【同步測試】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值提高題

4/4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值提高題1． 已知函數(shù)若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【答案】解：當(dāng)時，，，令，解得：或，因為

，所以

，所以

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，令，由，解得，舍去當(dāng)，即時，在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)．所以

函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)，即時，x在上變化時，，的變化情況如下表x1+0－0↗↘所以

函數(shù)在區(qū)間上的最大值為綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為【解析】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可．2． 已知函數(shù)求的單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時，求證：【答案】解：

，令，解得或，又由于函數(shù)的定義域為，的單調(diào)遞增區(qū)間為和；由知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，恒有，即【解析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，運用綜合法證明，屬于中檔題．先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得結(jié)果；由知，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，即可證明不等式．3． 已知函數(shù)，在時取得極值．求a的值．若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】解：由題意的得，是函數(shù)的極值點，，即，解得，經(jīng)檢驗符合題意，；由知，，恒成立，即，由可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，故實數(shù)k的取值范圍是【解析】本題主要考查了不等式的恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，極值和閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題．求出的導(dǎo)數(shù)，得到，從而求出a的值，檢驗即可；，恒成立，即，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值，從而求出k的范圍即可．4． 已知函數(shù)在處取得極值．求a，b的值；若函數(shù)只有一個零點，求實數(shù)t的取值范圍．【答案】解：因為，依題意有：，即，解得，函數(shù)只有一個零點，即函數(shù)與直線只有一個交點，由得，，由得或，故在和上是增函數(shù)，由得，故在上是減函數(shù)，所以函數(shù)的大致圖象如圖：由圖可得當(dāng)或時，直線與函數(shù)只有一個交點，所以t的取值范圍是【解析】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值的求法，考查分析問題解決問題的能力．求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值點得到方程組，即可求a，b的值；函數(shù)只有一個零點，即函數(shù)