天津市南開區(qū)2021-2022學年中考數(shù)學模擬試卷（一模）含解析版

【專項打破】天津市南開區(qū)2021-2022學年中考數(shù)學模仿試卷（一模）

（原卷版）

一、選一選（本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選

項中，只要一項是符合標題要求的）

1.（-2）X（-6）的結(jié)果等于（）

A.12B.-12C.8D.-8

2.tan30°的值等于（）

A.—B.—C.1D.V3

32

3.甲骨文是我國的一種古代文字，是漢字的早期方式，下列甲骨文中，不是軸對稱的是（）

4.在上用“Google”搜索引擎搜索“中國夢”，能搜索到與之相關(guān)的結(jié)果個數(shù)約為45100000,

這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）

A.451X1（）5B.45.IXIO，C.4.51X10?D.0.451X108

5.如果用□表示1個立方體，用?表示兩個立方體疊加，用■表示三個立方體疊加，那么上面右

圖由7個立方體疊成的幾何體，從正前方觀察，可畫出的平面圖形是（）

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6.如果實數(shù)@=?[,且a在數(shù)軸上對應點的地位如圖所示，其中正確的是（）

A.-1012?34〉

11i.,1

B.-101234-

C.-10123,,4，

D.-10123

2b1

7.化簡其結(jié)果為（)

a2-b2a+b

111a

A.B.--------C.———7L).

a-(ba+bCT-ba2-h2

8.邊長為。的正六邊形的面積等于（)

c362

A.---{a1B.a2c.-------aD.3屈2

42

9.已知點A（xi，yi).B（X2,y）是反比例函數(shù)k的圖象上的兩點，若X1V0VX2,則

2X

有()

A.yi<0<y2B.y2VoVyic.yiVy2VoD.y2<yi<0

10.如圖，平行四邊形ABCD中，E為AD的中點，已知4DEF的面積為S,則四邊形ABCE的面

積為（）

A.8SB.9SC.10SD.11S

11.如圖，將菱形紙片ABCD折疊，使點A恰好落在菱形的對稱0處，折痕為EF,若菱形ABCD

的邊長為2cm,ZA=120",則EF的長為（）

A.2GB.2C.y/jD.4

12.如圖，拋物線y=ax2+bx+3(aW0)的對稱軸為直線x=l,如果關(guān)于x的方程ax2+bx-8=0(a#0)

的一個根為4,那么該方程的另一個根為（）

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二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.計算（-2a）3的結(jié)果是.

14.計算（百-正了的結(jié)果等于.

15.將反比例函數(shù)y=2x的圖象向下平移，則平移后所得圖象對應的函數(shù)解析式可以是.（寫

出一個即可）

16.趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與兩頭一個小正方形拼成的大正方形.如圖，是一“趙爽

弦圖”飛鏢板，其直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和4.小明同窗距飛鏢板一定距離向飛鏢

板投擲飛鏢（假設(shè)投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上），求小明投擲飛鏢扎在兩頭小正方形區(qū)域（含邊線）

的概率是多少？

17.如圖，在直角三角形ABC中，ZACB=90°,CA=4,點P是半圓弧AC的中點，連接BP,線段

即把圖形APCB（指半圓和三角形ABC組成的圖形）分成兩部分，則這兩部分面積之差的值是

18.如圖，是大小相等的邊長為1的正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，A,B,C,D均為格點.

（1）AACD的面積為

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（II）現(xiàn)只要無刻度的直尺，請在線段AD上找一點P,并連結(jié)BP,使得直線BP將四邊形ABCD

的面積分為1：2兩部分，在圖中畫出線段BP,并在橫線上簡要闡明你的作圖方法.

三、解答題（本大題共7小題，共計66分。解答應寫出文字闡明、演算步驟或

推理過程）

U+3》①

19.解不等式組《請題意填空，完成本題的解答.

l-3（x-l）＜6-x@

（1）解不等式①，得；（2）解不等式②，得；

（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

（4）原不等式組的解集為.

20.某中學在愛心捐款中，全體同窗積極積極捐款.現(xiàn)抽查了九年級（1）班全班同窗捐款情況,

并繪制出如下的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖：

捐款（元）2050100150200

人數(shù)（人）412932

求：（I）m=，n=；

（II）求先生捐款數(shù)目的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；

（III）若該校有先生2500人，估計該校先生共捐款多少元？

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21.在AABC中，ZACB=90°,點C的。O與斜邊AB相切于點P.

(1)如圖①，當點O在AC上時，試闡明2NACP=NB；

22.如圖，AC是某市環(huán)城路的一段，AE,BF,CD都是南向的街道，其與環(huán)城路AC的交叉路口

分別是A,B,C.經(jīng)測量花卉世界D位于點A的北偏東45。方向，點B的北偏東30。方向上,AB=2km,

ZDAC=15°.

