多元函數(shù)微分法

關(guān)于多元函數(shù)微分法第1頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三2(1)區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集

(2)多元函數(shù)概念n

元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)一、基本概念1.多元函數(shù)定義域及對應(yīng)規(guī)律(無幾何直觀)第2頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三3解:例1.

求的定義域．xoy所求定義域為:例2.設(shè)解:第3頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三4則稱常數(shù)A為函數(shù)描述性定義對于二元函數(shù)是定義域D的聚點對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱A為的極限記為：2.多元函數(shù)的極限(1)定義：設(shè)函數(shù)的定義域為D,是D的聚點.如果對于任意給定的正數(shù)總存在正數(shù)使得對于適合不等式的一切點都有成立，當時的極限.記為：或或記為這里第4頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三5(2)二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的區(qū)別與聯(lián)系①不同點：二元函數(shù)極限

的方式（路徑）不同一元函數(shù)的方式有兩種，故有

的方式是任意的，有無數(shù)個.沿任何路徑時極限存在且相等確定二元函數(shù)極限不存在的方法：☆令P(x,y)沿y=kx趨向于若極限值與k有關(guān)，則可斷言極限不存在；☆找兩種不同趨近方式，使存在，但兩者不相等，此時也可斷言f(x,y)或有的極限不存在，處極限不存在.在點第5頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三6②共同點：即有定義與有極限不能互相推出.●定義方式相同.故一元函數(shù)中凡是用定義證明的結(jié)論均可推廣到多元函數(shù)中.用定義只能證明極限.●在點是否有定義并不影響極限是否存在，③聯(lián)系：由于一元函數(shù)與二元函數(shù)極限的定義方式相同.所以一元函數(shù)極限的性質(zhì)如惟一性、保號性、局部有界性及極限的四則運算法則，夾逼準則；無窮小的概念與性質(zhì)，兩個重要極限及求極限的變量代換法，等價無窮小代換法等都可直接推廣到多元函數(shù)極限上來.

但一元函數(shù)極限的充要條件及洛必達法則不能用于多元函數(shù)極限上.第6頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三7例3.考察函數(shù)在原點的二重極限.解:第7頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三8例4.

求極限解:其中(或用等價無窮小代換)第8頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三93.多元函數(shù)的連續(xù)若令記則設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域為D，聚點若則稱函數(shù)z=f(x,y)在處連續(xù).(1)定義：(2)間斷點：點連續(xù)第9頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三10例如,函數(shù)在點(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.

故(0,0)為其間斷點.在圓周(3)多元初等函數(shù)：如：所表示的多元函數(shù)，有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過叫多元初等函數(shù).第10頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三11(4)多元函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用----求極限求時，如果f(P)是初等函數(shù)，定義域的內(nèi)點，則f(P)在點處連續(xù)且是f(P)的定理:定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．例5.求解:函數(shù)是二元初等函數(shù)，第11頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三124.多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(1)定義：第12頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三13(2)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的不同點：連續(xù)可導(dǎo)偏導(dǎo)記號已不再有“商”的含義.(3)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的共同點：故多元函數(shù)偏導(dǎo)的求法與一元函數(shù)類似.可以把一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和法則拿過來用.因此,定義方式相同.(4)偏導(dǎo)及高階偏導(dǎo)的記號：純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)第13頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三14例6.解:由定義可知：提示：求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求.(08數(shù)學(xué)三)第14頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三155.多元函數(shù)的全微分對于二元函數(shù)(1)可微的定義:●微分：●全微分的實質(zhì)：●可微能是是第15頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三16(2)多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)極限存在連續(xù)可微分偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)(3)判定函數(shù)可微的方法:不連續(xù)不可微.不可導(dǎo)不可微.可微★★★定義法:★偏導(dǎo)連續(xù)可微.是有定義第16頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三17函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時是無窮小量;時是無窮小量.能是是例7.第17頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三18(12數(shù)學(xué)一)(12數(shù)學(xué)三)第18頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三19(4)幾個需要記住的重要函數(shù)(反例):1)函數(shù)它在(0,0)處可導(dǎo),不可微,不連續(xù).2)函數(shù)它在(0,0)處不可微、不可導(dǎo)、連續(xù).3)函數(shù)它在(0,0)處連續(xù),可導(dǎo),不可微.第19頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三20例8.

