§2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)設(shè)計(jì)

§2.4.1

平面向量數(shù)積的物理背及其含義壽縣迎河中龍如山一.學(xué)內(nèi)容析：平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算之后的又一重要運(yùn)算，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛。本節(jié)內(nèi)容教材共安排兩課時(shí)，其中第一課時(shí)主要研究數(shù)量積的概念，第二課時(shí)主要研究數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，本節(jié)課是第一課時(shí)。本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通過(guò)物理中功的事例抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律，使學(xué)生體會(huì)類(lèi)比的思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括和推理論證的能力其中數(shù)量積的概念既是對(duì)物理背景的抽象，又是研究性質(zhì)和運(yùn)算律的基礎(chǔ)。同時(shí)也因?yàn)樵谶@個(gè)概念中，既有長(zhǎng)度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結(jié)合點(diǎn)，不僅應(yīng)用廣泛，而且很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。二.計(jì)思想：本節(jié)課從總體上講是一節(jié)概念教學(xué)課依據(jù)新課程改革應(yīng)關(guān)注知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程的理念，結(jié)合本節(jié)課知識(shí)的特點(diǎn)，充分利用課件輔助教學(xué)，改變相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，增加課堂容量。并設(shè)計(jì)合理板書(shū)，加深對(duì)主要知識(shí)的印象，使學(xué)生清楚本節(jié)內(nèi)容知識(shí)間的邏輯關(guān)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。并采用啟發(fā)類(lèi)比和探-建構(gòu)教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)模式。三學(xué)分學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實(shí)數(shù)的運(yùn)算體系，掌握了向量的概念及其線性運(yùn)算，具備了功等物理知識(shí)，并且初步體會(huì)了研究向量運(yùn)算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再?gòu)母拍畛霭l(fā)，在與實(shí)數(shù)運(yùn)算類(lèi)比的基礎(chǔ)上研究性質(zhì)和運(yùn)算律。這為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)量積做了很好的鋪墊，使學(xué)生倍感親切。但也正是這些干擾了學(xué)生對(duì)數(shù)量積概念的理解，一方面，相對(duì)于線性運(yùn)算而言，數(shù)量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個(gè)有形有數(shù)的向量經(jīng)過(guò)數(shù)量積運(yùn)算后，形卻消失了，學(xué)生對(duì)這一點(diǎn)是很難接受的；另一方面，由于受實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的影響，也會(huì)造成學(xué)生對(duì)數(shù)量積理解上的偏差，特別是對(duì)性質(zhì)和運(yùn)算律的理解。因而本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)數(shù)量積的概念。四.維標(biāo)(一)知識(shí)與技能1

1、平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義.2、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì).3、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算定律.(二)過(guò)程與方法1、掌握平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義.2、掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算定律.3、了解用平面向量數(shù)量積的可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度、和垂直問(wèn)題.(三)情感態(tài)度與價(jià)值觀1、培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決實(shí)際問(wèn)題的能力2培養(yǎng)學(xué)生交流意識(shí)合作精神;培養(yǎng)學(xué)生敘述表達(dá)自己解題思路和探索問(wèn)題的能力.五.學(xué)點(diǎn)難:教學(xué)重點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的定義；教學(xué)難點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律的理解及其應(yīng)用。六.學(xué)程計(jì)活動(dòng)一創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情，引出課1、提出問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？答：向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算。這些運(yùn)算的結(jié)果是向量。2、提出問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？答：物理模型→概念→性質(zhì)→運(yùn)算律→應(yīng)用3、新課引入：本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來(lái)研究向量的另外一種運(yùn)算。導(dǎo)入課題：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義［設(shè)計(jì)圖：明白新舊知識(shí)的聯(lián)系性2.明確研究向量的數(shù)量積這種運(yùn)算的途徑?；顒?dòng)二探究數(shù)量積概念1、給出有關(guān)材料并提出問(wèn)題3（1）如圖所示，一物體在力F作用下產(chǎn)生位移S

F那么力F所做的功：Wcos。（2）這個(gè)公式有什么特點(diǎn)？請(qǐng)完成下列填空：

α

①W（功）是

量，②F（力）是

量，2

;;③S位移）是

量，④α是。（3）你能用文字語(yǔ)言表述“功的計(jì)算公式”嗎答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積（4）如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結(jié)果又該如何表述？答：兩個(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積。2、明晰數(shù)量積的定義(1)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向ab，它們的夾角為，我們把數(shù)量a︱·

