)：在材料力學(xué)中桿件在外力作用下發(fā)生純彎曲，僅軸向纖維發(fā)生拉伸或壓縮變形（其中中性層以內(nèi)的纖維層受壓縮，中興層以外的纖維層伸長），而軸向纖維之間無相互作用的內(nèi)力，即和。在桿件上沿軸向去取一微段，在此微段的橫截面上取一個微面，在上的應(yīng)力可為相同的，而。故，其中只與x有關(guān)。桿件彎曲的撓度為，撓度曲線的曲率為（3）圓軸扭轉(zhuǎn)的變形能公式推導(dǎo)：設(shè)圓軸的軸向為z軸。在材料力學(xué)中，圓軸扭轉(zhuǎn)變形后，其橫截面仍為平面，半徑仍為直線，且沿z軸相鄰兩截面的距離不變，故有在圓軸軸向z處取一微段，在微段的橫截面（圓截面）上的半徑處取一微面積，上的應(yīng)力可為相同的，則。據(jù)平衡方程有：而，故，令。，而，故，只與z有關(guān)，即。習(xí)題7、試推導(dǎo)體積變形應(yīng)變能密度及畸變應(yīng)變能密度的公式分別為：解：應(yīng)變張量可分為球形應(yīng)變張量和應(yīng)變偏量張量之和：，即。其中球形應(yīng)變張量表示體積變形（體積的等向收縮或膨脹），不產(chǎn)生形狀畸變，它由球形應(yīng)力張量所引起，僅產(chǎn)生體積變形應(yīng)變能；而應(yīng)變偏量張量表示形狀畸變，不產(chǎn)生體積變形，它由應(yīng)力偏量張量所引起，僅產(chǎn)生畸變應(yīng)變能。應(yīng)力張量可分為球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量之和：，即，變形應(yīng)變能密度分為體積變形應(yīng)變能密度與畸變應(yīng)變能密度之和，即其中，。所以無論如何有：，故據(jù)虎克定律有：，據(jù)虎克定律有：，習(xí)題8、如圖所示結(jié)構(gòu)，梁AB在A處固支，長為l，截面積為F1，截面慣性矩為I。桿BC在B處與梁鉸接，截面積為F2，。材料彈性模量為E，B點受載荷P的作用，設(shè)梁的壓縮量為，撓度曲線為，和a均為待定的變形參數(shù)?？紤]桿BC的拉伸及梁AB的壓縮與彎曲，用最小勢能原理求B點的水平和垂直位移。l-ΔΔ圖3-3解：梁AB被壓縮，其變形能為l-ΔΔ圖3-3桿BC被拉伸,其變形能為。其中，。梁AB的撓度曲線為，其彎曲變形能為外力功為：。總勢能為據(jù)最小勢能原理：，，其中可以取任何值，。B點的垂直位移為，水平位移為。習(xí)題9、如圖所示，簡支梁長為l，抗彎剛度為EI，中點受P力作用，支座之間有彈性介質(zhì)支承，其彈性系數(shù)為k（即每單位長介質(zhì)對撓度提供的支反力）。設(shè)撓度曲線為，試分別用李茲法和迦遼金法求梁中點B的撓度。圖3-4解：（1）用李茲法求梁中點B的撓度：圖3-4撓度曲線為，，滿足A，C兩點的邊界條件。簡支梁的變形能為：。中點B處彈性支承的反力，彈性支承的變形能為：總變形能為：。外力功為：，總勢能為：，按李茲法有：（2）用迦遼金法求梁中點B的撓度：將撓度曲線代入y向平衡方程得：，將其代入迦遼金方法的積分式中得：即習(xí)題10、試用李茲法求如圖所示的一端固定、一端自由的壓桿臨界載荷，設(shè)該壓桿的長度圖3-5為l，抗彎剛度為EI（常數(shù)），其撓度曲線為。圖3-5解：撓度曲線為可以滿足所要求的邊界條件，壓桿失穩(wěn)后的彎曲應(yīng)變能為外力功，其中d為失穩(wěn)后由彎曲引起壓桿頂端處向下的豎直位移：勢能為：。應(yīng)用李茲法有，如果，此方程雖然是滿足了，但是這表示該壓桿保持直的，根本沒有失穩(wěn)，所以。由此得：此結(jié)果正好是精確解，這是因為所設(shè)的撓度曲線正好是失穩(wěn)后的真實撓度曲線。習(xí)題11、已知如圖所示的半無限彈性體的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用，試用位移法求位移及應(yīng)力分量。