第1節(jié)-向量及其線性運(yùn)算分解

第七章空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算其次節(jié)數(shù)量積向量積*混合積第三節(jié)曲面及其方程第四節(jié)空間曲線及其方程第五節(jié)平面及其方程第六節(jié)空間直線及其方程521數(shù)量關(guān)系

—第七章第一部分向量代數(shù)其次部分空間解析幾何在三維空間中:空間形式

—點(diǎn),

線,

面基本方法

—坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù)522本章的主要內(nèi)容1．空間直角坐標(biāo)系2．向量代數(shù)向量代數(shù)的基本概念：向量、空間一點(diǎn)的矢徑、向量的模、單位向量、向量的方向余弦向量的基本運(yùn)算：向量的加減法、向量的數(shù)乘（實(shí)數(shù)與向量相乘）、向量的數(shù)量積（點(diǎn)乘、內(nèi)積）、向量的向量積（叉乘、外積）向量的基本性質(zhì)3．空間平面平面方程：點(diǎn)法式、一般式、截距式。兩平面間的關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離523本章的主要內(nèi)容4．空間直線直線方程：標(biāo)準(zhǔn)式、參數(shù)式、一般式、兩點(diǎn)式。兩直線間的關(guān)系、直線與平面的關(guān)系5．空間曲面一般方程、柱面方程、旋轉(zhuǎn)曲面方程、常見的二次曲面6．空間曲線一般方程、參數(shù)方程、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線524難點(diǎn)1.向量積與混合積．2.分析建立軌跡方程應(yīng)滿足的條件3.利用向量積、平面束等學(xué)問(wèn)解題4.熟悉截痕法用于畫出方程所表示的圖形525四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影向量及其線性運(yùn)算第七章526教學(xué)目的了解向量的概念，駕馭向量的加減法運(yùn)算及向量與數(shù)的乘法運(yùn)算及性質(zhì)；了解向量在軸上的投影，向量的重量及向量的坐標(biāo)，向量的模及方向余弦的坐標(biāo)表示式；了解空間直角坐標(biāo)系的概念，駕馭空間的點(diǎn)與三元有序數(shù)組之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。527基本要求完成向量的加法及向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的有關(guān)練習(xí)，給定兩非零向量能用幾何方法快速作出他們的差；了解坐標(biāo)面上的點(diǎn)，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱的點(diǎn)，關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征。會(huì)用向量的坐標(biāo)進(jìn)行向量的加、減法運(yùn)算。會(huì)用向量的坐標(biāo)計(jì)算向量的數(shù)乘、模，方向余弦，給定一個(gè)非零向量會(huì)求與其同方向的單位向量等。528留意事項(xiàng)熟悉概念：向量，向徑，自由向量，向量相等，向量的模，單位向量，零向量，兩向量平行。駕馭向量的加法及向量與數(shù)的乘法運(yùn)算；了解一非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量?？臻g直角坐標(biāo)系→建立三維空間的最基本的幾何元素―點(diǎn)與有序數(shù)組之間的聯(lián)系→，從而可以用代數(shù)方法來(lái)探討幾何問(wèn)題。對(duì)于向量的運(yùn)算（加、減、數(shù)乘、模，方向余弦及將要學(xué)習(xí)的內(nèi)積，向量積）就可以轉(zhuǎn)換為向量的坐標(biāo)之間的數(shù)的運(yùn)算。529一、向量概念既有大小,又有方向的量叫做向量.向量

有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.向量用一條有方向的線段(稱為有向線段)表示.向量的表示法

5210一、向量概念既有大小,又有方向的量叫做向量.向量

向量可用粗體字母、

或加箭頭的書寫體字母表示.

以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作AB

→向量用一條有方向的線段(稱為有向線段)表示.向量的表示法

與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量,稱為自由向量,簡(jiǎn)稱向量.自由向量

5211假如向量a和b的大小相等,且方向相同,則說(shuō)向量a和b是相等的,記為a=b.

