2020-2021學(xué)年河南省鶴壁市淇濱高級中學(xué)高二下學(xué)期第三次周考數(shù)學(xué)（文）試題

鶴壁市淇濱高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期第三次周考文科數(shù)學(xué)試卷考試時間：120分鐘注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（每小題5分，共12題60分）1．若集合，則（）A． B． C． D．2．“”是“直線與直線平行”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（1，2） B．（1，5） C．（2，3） D．（2，5）4．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．5．已知在正四面體中，點為棱的中點，則異面直線與成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)（，，均為正常數(shù)），相鄰兩個零點的差為，對任意，恒成立，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．7．已知，則（）A． B． C． D．58．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A．3 B．6 C．9 D．129．如果點在平面區(qū)域上，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，有如下四個結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；②函數(shù)的圖象的一條對稱軸為；③，都有，則的最小值為；④，使得，則的最大值為.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②③11．設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且時，當(dāng)時，，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程且有且只有4個不同的根，則實數(shù)a的范圍是（）A． B． C． D．12．設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．第II卷（非選擇題）二、填空題（每題5分，共4道題20分）13．不等式≥0的解集為_______．14．設(shè)實數(shù)，，滿足約束條件，則的最小值為___________．15．已知向量，則與的夾角大小為___________.16．給出下列4個命題，其中正確命題的序號____________.①；②函數(shù)有5個零點；③函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.④已知復(fù)數(shù)滿足，且，則.三、解答題（每題12分，共60分）17．已知全集，集合，，（1）求，；（2）已知集合，若，求實數(shù)a的取值范圍．18．如圖，在直三棱柱中，，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.19．隨著科技的發(fā)展，近年看電子書的國人越來越多；所以近期有許多人呼呼“回歸紙質(zhì)書”，目前出版物閱讀中紙質(zhì)書占比出現(xiàn)上升現(xiàn)隨機(jī)選出200人進(jìn)行采訪，經(jīng)統(tǒng)計這200人中看紙質(zhì)書的人數(shù)占總?cè)藬?shù).將這200人按年齡分成五組：第l組，第2組，第3組，第4組，第5組，其中統(tǒng)計看紙質(zhì)書的人得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求的值及看紙質(zhì)書的人的平均年齡；（2）按年齡劃分，把年齡在的稱青壯年組，年齡在的稱為中老年組，若選出的200人中看電子書的中老年人有10人，請完成下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為看書方式與年齡層有關(guān)？附：（其中）.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．已知橢圓的左?右焦點分別為，，為橢圓上位于軸上方一點，線段與圓相切于該線段的中點，且的面積為2.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，且，求直線的方程.21．已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在實數(shù)，使得對于任意的恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.四、選做題（共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按第一題計分）22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為，(α為參數(shù))，直線C2的方程為，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程；（2）若直線C2與曲線C1交于A，B兩點，求.23．已知，.（1）求證：；（2）若，求的最小值.

參考答案1．C【分析】先解一元二次不等式化簡集合A，再進(jìn)行交集運算即可.【詳解】由解得或，故或，又，所以.故選：C.2．A【分析】由直線平行的判定有，求得m值，注意驗證直線是否平行而非重合，根據(jù)等價原則判斷條件間的充分、必要性.【詳解】若直線與直線平行，則，∴，當(dāng)時，兩條直線都為，即重合，舍掉；當(dāng)時，直線分別為、，符合題意；故“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選：A.3．A【分析】作出函數(shù)圖象，有2個實根，故方程有3個實根，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出參數(shù)的取值范圍.【詳解】由，得或，作出的圖象，如圖所示，由圖可知，方程有2個實根，故方程有3個實根，故m的取值范圍為.故選：A【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解4．C【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義和函數(shù)的解析式判斷.【詳解】A.函數(shù)的定義域是，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯誤；B.在上單調(diào)遞減，故錯誤；C.因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，正確；D.因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故錯誤；故選：C．5．A【分析】如圖，取的中點，連接，則由題意可得為異面直線與所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可【詳解】解：設(shè)正四面體的棱長為，如圖，取的中點，連接，因為點為棱的中點，所以∥，，所以為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，因為正四面體的棱長為，所以，所以，故選：A6．A【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)圖象的性質(zhì)得出解析式，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系.【詳解】解：函數(shù)（，，均為正常數(shù)）相鄰兩個零點的差為，所以，所以對任意，恒成立即，故所以．故，由于，函數(shù)在上單調(diào)遞減故．故選：A．【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小，從而得出大小關(guān)系.7．B【分析】根據(jù)，求得的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積運算求解.【詳解】因為，所以，所以，故選：B8．A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出公差即可求解.【詳解】因為等差數(shù)列中，，所以，所以，則.故選：A9．A【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合即可的得到結(jié)論.【詳解】如圖，先作出點所在的平面區(qū)域.表示動點P與定點連線的斜率.聯(lián)立，解得.于是.因此.故選：A.10．B【分析】化簡函數(shù)解析式，構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷①，化簡函數(shù)解析式求解對稱軸以及定義域判斷②，利用基本不等式求解函數(shù)的最值判斷③④.【詳解】函數(shù).