解：一、求位移函數(shù)用位移法求解時，須求出滿足邊界條件及滿足以位移分量表示的平衡方程組：圖3-6M其中圖3-6M可以找到滿足平衡方程組的兩組特解：（a）（b）上述兩組特解的線性組合可作為通解：（c）其中A1和A2由邊界條件來確定,將其代入由位移表示的應(yīng)力得：（d）在邊界上（z=0面），除外力作用點外，，前一條件自然滿足，而后一條件由上式的第四式可得：（e）另外假想過M點作一與邊界面平行的面，將半無限彈性體的上部取出，根據(jù)被取部分Z向平衡條件得：（f）將（d）中的代入（f）得，積分此式得：（g）由式(e)、(g)解得（h）將A1，A2代入（c）式得位移函數(shù)為：（I）二、求應(yīng)力分量將A1、A2代回(d)，可得應(yīng)力分量的計算公式：（j）三、討論：1）以上所得應(yīng)力和位移，當(dāng)R增大時應(yīng)力、應(yīng)變值迅速減小，即帶有局部性質(zhì)。2）當(dāng)時，各應(yīng)力分量都趣于無限大，這是因為假設(shè)外力集中作用在一點的緣故，實際上載荷不可能加在一個幾何點上，而是分布在一個小面積上，因此實際應(yīng)力不會是無限大而是相當(dāng)大甚至已進入塑性階段。根據(jù)圣維南原理，只要稍離集中力作用點，以上的應(yīng)力與位移公式仍可認(rèn)為是正確的。3）由(j)式可見，當(dāng)z=0時，在彈性半空間的邊界面上有（k）這說明，邊界面上各點受到純剪切作用。4）當(dāng)r=0，R=z時，即在z軸上的各點，由(j)式可得(l)式。這說明在z軸上各點受到兩向拉伸、一向壓縮，它的主應(yīng)力為（m）式，以絕對值來比較，比徑向及周向應(yīng)力大得多。以上結(jié)果是研究接觸問題的基礎(chǔ)。（l）（m）習(xí)題12、試用應(yīng)力函數(shù)求解第11題中半無限彈性體的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用時的位移及應(yīng)力分量，并求水平邊界面上任意一點的沉陷。解：半無限彈性體的界面上承受垂直于界面的集中力P的作用是一個空間軸對稱問題，所有的物理分量都只是r和z的函數(shù)，與無關(guān)。將上述應(yīng)力函數(shù)代入如下求應(yīng)力分量的公式：(a)其中(b)得（c）在邊界上（z=0面），除外力作用點外，，前一條件自然滿足，而后一條件由上式的第四式可得：（d）另外假想過M點作一與邊界面平行的面，將半無限彈性體的上部取出，根據(jù)被取部分Z向平衡條件得：（e）將（c）中的代入（e）式并積分得（f）式(d)中r為任意值，故只有分子為零，即(g)由式(f)、(g)解得C2和C3，將C2和C3代入式(d)得。然后利用虎克定律求出，根據(jù)求出C1。得應(yīng)力分量為（h）將（h）式代入以應(yīng)力分量表示的位移公式求出位移為利用上述位移公式求出水平邊界面上任意一點的沉陷為習(xí)題13、如圖所示，設(shè)有半空間無限大彈性體，單位體積的質(zhì)量為，在水平邊界面上受均布壓力q的作用，試用位移法求位移分量和應(yīng)力分量（并假設(shè)在z=h處w=0）。解：由于對稱（任意鉛直面都是對稱面）試假設(shè)。這樣就得因為半空間無限大彈性體體力分量所以上述假設(shè)在x，y向滿足以位移表示的平衡微分方程：圖3-7圖3-7而在z向的平衡微分方程為，簡化后得（a）積分后得（b）（c）其中A和B為積分常數(shù)?，F(xiàn)據(jù)邊界條件來確定A和B。將以上的結(jié)果代入以位移分量表示應(yīng)力的物理方程（d）得（e）在邊界面上（z=0面），即，代入（e）式得。再回代（e）式得應(yīng)力分量：（f）并由（c）式得z向位移（g）為了確定常數(shù)B，必須利用位移邊界條件。由于在z=h處w=0，代入（g）式得。再回代（g）式得位移分量：至此位移分量和應(yīng)力分量全部求出。習(xí)題14、球形容器的內(nèi)半徑為a，外半徑為b，內(nèi)部作用著壓力為Pi，外部壓力為Pe，試用位移法求其應(yīng)力分量（不計體