相等的向量經(jīng)過(guò)平移后可以完全重合。向量的相等5212向量的模向量的大小叫做向量的模.單位向量

模等于1的向量叫做單位向量.零向量零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合,它的方向可以看作是隨意的.假如向量a和b的大小相等,且方向相同,則說(shuō)向量a和b是相等的,記為a=b.向量的相等5213向量的平行兩個(gè)非零向量假如它們的方向相同或相反,就稱這兩個(gè)向量平行.向量a與b平行,記作a//b.a//b//c零向量認(rèn)為是與任何向量都平行.當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)它們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線上因此兩向量平行又稱兩向量共線

共線向量與共面對(duì)量5214向量的平行兩個(gè)非零向量假如它們的方向相同或相反,就稱這兩個(gè)向量平行.向量a與b平行,記作a//b.零向量認(rèn)為是與任何向量都平行.共線向量與共面對(duì)量當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)它們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線上因此兩向量平行又稱兩向量共線

設(shè)有k(k3)個(gè)向量當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)假如k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上就稱這k個(gè)向量共面5215二、向量的線性運(yùn)算設(shè)有兩個(gè)向量a與b,平移向量,使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合,則從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c稱為向量a與b的和,記作a+b,即c=a+b.1.向量的加法

c=a+b三角形法則平行四邊形法則5216向量的加法的運(yùn)算規(guī)律

(1)交換律a+b=b+a;(2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).5217向量的減法向量b與a的差規(guī)定為

b-a=b+(-a).負(fù)向量三角不等式

|a+b||a|+|b|,|a-b||a|+|b|,等號(hào)在b與a同向或反向時(shí)成立.與向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量,記為-a.5218當(dāng)=0時(shí),|a|=0,即a為零向量.向量a與實(shí)數(shù)的乘積記作a,規(guī)定a是一個(gè)向量,它的模|a|=|||a|,它的方向當(dāng)>0時(shí)與a相同,當(dāng)<0時(shí)與a相反.>>>2.向量與數(shù)的乘法當(dāng)=-1時(shí),有(-1)a=-a.當(dāng)=1時(shí),有1a=a;5219(1)結(jié)合律(a)=(a)=()a;(2)安排律(+)a=a+a;(a+b)=a+b.向量與數(shù)的乘積的運(yùn)算規(guī)律向量的單位化于是a=|a|ea.當(dāng)=0時(shí),|a|=0,即a為零向量.向量a與實(shí)數(shù)的乘積記作a,規(guī)定a是一個(gè)向量,它的模|a|=|||a|,它的方向當(dāng)>0時(shí)與a相同,當(dāng)<0時(shí)與a相反.2.向量與數(shù)的乘法當(dāng)=-1時(shí),有(-1)a=-a.當(dāng)=1時(shí),有1a=a;設(shè)a0,則向量是與a同方向的單位向量,記為ea.5220

例1

形對(duì)角線的交點(diǎn).于是

解

由于平行四邊形的對(duì)角線相互平分,所以5221例2化簡(jiǎn)解5222*例3試證：任一個(gè)三角形的三條中線向量可以構(gòu)成一個(gè)三角形。證ABCDEF5223設(shè)向量a0,那么,向量b平行于a的充分必要條件是:存在唯一的實(shí)數(shù),使b=a.定理1(向量平行的充要條件)

給定一個(gè)點(diǎn)O及一個(gè)單位向量i就確定了一條數(shù)軸Ox并且軸上的點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系:

點(diǎn)P實(shí)數(shù)x實(shí)數(shù)x稱為軸上點(diǎn)P的坐標(biāo)

數(shù)軸與點(diǎn)的坐標(biāo)5224說(shuō)明：三、空間直角坐標(biāo)系

空間直角坐標(biāo)系

y軸z軸原點(diǎn)x軸在空間取定一點(diǎn)O和三個(gè)兩兩垂直的單位向量i、j、k就確定了三條都以O(shè)為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸

依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系稱為Oxyz坐標(biāo)系

(2)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則.(1)通常把x軸和y軸配置在水平面上,而z軸則是鉛垂線;5225在空間直角坐標(biāo)系中,隨意兩個(gè)坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面,這種平面稱為坐標(biāo)面.坐標(biāo)面三個(gè)坐標(biāo)面分別稱為xOy面,yOz面和zOx面.5226在空間直角坐標(biāo)系中,隨意兩個(gè)坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面,這種平面稱為坐標(biāo)面.坐標(biāo)面三個(gè)坐標(biāo)面分別稱為xOy面,yOz面和zOx面.卦限坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分,每一部分叫做卦限,分別用字母I、II、III、IV等表示.5227Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有三個(gè)坐標(biāo)面、ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ八個(gè)卦限5228各卦限中點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ一一對(duì)應(yīng)5229向量的坐標(biāo)分解式以O(shè)M為對(duì)角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長(zhǎng)方體有5230向量的坐標(biāo)分解式上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式

xi、yj、zk稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量

點(diǎn)M、向量r與三個(gè)有序x、y、z之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系任給向量r存在點(diǎn)M及xi、yj、zk使有序數(shù)x、y、z稱為向量r的坐標(biāo)