①令，，因為，所以是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；所以①正確；②函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，但是函數(shù)的定義域為：，定義域不關(guān)于對稱，所以判斷函數(shù)的圖象的一條對稱軸為不正確，所以②不正確；③，都有，即，當(dāng)時，，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，綜上，，所以，所以的最小值為，所以③正確；④，使得，即，所以，的最大值為，所以④不正確；故選：B.【點睛】利用恒成立問題求解參數(shù)范圍時，一般利用參變分離法將不等式變形為或恒成立，再轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最大（?。┲担缓蟾鶕?jù)函數(shù)的性質(zhì)或者基本不等式求解最大（?。┲?11．D【分析】根據(jù)已知條件判斷函數(shù)周期性，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，把方程根的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，再利用數(shù)形結(jié)合的思想求得參數(shù)取值范圍即可.【詳解】∵是偶函數(shù)，∴，又，∴對于任意的，都有，所以，所以函數(shù)是一個周期函數(shù)，且，又因為當(dāng)時，，且函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有4個不同的實數(shù)解，則函數(shù)與在區(qū)間上有四個不同的交點，作函數(shù)和的圖象，如圖所示，需，又，則對于函數(shù)，由題意可得，當(dāng)時的函數(shù)值小于1，即，由此解得，所以的范圍是.故選：D.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點個數(shù)（方程根的個數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法：（1）直接法：通過解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)的值（或范圍）；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域的問題，并結(jié)合題意加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對函數(shù)解析式變形，化為兩個函數(shù)的形式，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，然后根據(jù)兩個圖象的位置關(guān)系得到關(guān)于參數(shù)的不等式（組）解出參數(shù)取值范圍即可.12．B【分析】函數(shù)在區(qū)間上有三個零點轉(zhuǎn)化為與在區(qū)間上有三個交點，借助斜率求解即可.【詳解】令，可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象（如圖所示）.當(dāng)時，.由得.設(shè)過原點的直線與函數(shù)的圖象切于點，則有，解得.所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖象切時.又當(dāng)直線經(jīng)過點時，有，解得.又，所以結(jié)合圖象可得當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個交點時，實數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個零點時，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點的個數(shù)（方程根的個數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點問題常用此方法求解.13．；【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化整式不等式，再利用一元二次不等式的結(jié)論求解．【詳解】．故答案為：．14．【分析】作出可行域，再將直線變形為，結(jié)合圖像判斷出直線過點C時取最小值，代入計算.【詳解】由約束條件作出可行域如圖所示，則變形得，由圖可知，當(dāng)直線過點C時，取最小值，計算得點C坐標(biāo)為，代入計算得.故答案為：.15．【分析】由向量數(shù)積的坐標(biāo)公式，可求得答案.【詳解】由向量，則，則，由與的夾角的范圍為.與的夾角大小為故答案為：16．②③【分析】①分別與比較大小，即可得大小關(guān)系；②作出函數(shù)圖象判斷交點個數(shù)；③計算即可判斷；④設(shè)，表示出，解得或，再分別討論即可.【詳解】對①，因為，，，所以，故①不正確；對②，有五個零點，即函數(shù)與有五個交點，做出函數(shù)圖象如圖所示，可知②正確；對③，因為，所以函數(shù)關(guān)于點對稱，故③正確；對④，設(shè)，由題意，，所以，得或，當(dāng)時，，解得或（舍去），此時；當(dāng)時，，解得，，則，故④不正確.故答案為：②③【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．17．（1）；；（2）【分析】（1）解不等式求得集合，再利用集合的交集、補(bǔ)集以及并集運算求得結(jié)果；（2）先求集合補(bǔ)集，結(jié)合數(shù)軸確定實數(shù)取值范圍，解不等式可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）又，，（2），當(dāng)時，，滿足，即，解得當(dāng)時，，要滿足，結(jié)合數(shù)軸：由數(shù)軸可知，，解得：綜上可知，實數(shù)a的取值范是：【點睛】易錯點睛：本題考查利用集合的并集結(jié)果確定參數(shù)問題，易錯點是要注意：的補(bǔ)集時全集，所以要分集合和集合兩種情況討論，考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題.18．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）利用線面平行的判定定理證明即可．【詳解】（1）證明：因為在直三棱柱中，底面，所以，又因為，，所以平面.（2）取的中點，因為為的中點，所以，且，因為為的中點，，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.19．（1）,；（2）列聯(lián)表見解析，能.【分析】（1）由頻率分布直方圖均值公式計算求解即可；（2）計算各段的人數(shù)完成列聯(lián)表，利用公式求解的值求解，對照臨界值表判斷下結(jié)論即可【詳解】（1）由圖可得：，得所以看紙質(zhì)書的人的平均年齡為：.（2）由題意得看紙質(zhì)書和電子書的人數(shù)分別為：，.所以看紙質(zhì)書的160人中，青壯年組、中老年組的人數(shù)分別為：.所以列聯(lián)表為：計算得的觀測值為，所以我們能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為看書方式與年齡層有關(guān).【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，獨立性檢驗的應(yīng)用，考查運算求解能力，是中檔題20．（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)線段的中點為，則由題意可得，，從而可得，再由的面積為2，可求出，再利用勾股定理可求得，從而可求出，進(jìn)而可得橢圓的方程；（2）先判斷出直線的斜率不為0，則直線的方程為，，，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，由可得，從而可求出的值，進(jìn)而可求出直線方程【詳解】解：（1）設(shè)線段的中點為，則，又是的中位線，所以，，由橢圓的定義知，因為面積為，解得，因為，解得，所以，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率為0時，此時，不合題意，當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，所以，，由（1）知，因為，所以，所以，所以，所以，所以，解得或，當(dāng)時，直線過點，不符合題意，所以直線的方程為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由得，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可求出直線方程，考查計算能力，屬于中檔題21．（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為，；（2）.【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，再對函數(shù)求導(dǎo)，然后通過判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意可得對于任意的恒成立，即，令，即對于任意的恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，使其小于等于零，從而可求出實數(shù)m的取值范圍【詳解】解：（