2022屆河南省九師聯(lián)盟高三信息卷（一）數(shù)學(xué)（文）試題

/16/16/2022屆河南省九師聯(lián)盟高三押題信息卷（一）數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．若集合，，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】先根據(jù)集合B的限制條件求出集合B，然后求交集.【詳解】∵，，∴,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2．若為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先通分，再進(jìn)行乘法和除法運(yùn)算.【詳解】,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的除法通常是利用分母實(shí)數(shù)化進(jìn)行，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3．若實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】作出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，確定取到最小值的點(diǎn)，然后求出最小值.【詳解】畫(huà)出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖陰影區(qū)域所示，令，則.分析知，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，且，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求解最值，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4．已知橢圓：（），，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，若，則（）A．4 B． C．2 D．【答案】A【解析】由橢圓的定義可得,由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得,根據(jù),進(jìn)而求解.【詳解】由題,因?yàn)?所以,又,所以,所以,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的焦距,考查橢圓的定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5．已知四棱錐的底面四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，若過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為四邊形的中心，且四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，則四棱錐的高為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)側(cè)棱與底面所成角建立等量關(guān)系，可求四棱錐的高.【詳解】如圖，設(shè)高為,根據(jù)線面角的定義可知是側(cè)棱與底面所成的角，據(jù)題設(shè)分析知，所求四棱錐的高，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用線面角求解四棱錐的高，找到線面角所在直角三角形是求解關(guān)鍵.6．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓：與圓：交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】D【解析】由可得，O在AB的中垂線上，結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個(gè)圓心的連線上，從而可求.【詳解】因?yàn)?，所以O(shè)在AB的中垂線上，即O在兩個(gè)圓心的連線上，，，三點(diǎn)共線，所以，得，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用，幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.7．已知為定義在上的奇函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，（為實(shí)數(shù)），則關(guān)于的不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值，然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意，得，得，所以當(dāng)時(shí)，.分析知，函數(shù)在上為增函數(shù).又，所以.又，所以，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).8．如圖，網(wǎng)格紙是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成，若粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)三視圖還原為幾何體，結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長(zhǎng)方體的底面四邊形相鄰邊長(zhǎng)分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別，利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).9．已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2，則球的體積與圓柱的體積的比為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，所以圓柱的體積.又球的體積，所以球的體積與圓柱的體積的比，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的體積求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).10．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)相等，求出所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求和即可.【詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).11．已知函數(shù)（，且）在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t（）A． B． C．或 D．或4【答案】C【解析】對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域求解.【詳解】分析知，.討論：當(dāng)時(shí)，，所以，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，，所以.綜上，或，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問(wèn)題，指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調(diào)性求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).12．已知在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先根據(jù)已知條件，把邊化成角得到B,C關(guān)系式，結(jié)合均值定理可求.【詳解】∵，∴，∴.又，∴，∴.又∵在銳角中,,∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和均值定理，解三角形時(shí)邊角互化是求解的主要策略，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、填空題13．已知平面向量，，，若，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】先根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求出，結(jié)合向量平行可得x的值.【詳解】∵，，∴.又∵，，∴，得.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記向量平行的坐標(biāo)公式是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14．某高校組織學(xué)生辯論賽，六位評(píng)委為選手成績(jī)打出分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，若去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分，則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為_(kāi)_____.【答案】【解析】先根據(jù)莖葉圖求出平均數(shù)和中位數(shù)，然后可得結(jié)果.【詳解】剩下的四個(gè)數(shù)為83，85，87，95，且這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)，這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)為，則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為.【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖的識(shí)別和統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15．已知平行于軸的直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.【答案】2【解析】根據(jù)為等邊三角形建立的關(guān)系式，從而可求離心率.【詳解】據(jù)題設(shè)分析知，，所以，得，所以雙曲線的離心率.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求解，根據(jù)條件建立之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16．