記作r(x

y

z)

有序數(shù)x、y、z也稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)

記為M(x

y

z)

5231向量的坐標(biāo)分解式上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式

xi、yj、zk稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量

任給向量r存在點(diǎn)M及xi、yj、zk使有序數(shù)x、y、z稱為向量r的坐標(biāo)

記作r(x

y

z)

有序數(shù)x、y、z也稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)

記為M(x

y

z)

向量稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑

5232坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)其坐標(biāo)各有確定的特征例如點(diǎn)M在yOz面上則x0點(diǎn)M在zOx面上的點(diǎn)y0點(diǎn)M在xOy面上的點(diǎn)z0點(diǎn)M在x軸上則yz0點(diǎn)M在y軸上,有zx0點(diǎn)M在z軸上的點(diǎn)有xy0點(diǎn)M為原點(diǎn)則xyz0坐標(biāo)軸上及坐標(biāo)面上點(diǎn)的特征5233提示：

a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,a+b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,a-b=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k,a=(ax)i+(ay)j+(az)k.設(shè)a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),則a=(ax,ay,az).ab=(axbx,ayby,azbz),四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算

5234例4其中a=(212)

b=(-11

-2).

解

猶如解二元一次線性方程組可得x2a3by3a5b

以a、b的坐標(biāo)表示式代入即得x2(212)3(11

2)(7

110)y3(212)5(11

2)(11

216)

設(shè)a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),則a=(ax,ay,az).ab=(axbx,ayby,azbz),5235利用坐標(biāo)推斷兩個(gè)向量的平行設(shè)a=(ax,ay,az)0,b=(bx,by,bz),因?yàn)閎//a

ba,即b//a(bx,by,bz)=(ax,ay,az),所以b//a

設(shè)a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),則a=(ax,ay,az).ab=(axbx,ayby,azbz),5236

解

例5已知兩點(diǎn)A(x1

y1

z1)和B(x2

y2

z2)以及實(shí)數(shù)1

這就是點(diǎn)M的坐標(biāo)

由于5237五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式按勾股定理可得有|OP||x||OQ||y||OR||z|

于是得向量模的坐標(biāo)表示式52381.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)向量r(x

y

z)作則設(shè)有點(diǎn)A(x1

y1

z1)和點(diǎn)B(x2

y2

z2)則(x2

y2

z2)(x1

y1

z1)(x2x1

y2y1

z2z1)于是點(diǎn)A與點(diǎn)B間的距離為5239

例6求證以M1(431)、M2(712)、M3(523)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形

1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)向量r(x

y

z)作則設(shè)有點(diǎn)A(x1

y1

z1)和點(diǎn)B(x2

y2

z2)則所以|M2M3||M1M3|即DM1M2M3為等腰三角形|M1M3|26(54)2(23)2(31)26

(57)2(21)2(32)2|M2M3|214

(74)2(13)2(21)2|M1M2|2

解因?yàn)?240

例7在z軸上求與點(diǎn)A(417)和B(35

2)等距離的點(diǎn)

1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)向量r(x

y

z)作則設(shè)有點(diǎn)A(x1

y1

z1)和點(diǎn)B(x2

y2

z2)則即(04)2(01)2(z7)2設(shè)所求的點(diǎn)為M(00

z)

解依題意有|MA|2|MB|2(30)2(50)2(2z)25241解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為所求點(diǎn)為5242

例9已知兩點(diǎn)A(405)和B(713)求與方向相同的單位向量e

解52432.方向角與方向余弦兩個(gè)向量的夾角當(dāng)把兩個(gè)非零向量a與b的起點(diǎn)放到同一點(diǎn)時(shí)兩個(gè)向量之間的不超過(guò)的夾角稱為向量a與b的夾角記作(a^b)或(b^a)

假如向量a與b中有一個(gè)是零向量規(guī)定它們的夾角可以在0與之間隨意取值類似地可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角

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