2022屆河南省洛陽(yáng)市高三5月終極猜題卷全國(guó)卷數(shù)學(xué)（理）試卷2

/16/16/洛陽(yáng)市2022屆高三下學(xué)期5月終極猜題卷全國(guó)卷（理）【滿(mǎn)分：150分】一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則()A. B. C.6 D.82.設(shè)集合，，且，則()A.-4B.-B.-2 C.2 D.43.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為()A. B.C. D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則空白判斷框中可填入的條件是()A. B. C. D.5.已知，則的值為()A. B. C. D.6.如圖，正方形ABCD中灰色陰影部分為四個(gè)全等的等腰三角形，已知，，若在正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在白色區(qū)域的概率為()A. B. C. D.7.已知，當(dāng)時(shí)，向量a與b的夾角為()A. B. C. D.8.印制電路板(PCB)是電子產(chǎn)品的關(guān)鍵電子互聯(lián)件，被譽(yù)為“電子產(chǎn)品之母”.印制電路板的分布廣泛，涵蓋通信設(shè)備、計(jì)算機(jī)及其周邊、消費(fèi)電子、工業(yè)控制、醫(yī)療、汽車(chē)電子、軍事、航天科技等領(lǐng)域，不可替代性是印制電路板制造行業(yè)得以始終穩(wěn)固發(fā)展的要素之一.下面是PCB主要成本構(gòu)成統(tǒng)計(jì)圖(單位：%)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.覆銅板成本占PCB材料成本的50%B.鋼箔成本占材料成本的15%C.磷銅球成本占材料成本的6%D.防焊油墨、磷銅球、球鋼箔、其他材料的成本占比成等差數(shù)列9.在信息傳遞中多以波的形式進(jìn)行傳遞，其中必然會(huì)存在干擾信號(hào)（形如），某種“信號(hào)凈化器”可產(chǎn)生形如的波，只需要調(diào)整參數(shù)，就可以產(chǎn)生特定的波（與干擾波波峰相同，方向相反的波）來(lái)“對(duì)抗”干擾.現(xiàn)有波形信號(hào)的部分圖像，想要通過(guò)“信號(hào)凈化器”過(guò)濾得到標(biāo)準(zhǔn)的正弦波（標(biāo)準(zhǔn)正弦函數(shù)圖像），應(yīng)將波形凈化器的參數(shù)分別調(diào)整為()A.，， B.，，C.，， D.，，10.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為P，若的面積為，則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C.3 D.11.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A. B.C. D.12.如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，的中點(diǎn)，過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)作該正方體的截面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.在平面內(nèi)存在直線(xiàn)與平面EFG平行B.在平面內(nèi)存在直線(xiàn)與平面EFG垂直C.平面平面EFGD.直線(xiàn)與EF所成角為45°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)_____.14.在的展開(kāi)式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，則含的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)__________.15.在中，D是BC邊上一點(diǎn)，，，且與面積之比為，則_____________.16.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的圖象恒在直線(xiàn)的下方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.18.（12分）為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，普及冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)，大力營(yíng)造校園冰雪運(yùn)動(dòng)文化氛圍，助力2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某校組織全校學(xué)生參與“激情冰雪，相約冬奧”冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽.為了了解學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)，從參加競(jìng)賽的學(xué)生中，隨機(jī)抽取若干名學(xué)生，將其成績(jī)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，已知成績(jī)?cè)趦?nèi)的有60人.（1）求樣本容量，并估計(jì)該校本次競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù).（2）將成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生定義為“冰雪達(dá)人”，成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生定義為“非冰雪達(dá)人”.請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為是否為“冰雪達(dá)人”與性別有關(guān)？男生女生合計(jì)冰雪達(dá)人40非冰雪達(dá)人3060合計(jì)60（3）根據(jù)（2）中的數(shù)據(jù)分析，將頻率視為概率，從該校學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法抽取2人，記被抽取的2人中“冰雪達(dá)人”的人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.050.010.0013.8416.63510.828，.19.（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，是正三角形，，.（1）求證：平面平面PBD；（2）若直線(xiàn)PC與平面ABCD所成的角為45°，平面PAB與平面PCD的交線(xiàn)為l，求二面角的余弦值.20.（12分）已知橢圓，A，B分別為橢圓C的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為，的面積為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.（12分）設(shè)函數(shù)，其中.（1）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)，證明：對(duì)任意，都有.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.（10分）[選修4–4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線(xiàn)l的普通方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求.23.（10分）[選修4?–?5：不等式選講]設(shè)函數(shù)，.（1）求不等式的解集；（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍.洛陽(yáng)市2022屆高三下學(xué)期5月終極猜題卷全國(guó)卷（理）參考答案一、選擇題1.答案：A解析：由題意得，，所以，所以.故選A.2.答案：B解析：由已知可得，，又，，.故選B.3.答案：B解析：因?yàn)椋?，，所?故選B.4.答案：C解析：模擬執(zhí)行程序框圖，，；，；，；，；，；，，退出循環(huán).故空白判斷框中可填入的條件是“”.故選C.5.答案：C解析：，，.故選C.6.答案：A解析：由題易知四邊形EFGH為正方形，且，由得，所以的高為，故白色區(qū)域的面積為，又正方形ABCD的面積為8，所以若在正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在白色區(qū)域的概率為.故選A.7.答案：D解析：，，，即，，，向量a與b的夾角為.故選D.8.