【單元檢測】函數(shù)的概念及其表示

函數(shù)的概念及其表示——單元檢測一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．下列四種說法中，不正確的一個是()A．在函數(shù)值域中的每一個數(shù)，在定義域中都至少有一個數(shù)與之對應B．函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合C．定義域和對應關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了D．若函數(shù)的定義域中只含有一個元素，則值域也只含有一個元素2.函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝a的交點個數(shù)有()A．必有一個B．一個或兩個C．至多一個D．可能兩個以上3．已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(f(3))等于()x1234f(x)3241A．1B．2C．3D．44．設f：x→x2是集合A到集合B的函數(shù)，若集合B＝{1}，則集合A不可能是()A．{1}B．{－1}C．{－1，1}D．{－1，0}5．函數(shù)y＝eq\f(x,1＋x)的大致圖象是()6．函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象是()7．從甲市到乙市tmin的電話費由函數(shù)g(t)＝1.06(0.75[t]＋1)給出，其中t＞0，[t]為不超過t的最大整數(shù)，則從甲市到乙市5.5min的電話費為()A．5.04元B．5.43元C．5.83元D．5.38元8．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，－1≤x≤1，,4－x，x<－1或x>1，))若f(1－x)＝2，則x的取值范圍是()A．? B．[0,2]C．[－2,0] D．{－1}∪[0,2]二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分；在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9．下列選項中不能表示同一個函數(shù)的是()A．y＝x＋1與y＝eq\f(x2－1,x－1)B．y＝x2＋1與s＝t2＋1C．y＝2x與y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2與y＝x210．某工廠八年來產(chǎn)品累積產(chǎn)量C(即前t年年產(chǎn)量之和)與時間t年)的函數(shù)如圖，下列四種說法中正確的是()A．前三年中，產(chǎn)量增長的速度越來越快B．前三年中，產(chǎn)量增長的速度越來越慢C．第三年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)D．第三年后，年產(chǎn)量保持不變11．下列圖形哪個不是函數(shù)y＝x|x|的圖象12．德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名命名的函數(shù)稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于f(x)下列說法正確的是()A．函數(shù)f(x)的值域是[0,1]B．?x∈R，f(f(x))＝1C．f(x＋2)＝f(x)對任意x∈R恒成立D．存在三個點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC為等腰直角三角形三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．函數(shù)y＝eq\r(4－x2)＋eq\f(1,x)的定義域為________．14．若f(x)＝eq\f(5x,x2＋1)，且f(a)＝2，則a＝________．15．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋1，0＜x＜1,0，x＝0,x2－1，－1＜x＜0))的定義域為________，值域為________．16．若定義運算a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a≥b,a，a<b))，則函數(shù)f(x)＝x⊙(2－x)的值域為________．四、解答題（本大題共6小題，共70分；解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1,1，x>1或x<－1))．（1）求f(2)，f(eq\f(1,2))；（2）若f(x)＝eq\f(1,4)，求x的值；（3）若f(x)≥eq\f(1,4)，求x的取值范圍．18．（1）已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；（2）已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；（3）已知函數(shù)f(x)對于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)．19．如圖所示，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出此盒子的體積V以x為自變量的函數(shù)解析式，并指明這個函數(shù)的定義域．20．