叫做b的數(shù)量（或內(nèi)積記作，即b=a︱·cos（2）定義說(shuō)明：①兩個(gè)非零向量的數(shù)量積是個(gè)數(shù)量,而不是向量.②記法b”中間的“可以省略，也不可以用”代替。③“規(guī)定零向量與任何向量的數(shù)量積為零。

④當(dāng)

,而·b當(dāng)

而［設(shè)計(jì)圖：1.認(rèn)識(shí)向量的數(shù)量積的實(shí)際背景2.使學(xué)生在形式上認(rèn)識(shí)數(shù)量積的定義。3.從數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)角度創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，使學(xué)生明白為什么研究這種運(yùn),從而產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望3、研究數(shù)量積的幾何意義（1）給出向量投影的概念：如圖，我們把b│cosθ（a│cosθ）叫做向向上方上）的投影，記做：OB=b│θ1（2提出問(wèn)題3數(shù)量積的幾何意義是什么？答：數(shù)量aa的長(zhǎng)度︱a︱a的方向上的投影︱osθ的乘積。［設(shè)計(jì)圖：里將數(shù)量積的幾何意義提前，使學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面對(duì)數(shù)量積的特征有了更加充分的認(rèn)識(shí)4、研究數(shù)量積的物理意義（1）請(qǐng)同學(xué)們用一句話來(lái)概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積。（2）嘗試練習(xí)：一物體質(zhì)量10千克，分別做以下運(yùn)動(dòng)：①、豎直下降10米；②、豎直向上提升米；③、在水平面上位移為10米；、沿傾角為30的斜面向上運(yùn)動(dòng)10米；分別求重力做功的大小。［設(shè)計(jì)圖：通過(guò)嘗試練習(xí)，一方面使學(xué)生嘗試計(jì)算數(shù)量積，鞏固對(duì)定義的理解；另一方面使學(xué)生理解數(shù)量積的物理意義，明白學(xué)科間的聯(lián)系，同時(shí)也為數(shù)量積3

的性質(zhì)埋下伏筆?；顒?dòng)三探究數(shù)量積運(yùn)算性1、提出問(wèn)題4：（1）將嘗試練習(xí)中的①②③的結(jié)論推廣到一般向量，你能得到哪些結(jié)論？（2）比較a·b︱與a︱︱的大小，你有什么結(jié)論？2、請(qǐng)證明上述結(jié)論。3、明晰：數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)b都是非零向量，則1ab·=02、b同向時(shí)·︱=a︱︱；a向時(shí)，a·b︱-︱a︱b︱，特別地a·=a︱或︱=a3、︱·≤b︱

a［設(shè)計(jì)圖：嘗試練習(xí)的結(jié)論推廣得到數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，使學(xué)生感到親切自然，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì)和類(lèi)比創(chuàng)新的意識(shí)。活動(dòng)四探究數(shù)量積運(yùn)算律1提出問(wèn)題我們學(xué)過(guò)了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律對(duì)向量是否也適用？答:①交換律：ab=ba②結(jié)合律：(ab)c=a(bc)③分配律：(a+b)c=ac+bc猜想a·=②）c(ba+=a+b·2、分析猜想：猜想①的正確性是顯而易見(jiàn)的。關(guān)于猜想②的正確性，請(qǐng)同學(xué)們先討論：猜測(cè)②的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？答：左邊是與向c共線的向量，而右邊則是與向共線的向量，顯然在向量與向量共線的情況下猜測(cè)②是不正確的。［設(shè)計(jì)圖：要求學(xué)生通過(guò)對(duì)過(guò)去所學(xué)過(guò)的運(yùn)算律的回顧類(lèi)比得出數(shù)量積的運(yùn)算律。通過(guò)討論糾錯(cuò)來(lái)理解不同運(yùn)算的運(yùn)算律不盡相同，看到數(shù)學(xué)的法則與法則間的相互聯(lián)系與區(qū)別，體會(huì)法則，學(xué)習(xí)研究的重要性。3、明晰：數(shù)量積的運(yùn)算律：已知向、和實(shí)數(shù)λ，則：（1）a··