已知函數(shù)，若存在，且，，使得恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.【答案】【解析】作出圖象，觀察可知關(guān)于對(duì)稱(chēng)，設(shè)，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，求解最值可得.【詳解】作出圖象，如圖所示，設(shè)，則，，.令，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以由函數(shù)圖象可知，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的最值問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合是求解函數(shù)問(wèn)題的常用法寶，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題17．已知數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）【解析】（1）利用等比數(shù)列的定義可以證明；（2）由（1）可求的通項(xiàng)公式，結(jié)合可得，結(jié)合通項(xiàng)公式公式特點(diǎn)選擇分組求和法進(jìn)行求和.【詳解】證明：（1）∵，∴.又∵，∴.又∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列.解：（2）由（1）求解知，，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的證明和數(shù)列求和，一般地，數(shù)列求和時(shí)要根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特征來(lái)選擇合適的方法，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).18．如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.（1）求證：平面；（2）求五棱錐的體積最大時(shí)的面積.【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）【解析】（1）只需證明即可，從而可證平面；（2）明確體積最大時(shí)幾何體的特征，即平面平面，求出的面積【詳解】證明：（1）在圖1中，連接.又，分別為，中點(diǎn)，所以.即圖2中有.又平面，平面，所以平面.解：（2）在翻折的過(guò)程中，當(dāng)平面平面時(shí)，五棱錐的體積最大.在圖1中，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn).由正方形的性質(zhì)知，，，，，.在圖2中，取的中點(diǎn)，分別連接，，取中點(diǎn)，連接.由正方形的性質(zhì)知，.又平面平面，所以平面，則.由，有，，，.同理可知.又為中點(diǎn)，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間平行關(guān)系的證明和三角形面積的求解，側(cè)重考查直觀想象，邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19．隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展，很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品，如螞蟻金服旗下的“余額寶”，騰訊旗下的“財(cái)富通”，京東旗下“京東小金庫(kù)”.為了調(diào)查廣大市民理財(cái)產(chǎn)品的選擇情況，隨機(jī)抽取1100名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民，按照使用理財(cái)產(chǎn)品的情況統(tǒng)計(jì)得到如下頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)（單位：名）使用“余額寶”使用“財(cái)富通”使用“京東小金庫(kù)”40使用其他理財(cái)產(chǎn)品60合計(jì)1100已知這1100名市民中，使用“余額寶”的人比使用“財(cái)富通”的人多200名.（1）求頻數(shù)分布表中，的值；（2）已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為，“財(cái)富通”的平均年化收益率為，“京東小金庫(kù)”的平均年化收益率為，有3名市民，每個(gè)人理財(cái)?shù)馁Y金有10000元，且分別存入“余額寶”“財(cái)富通”“京東小金庫(kù)”，求這3名市民2018年理財(cái)?shù)钠骄昊找媛?；?）若在1100名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民中，從使用“余額寶”和使用“財(cái)富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取5人，然后從這5人中隨機(jī)選取2人，求“這2人都使用‘財(cái)富通’”的概率.注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利率，理財(cái)產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢(qián)存入某理財(cái)產(chǎn)品，一年可以獲得3元利息.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）結(jié)合使用“余額寶”的人比使用“財(cái)富通”的人多200名及總?cè)藬?shù)可得x,y的值；（2）根據(jù)利率求出每個(gè)人的收益，然后再求平均數(shù)；（3）求出所有的基本事件空間，結(jié)合古典概型可得概率.【詳解】解：（1）據(jù)題意，得，所以.（2）因?yàn)?0000元使用“余額寶”的利息為（元）；10000元使用“財(cái)富通”的利息為（元）；10000元使用“京東小金庫(kù)”的利息為（元），所以這3名市民2018年理財(cái)?shù)钠骄昊找媛?（3）據(jù)，得共抽取這5人中使用“余額寶”的有3人，使用“財(cái)富通”的有2人.設(shè)這5人中，使用“余額寶”分別為，，，使用“財(cái)富通”分別為，，則從5人中隨機(jī)選取2人的所有基本事件為，，，，，，，，，，共10種，其中2人都使用“財(cái)富通”的基本事件，所以“這2人都使用‘財(cái)富通’”的概率.【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)量計(jì)算和古典概率的求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).20．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，為拋物線的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線在其上點(diǎn)處的切線，，切點(diǎn)分別為，，直線與直線，分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為，，求的值.【答案】（1）（2）?1【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)在拋物線上和可求拋物線的方程；（2）設(shè)出直線方程，根據(jù)直線和拋物線相切可得兩個(gè)斜率之間的關(guān)系，求出目標(biāo)式即可的結(jié)果.【詳解】解：（1）據(jù)題意，得，所以.故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，直線的方程為.據(jù)，得.所以，得.同理，得，所以，分別令，得，，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線方程的求解和拋物線中的定值問(wèn)題，注意切線的使用方法，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).21．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）增區(qū)間為，，減區(qū)間為.（2）見(jiàn)證明【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，可得減區(qū)間，可得增區(qū)間；（2）不等式的證明轉(zhuǎn)化為最值的求解即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，討論：①當(dāng)時(shí)，，有；②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)為增函數(shù)，有，有；③當(dāng)時(shí)，由函數(shù)為增函數(shù)，有，有.綜上，函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為.證明：（2）當(dāng)時(shí)，有，所以，所以.令，則.令，有.令，得.分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以.所以分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為,所以,故當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).22．已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值和最大值.【答案】（1）（2）最大值；最小值.【解析】（1）結(jié)合極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式可得；（2）利用參數(shù)方程，求解點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)求解最值.【詳解】解：（1）因?yàn)?，代入，可得直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線上的點(diǎn)到直線的距離，其中，.故曲線上的點(diǎn)到直線距離的最大值，曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化及最值問(wèn)題，橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值求解優(yōu)先考慮參數(shù)方法，側(cè)