討論函數(shù)在原點處連續(xù)、可導(dǎo)、不可微.所以，所給函數(shù)在(0,0)處連續(xù).解:(2)第20頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三21可微例8.

討論函數(shù)解:

(2)由導(dǎo)數(shù)的定義知在原點處連續(xù)、可導(dǎo)、不可微.則第21頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三221.求具體顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求時，把x看成變量，其余變量均看成常量；求時，把y看成變量，其余變量均看成常量；2)求一點處偏導(dǎo)數(shù)的方法：先代后求先求后代利用定義3)求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法:逐次求導(dǎo)法

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)1)求偏導(dǎo)(函)數(shù)的方法：二、多元函數(shù)微分法第22頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三23第23頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三242.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則:3.全微分形式不變性:不論u,v是自變量還是因變量,都有：同路相乘,異路相加.單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo).第24頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三25例1.解:第25頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三26例2.解:第26頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三27(09數(shù)學(xué)一)第27頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三28法1：公式法：法3：微分法：誰看成變量.時把誰看成常量，注意求法2：直接法：兩邊求導(dǎo)，這時若對求導(dǎo)，把數(shù)誰是自變量，把均看成變量用一階微分形式不變性及微分法則.誰是函數(shù)，兩邊微分，不用區(qū)分

求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也有類似的方法.請選用恰當?shù)姆椒?3.求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的三個方法第28頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三29隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：

對兩邊對x求導(dǎo)得解這個關(guān)于的方程組即可.即第29頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三30定理1.

設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)第30頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三31定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程在點并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),滿足①在點滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確第31頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三32根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點的一個鄰域，在此鄰域內(nèi)，該方程(A)只能確立一個具有連續(xù)偏導(dǎo)的隱函數(shù)(B)可以確立具有連續(xù)性偏導(dǎo)的隱函數(shù)(C)可以確立具有連續(xù)性偏導(dǎo)的隱函數(shù)(D)可以確立具有連續(xù)性偏導(dǎo)的隱函數(shù)設(shè)則例3.提示:第32頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三33例4.

設(shè)解法1:直接求導(dǎo)法再對x

求導(dǎo)注意：對x求導(dǎo)時,應(yīng)把y看成常量,把z看成x,y的函數(shù).第33頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三34例4.

設(shè)解法2:利用公式設(shè)則解法3:利用微分法求導(dǎo)第34頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三35(10數(shù)學(xué)一,二)(13數(shù)三)第35頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三36解:方程兩邊求微分,得即例5.設(shè)是由方程和所確定的函數(shù),求(99考研)分析:自變量個數(shù)=變量總個數(shù)–方程總個數(shù)自變量與因變量由所求對象判定函數(shù)的個數(shù)=方程的個數(shù)第36頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三37一、基本概念二、多元函數(shù)微分法三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用第八章多元函數(shù)微分法推廣一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同.第37頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三381.在幾何中的應(yīng)用★求曲面的切平面及法線(關(guān)鍵:抓住法向量)

三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用曲面曲面

在點1)隱式情況：的法向量：切點曲面2)顯式情況：法線的方向余弦：法向量：切點第38頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三39★求曲線的切線及法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)

1)參數(shù)式情況.切向量2)一般式情況.切點切向量其指向與t的增長方向一致.第39頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三40★已知平面光滑曲線切點該曲線在處的切向量為：★若平面光滑曲線方程為特別的：其指向與t的增長方向一致.★若平面光滑曲線方程為第40頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三41思考:

平面曲線的切線(切向量)與法線(法向量).1.已知平面光滑曲線在點有切線方程:在處的切向量為：第41頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三422.若平面光滑曲線方程為故在點有法線方程第42頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三433.已知平面光滑曲線切線方程：法線方程：在點有第43頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三44例1.解:切向量為：所求切線方程為：法平面為：求曲線上對應(yīng)于的點處的切線與法平面方程.第44頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三45例2.