答案：C解析：由圖中數(shù)據(jù)可得，材料成本占總成本的60%，所以覆銅板成本占PCB材料成本的，故A正確；鋼箔成本占材料成本的，故B正確；磷銅球成本占材料成本的，故C錯(cuò)誤；其他材料占比為，所以防焊油墨、磷銅球、球鋼箔、其他材料的成本占比成等差數(shù)列，故D正確.故選C.9.答案：B解析：設(shè)干擾信號(hào)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，由題圖得（T為干擾信號(hào)的周期），解得，，函數(shù)的最大值為，，將代入，解得，，，，，欲消除的波需要選擇相反的波，即.故選B.10.答案：B解析：設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)且與漸近線(xiàn)垂直的直線(xiàn)為l，則直線(xiàn)l的方程為，由得，，即，則的面積為，，，.故選B.11.答案：C解析：，所以，令，得或.要使有三個(gè)極值點(diǎn)，則有三個(gè)互不相等的實(shí)根，即方程有兩個(gè)不等于1的實(shí)根，，令，則，令，得，易知，且，；，，所以當(dāng)時(shí)，方程即有兩個(gè)不等實(shí)根，又，所以，即.綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選C.12.答案：D解析：設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，EF交BD于點(diǎn)P，連接，PG，易知，因?yàn)槠矫鍱FG，平面EFG，所以平面EFG，且平面，故A正確；連接，，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，所以，又，所以，因?yàn)?，所以平面EFG，且平面，故B正確；因?yàn)椋?，，所以平面平面EFG，故C正確；因?yàn)?，為等邊三角形，故直線(xiàn)與AC所成角為60°，即直線(xiàn)與EF所成角為60°，故D錯(cuò)誤.故選D.二、填空題13.答案：解析：根據(jù)題意作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分（含邊界）所示，作出直線(xiàn)并平移，易知當(dāng)平移后的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z取得最大值，由，得，即點(diǎn)，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值.14.答案：45解析：的展開(kāi)式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，，再令，可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，，故二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，故含的項(xiàng)的系數(shù)為.15.答案：解析：因?yàn)?，且與面積之比為，所以AD為的平分線(xiàn)，，且，設(shè)，，，由余弦定理，得，解得，所以，，故，因?yàn)?，且，故，，又，所?16.答案：解析：由題意知，對(duì)于任意，，即在上恒成立.設(shè)，，則的最大值小于0，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，即，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，最大值可無(wú)窮大，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最大值可無(wú)窮大，不滿(mǎn)足題意，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.三、解答題17.解析：（1），當(dāng)時(shí)，，………………2分，，為從第二項(xiàng)開(kāi)始的等比數(shù)列，公比，…………4分又，，，當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足上式，.………………6分（2），，①，②……………………9分①-②得，，，，，.………………………12分18.解析：（1）設(shè)樣本容量為n，則，解得，所以樣本容量為100.…………1分由頻率分布直方圖可知，，，，各組頻率分別為0.08，0.20，0.32，0.28，0.12，所以前三組的頻率之和為0.6，所以中位數(shù)在中.設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，所以估計(jì)該校本次競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為76.875.……………4分（2）完成列聯(lián)表如下：男生女生合計(jì)冰雪達(dá)人301040非冰雪達(dá)人303060合計(jì)6040100，………………6分故有95%的把握認(rèn)為是否為“冰雪達(dá)人”與性別有關(guān).…………………7分（3）由（2）可得隨機(jī)抽取一人為“冰雪達(dá)人”的概率，根據(jù)題意得，，X的所有可能取值為0，1，2，則，，，……………10分所以X的分布列為X012P所以X的數(shù)學(xué)期望.…………………12分19.解析：（1）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以.因?yàn)槭钦切?，所以，又，所以BD為AC的垂直平分線(xiàn)，則.…………………2分因?yàn)槠矫鍼AC，平面PAC，且，所以平面PAC.又平面PBD，所以平面平面PBD.…………5分（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，所以為直線(xiàn)PC與平面ABCD所成的角，所以，易知，，所以.因?yàn)椋?，所以，則，即.……7分故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，所以，.……………………8分設(shè)平面PCD的法向量為，則，得，取，則.易知為平面PAB的一個(gè)法向量，……………10分所以.由圖易知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.……………………12分20.解析：（1）由題意得，則，.的面積為，則.…………2分將，代入上式，得，則，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.…………4分（2）由（1）知，當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為，，，將代入橢圓方程得，化簡(jiǎn)得，則，所以①，②.…………6分由得，即，則.得，所以，………………8分即，易知，故，易知恒成立，由，得，解得.……10分當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率等于0時(shí)，，或，，則或.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.…………12分21.解析：（1）由在上恒成立，得，即，.令，，則.…………2分當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故恒成立，滿(mǎn)足題意；當(dāng)，即時(shí)，設(shè)，則圖象的對(duì)稱(chēng)軸，，，……………4分所以在上存在唯一實(shí)根，設(shè)為，則當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，則，此時(shí)，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.……………6分（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，，.由得，即.…………8分令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即，所以，從而.由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，整理得.令，則要證，只需證.…………10分因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立.綜上可得，對(duì)任意，都有成立.…………12分22.解析：（1）由直線(xiàn)l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，消去參數(shù)t得直線(xiàn)l的普通方程為，……………2分由曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程，得，所以曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為.………………