（2a·=λ·b)=b（3a+b·c=+b·4、學(xué)生活動(dòng)：證明運(yùn)算律2在證明時(shí)學(xué)生可能只考慮到λ>0的情況,為了幫助學(xué)生完善證明提出以下問(wèn)題當(dāng)λ<0時(shí)向λ

與λ的方向的關(guān)系如何？此時(shí)向量λb4

2222與λ夾角與向量的夾角相等嗎？5、師生活動(dòng)：證明運(yùn)算律（3）［設(shè)計(jì)圖：學(xué)會(huì)利用定義證明運(yùn)算律（）(2)，運(yùn)算律3)的圖形構(gòu)造有些困難，先讓學(xué)生討論，后根據(jù)學(xué)生的情況加以指導(dǎo)或共同完成?；顒?dòng)五：應(yīng)用提高1、學(xué)生獨(dú)立完成：已知a︱=5,b︱=4,b的夾角θ=120°，a·b［設(shè)計(jì)圖：通過(guò)計(jì)算鞏固對(duì)定義的理解。2、學(xué)生獨(dú)立完成：對(duì)任意向，是否有以下論：

（1）a+)=a·+b

2（2）a+)(-b

2

-b

2［設(shè)計(jì)圖讓學(xué)生體會(huì)解題中運(yùn)算律的作用較向量運(yùn)算與數(shù)運(yùn)算的異同。3、師生共同完成：已知︱

，︱=4,與的夾角為°，求（aab，并思考此運(yùn)算過(guò)程類(lèi)似于哪種實(shí)數(shù)運(yùn)算？4、師生共同完成：已知︱a︱3，b︱=4,與不共線，k為何值時(shí)，向b與a互相垂直？并討論：通過(guò)本題，你有什么體會(huì)？［設(shè)計(jì)圖：會(huì)利用數(shù)量積來(lái)解決垂直問(wèn)題，體會(huì)用數(shù)量積將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程求解，體現(xiàn)向量的工具性。5、反饋練習(xí)（1）判斷下列各題正確與否：①、若a

≠，對(duì)任一非零向量

，有

≠．②、若≠，a，．）|a|b|a2，a與b的角

.【計(jì)意圖】安排練習(xí)1的主要目的是，使學(xué)生在與實(shí)數(shù)乘法比較的基礎(chǔ)上全面認(rèn)識(shí)數(shù)量積這一重要運(yùn)算，通過(guò)練習(xí)2）使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角和向量的模，進(jìn)一步感受數(shù)量積的應(yīng)用價(jià)值?；顒?dòng)六：小結(jié)1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？2、平面向量的數(shù)量積有哪些應(yīng)用？3我們是按照怎樣的思維模式進(jìn)行概念的歸納和性質(zhì)的探究？在運(yùn)算律的探究過(guò)程中，滲透了哪些數(shù)學(xué)思想？4、類(lèi)比向量的線性運(yùn)算，我們還應(yīng)該怎樣研究數(shù)量積？［設(shè)計(jì)圖：通過(guò)學(xué)生討論總結(jié)，加強(qiáng)了學(xué)生概念法則的理解和掌握，體會(huì)整個(gè)內(nèi)容的研究過(guò)程，明白了為什么要學(xué)這些內(nèi)容，學(xué)了這些內(nèi)容可以做什么，這對(duì)以后的學(xué)習(xí)有什么指導(dǎo)意義?；顒?dòng)七：布置業(yè)5

1、課本P習(xí)題2.4A組1、2、。1192、拓展與提高：6,b與6，a和a（本題供學(xué)有余力的同學(xué)選做）

.［設(shè)計(jì)圖：通過(guò)設(shè)計(jì)不同層次的作業(yè)既使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，又使學(xué)有余力的學(xué)生有所提高，從而達(dá)到激發(fā)興趣和“減負(fù)”的目的。七教學(xué)反思：

本節(jié)課從總體上說(shuō)是一節(jié)概念教學(xué)，從數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)角度創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景來(lái)引入數(shù)量積概念能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣過(guò)安排學(xué)生討論影響數(shù)量積結(jié)果的因素和將數(shù)量積的幾何意義提前有助于學(xué)生更好理解數(shù)量積的結(jié)果是