求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.解:

令則切向量切線方程即法平面方程即第45頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三46練習(xí)：解:

令(13數(shù)一)第46頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三472.極值與最值問題1)定義:(1)由定義知:極值點應(yīng)在定義區(qū)域內(nèi)部(內(nèi)點),而不能在邊界上.(3)在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;(2)該極值的概念可推廣到三元以上的多元函數(shù)上.說明：在點(0,0)有極大值;第47頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三482)極值的必要條件與充分條件定理1

(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),且在該點取得極值練習(xí):(2003研)設(shè)可微函數(shù)在點取得極小值,則下列結(jié)論正確的是()C第48頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三49第49頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三50定理1簡述為：駐點極值點(可導(dǎo)函數(shù))注1幾何意義：注2

逆命題不成立,即駐點不一定是極值點.故駐點極值點但在該點不取極值.因函數(shù)在該點的偏導(dǎo)不存在.1)駐點2)偏導(dǎo)中至少有一個不存在的點.第50頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三51定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且若函數(shù)令時,具有極值則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當時,沒有極值.3)當時,不能確定,需另行討論.1)駐點2)偏導(dǎo)中至少有一個不存在的點.第51頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三52例3.求函數(shù)解:解方程組得駐點(1,1),(0,0)故所求函數(shù)的極值為:對駐點(1,1):所以對駐點(0,0):所以函數(shù)在(0,0)處無極值.第52頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三533)求函數(shù)的極值的一般步驟：第三步:定出的符號，再判斷是否為極值.求出在定義區(qū)域內(nèi)部的實數(shù)解,第一步:

解方程組得駐點.第二步:求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.對于每一個駐點第53頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三54(12數(shù)學(xué)一,二)(09數(shù)學(xué)二)(09數(shù)學(xué)一,三9分)第54頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三55(11年數(shù)學(xué)一)第55頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三564)求條件極值的方法(消元法,拉格朗日乘數(shù)法)

極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1

代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題.對自變量只有定義域內(nèi)限制.對自變量除定義域內(nèi)限制外,還有其它限制條件.例如,轉(zhuǎn)化第56頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三57方法2

拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價于一元函數(shù)的極值問題,故極值點必滿足設(shè)例如,

極值點必滿足引入輔助函數(shù)第57頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三58拉格朗日乘數(shù)法:就是可能的極值點的坐標.輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.以上解正是的駐點.第58頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三59推廣:拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.例如,求函數(shù)下的極值.解方程組可得到條件極值的可疑點第59頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三60(1)最值的存在性：如函數(shù)(2)有界閉區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)的最值的求法與步驟：Ⅰ.找最值可疑點D內(nèi)的駐點及不可導(dǎo)點邊界上的可能極值點

Ⅱ.比較以上各點處的函數(shù)值,最大(小)者即為所求的最大(小)值.需求函數(shù)(假定函數(shù)在D有有限個可疑點)定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則在

D

上可取得最大值M及最小值m.5)求解閉域上連續(xù)函數(shù)最值問題第60頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三61解:如圖,例4.

求二元函數(shù)第61頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三62設(shè)解方程組得條件極值的可疑點為：另解求提示:3.比較以上各點處的函數(shù)值,最大(小)者即為所求的最大(小)值.練習(xí)：求函數(shù)在閉域2007研答案:第62頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三63

求多元函數(shù)在閉區(qū)域D上的最值,往往比較復(fù)雜.但如果根據(jù)問題的實際意義,知道函數(shù)在D內(nèi)存在最值,又知函數(shù)在D內(nèi)可微,且只有唯一駐點,則該點處的函數(shù)值就是所求的最值.特別,

當區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個極值點P時,★函數(shù)的最值應(yīng)用問題的解題步驟：第二步判別?比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小,?根據(jù)問題的實際意義確定最值.第一步找目標函數(shù),確定定義域(及約束條件);6)函數(shù)的最值應(yīng)用問題第63頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三64例5.求曲面與平面解：設(shè)為拋物面上任一點，則P

的距離為問題歸結(jié)為約束條件:目標函數(shù):到平面之間的最短距離.令得唯一駐點：根據(jù)問題的實際意義,知第64頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三65(08數(shù)學(xué)一,11分)(10數(shù)三)第65頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三66

在山坡上沿不同方向行走時陡緩不一樣.

空氣沿不同方向流動的快慢不一樣.

在數(shù)學(xué)上，即設(shè)函數(shù)當(x，y)沿不同方向改變時的變化率決定著陡緩與快慢.如圖：3.方向?qū)?shù)與梯度★問題的提出:第66頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三67★方向?qū)?shù)1)定義:則稱記作

xoy第67頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三68的方向?qū)?shù)為：第68頁，共76頁，2023年，2月20日，星期三692)方向?qū)?shù)的存在性及其計算方法:定理那么函數(shù)在該點沿任一方向的方向?qū)?shù)存在,且有