A，B兩地相距150公里，某汽車以每小時50公里的速度從A地到B地，在B地停留2小時之后，又以每小時60公里的速度返回A地．寫出該車離A地的距離s(公里)關(guān)于時間t(小時)的函數(shù)關(guān)系，并畫出函數(shù)圖象．21．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的較小者)．（1）分別用圖象法和解析式表示φ(x)；（2）求函數(shù)φ(x)的定義域和值域．22．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)．（1）求f(2)與f(eq\f(1,2))，f(3)與f(eq\f(1,3))；（2）由（1）中求得的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f(x)與f(eq\f(1,x))有什么關(guān)系嗎？請證明你的發(fā)現(xiàn)；（3）求f(2)＋f(3)＋…＋f(2021)＋f(eq\f(1,2))＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(eq\f(1,2021))的值．參考答案題號答案學科核心素養(yǎng)水平等級解析1答案：B．數(shù)學抽象水平一解析：由函數(shù)的定義可知，A，C，D均正確，故B不正確．故選B．2答案：C．直觀想象水平一解析：當a屬于定義域時，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝a沒有交點；當a不屬于定義域時，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝a恰好一個交點．所以函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝a至多有一個交點．故選C．3答案：A．數(shù)學抽象水平一解析：f(3)＝4,f(f(3))＝f(4)＝1．故選A．4答案：D．數(shù)學抽象水平一解析：因為當x＝0時，在集合B中沒有函數(shù)值與之對應．故選D．5答案：A．直觀想象水平一解析：方法1：y＝eq\f(x,1＋x)的定義域為{x|x≠-1}，排除C，D當x＝0時，y＝0，排除B；方法2：y＝eq\f(x,1＋x)＝－eq\f(1,x＋1)＋1，由函數(shù)的平移性質(zhì)可知A正確．故選A．6答案：B．直觀想象水平二解析：方法1：函數(shù)解析式可化為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥1,1－x，x<1))，畫出此分段函數(shù)的圖象．方法2：由f(－1)＝2，知圖象過點(－1,2)，所以排除A，C，D．故選B．7答案：A．數(shù)學運算水平二解析：依題意知，g(5.5)＝1.06(0.75×5＋1)＝5.035≈5.04．故選A．8答案：D．數(shù)學運算水平二解析：當－1≤1－x≤1，即0≤x≤2時，f(1－x)＝2，滿足條件，所以0≤x≤2；當1－x＜－1或1－x＞1即x＜0或x＞2，f(1－x)＝4－(1－x)＝x＋3＝2，得x＝－1，滿足條件，綜上：0≤x≤2或x＝－1．故選D．9答案：ACD．數(shù)學抽象水平一解析：對于選項A，前者定義域為R，后者定義域為{x|x≠1}，不是同一個函數(shù)；對于選項B，雖然變量不同，但定義域和對應關(guān)系均相同，是同一個函數(shù)；對于選項C，雖然對應關(guān)系相同，但定義域不同，不是同一個函數(shù)；對于選項D，雖然定義域相同，但對應關(guān)系不同，不是同一個函數(shù)．故選ACD．10答案：BC．直觀想象水平二解析：由于縱坐標表示八年來前t年產(chǎn)品生產(chǎn)總量，所以B，C正確．故選BC．11答案：ABC．直觀想象水平一解析：函數(shù)y＝x|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0,－x2，x<0))，選項D正確．故選ABC．12答案：BC．數(shù)學抽象水平二解析：對于A選項，函數(shù)的值域為{0，1}，故A選項錯誤；對于B選項，當x為有理數(shù)時，f(x)＝1，f(f(x))＝f(1)＝1，當x為無理數(shù)時，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，所以?x∈R，f(f(x))＝1，故B選項正確；對于C選項，當x為有理數(shù)時，x＋2為有理數(shù)，f(x＋2)＝f(x)＝1，當x為無理數(shù)時，x＋2為無理數(shù)，f(x＋2)＝f(x)＝0，所以，f(x＋2)＝f(x)恒成立，故C選項正確；對于D選項，若△ABC為等腰直角三角形，不妨設角B為直角，則f(x1)，f(x2)，f(x3)的值可能性只能為f(x1)＝0，f(x2)＝1，f(x3)＝0或f(x1)＝1，f(x2)＝0，f(x3)＝1，由等腰直角三角形的性質(zhì)得，|x2－x1|＝1，所以f(x1)＝f(x2)，這與f(x1)≠f(x2)矛盾，故D選項錯誤．故選BC．13答案：[－2，0)∪(0，2]．數(shù)學運算水平一解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0,x≠0))，解得－2≤x<0或0<x≤2，故函數(shù)的定義域為[－2，0)∪(0，2]．14答案：eq\f(1,2)或2．數(shù)學運算水平一解析：因為f(a)＝eq\f(5a,a2＋1)＝2，所以2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或eq\f(1,2)．15答案：(－1，1)；(－1，1)．數(shù)學運算水平二解析：分段函數(shù)的定義域為各段自變量取值范圍的并集，即(0，1)∪{0}∪(－1，0)＝(－1，1)．分段函數(shù)的值域為各段函數(shù)值取值范圍的并集，即(0，1)∪{0}∪(－1，0)＝(－1，1)．16答案：(－∞，1]．數(shù)學抽象水平二解析：由題意得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥1,x，x<1))，畫出函數(shù)f(x)的圖象得值域是(－∞，1]．17答案：（1）f(2)＝1；f(eq\f(1,4))＝eq\f(1,16)．（2）x＝±eq\f(1,2)．（3）．數(shù)學運算水平一解析：（1）f(2)＝1，f(eq\f(1,2))＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4)，所以f(f(eq\f(1,2)))＝f(eq\f(1,4))＝eq\f(1,16)．（2）由f(x)＝eq\f(1,4)可得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1,x2＝\f(1,4)))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1或x<－1,1＝\f(1,4)))②由①式解得x＝±eq\f(1,2)，②式的解集為Φ．故當f(x)＝eq\f(1,4)時，x＝±eq\f(1,2)．（3）∵f(x)≥eq\f(1,4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1,x2≥\f(1,4)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1或x<－1,1≥\f(1,4)))，解得x≥eq\f(1,2)或x≤－eq\f(1,2)，∴．18答案：（1）f(x)＝x2－x＋1．（2）f(x)＝x2－5x＋6．（3）f(x)＝－3x－eq\f(2,3)．數(shù)學運算水平一解析：（1）設f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f(0)＝1，得c＝1，則有f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x因為這個式子對于任意x∈R均成立，所以2a＝2，a＋b＝0，可得a＝1，b＝－1，故解析式為f(x)＝x2－x＋1．（2）方法1：換元法令x＋1＝t，則x=t－1．將x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，故解析式為f(x)＝x2－5x＋6．方法2：配湊法x2－3x＋2＝(x＋1)2－2x－1－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋5＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6即f(x＋1)＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，故解析式為f(x)＝x2－5x＋6．（3）因為對于任意的x都有，f(x)＋2f(－x)＝3x－2②，所以f(－x)＋2f(－(－x))＝3×(－x)－2，即2f(x)＋f(－x)＝－3x－2③，由2×③－②得：3f(x)＝－9x－2，故解析式為f(x)＝－3x－eq\f(2,3)．19答案：函數(shù)解析式為V＝x(a－2x)2；定義域為(0，eq\f(a,2))．數(shù)學建模水平二解析：由題意知，盒子的底面是邊長為(a－2x)的正方形，高為x，故盒子的體積V＝(a－2x)2·x＝x(a－2x)2，其中自變量x應滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2x>0,x>0))，即0<x<eq\f(a,2)．故盒子的體積V以x為自變量的函數(shù)式為V＝x(a－2x)2，定義域為(0，eq\f(a,2))．20答案：s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系為函數(shù)圖象如圖所示．數(shù)學建模水平二解析：（1）汽車從A地到B地，速度為50公里每小時，則s＝50t，從A地到達B地用時150÷50＝3（小時）．（2）汽車在B地停留2小時，則s＝150．（3）汽車從B地返回A地，速度為60公里每小時，則s＝150－60(t－5)＝450－60t，從B地到達A地用時eq\f(150,60)＝2.5（小時）．故該汽車離A地的距離s關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系為s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50t，0≤t≤3,150，3<t≤5,450－60t，5<t≤7.5))．函數(shù)圖象如圖所示．21答案：．直觀想象水平二解析：（1）在同一個坐標系中畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象如圖①．由圖①中函數(shù)取值的情況，結(jié)合函數(shù)φ(x)的定義，可得函數(shù)φ(x)的圖象如圖②．令－x2＋2＝x得x＝－2或x＝1．結(jié)合圖②，得到φ(x)的解析式為：φ(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2，x≤－2,x，－2<x<1,－x2＋2，x≥1))．（2）由圖②知，φ(