(1)求B,D之間的距離；

23.某旅行團計劃今年寒假組織老年人團到旅游，預訂賓館住宿時，有住宿條件一樣的甲、乙

兩家賓館可供選擇，其免費標準為每人每天120元，并且推出各自不同的優(yōu)惠：甲家是35人(含

35人)以內(nèi)的按標準免費，超過35人的，超出部分按九折免費；乙家是45人(含45人)以

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內(nèi)的按標準免費，超過45人的，超出部分按八折免費.

設(shè)老年人團的人數(shù)為X.

(1)根據(jù)題意，用含x的式子填寫下表：

x<3535<x<45x=45x>45

甲賓館免費/

120x5280

元

乙賓館免費/

120x120x5400

元

(2)當x取何值時，旅行團在甲、乙兩家賓館的實踐花費相反？

24.如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA、0C分別在x軸、y軸的正半軸上，

0A=4,0C=2.點P從點0出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到

達點A時中止運動，設(shè)點P運動的工夫是t秒.將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°

得點D,點D隨點P的運動而運動，連接DP、DA.

(1)請用含t的代數(shù)式表示出點D的坐標；

(2)求t為何值時，4DPA的面積，為多少

(3)在點P從O向A運動的過程中，^DPA能否成為直角三角形？若能，求t的值.

若不能，請闡明理由；

(4)請直接寫出隨著點P的運動，點D運動路線的長.

25.已知二次函數(shù)y=ax?-4ax+3a.

(I)求該二次函數(shù)的對稱軸；

(II)若該二次函數(shù)的圖象開口向下，當1WXW4時，y的值是2,且當1WXW4時，函數(shù)圖象

的點為點P,點為點Q，求△OPQ的面積；

(HI)若對于該拋物線上的兩點P(xi,yi),Q(X2,y2),當tWxWt+1,X2》5時，均滿足也》丁,

請圖象，直接寫出t的值.

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【專項打破】天津市南開區(qū)2021-2022學年中考數(shù)學模仿試卷(一模)

(解析版)

一、選一選(本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項

中，只要一項是符合標題要求的)

1.(-2)X(-6)的結(jié)果等于()

A.12B.-12C.8D.-8

【答案】A

【解析】

【詳解】分析：根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進行計算即可.

詳解：(-2)x(-6)=+(2x6)=12,

故選A.

點睛：有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負.

2.tan30°的值等于()

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A.旦B.2C.1D.73

32

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)角的三角函數(shù)值，即可得解.

【詳解】tan3（r=走.

3

故選：A.

【點睛】此題屬于容易題，次要考查角的三角函數(shù)值.失分的緣由是沒有掌握角的三角函數(shù)值.

3.甲骨文是我國的一種古代文字，是漢字的早期方式，下列甲骨文中，不是軸對稱的是（）

【答案】D

【解析】

【詳解】A.是軸對稱圖形，故本選項錯誤;

B.是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

C.是釉對稱圖形，故本選項錯誤；

D.不是軸對稱圖形，故本選項正確.

故選D.

4.在上用“Google”搜索引擎搜索“中國夢”,能搜索到與之相關(guān)的結(jié)果個數(shù)約為45100000,

這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）

A.451X1（）5B.45.1X10"C.4.51X107D.0.451X108

【答案】C

【解析】

【詳解】科學記數(shù)法的表示方式為aX10”的方式，其中1W|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時,

要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點挪動了多少位，n的值與小數(shù)點挪動的位數(shù)相反.當原數(shù)值>1時,

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n是負數(shù)；當原數(shù)的值VI時，n是負數(shù).

【解答】解:45100000=4.51X107,

故選C.

5.如果用口表示1個立方體，用口表示兩個立方體疊加，用■表示三個立方體疊加，那么上面右

圖由7個立方體疊成的幾何體，從正前方觀察，可畫出的平面圖形是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意和圖可知，左邊和左邊各為一個正方體，當中上面為三個正方體，上面為兩

個正方體，然后根據(jù)題中定義好的表示方法組合在一同即可.

【詳解】由題意和圖可知，左邊和左邊各為一個正方體，用表示，

當中為三個正方體，用■表示，

上面為兩個正方體，用□表示，

所以答案B是符合題意的，

故選B.

【點睛】本題考查兒何體的正視圖的畫法，解題關(guān)鍵是留意用什么樣的小正方形，代表幾個小

正方體.

6.如果實數(shù)@=而，且a在數(shù)軸上對應點的地位如圖所示，其中正確的是（）

A--1012'3

i-1

B--101234

11

-101234

1

-101234

【答案】C

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【解析】

【分析】估計JTT的大小，進而在數(shù)軸上找到相應的地位，即可得到答案.

49

【詳解】??-9<11<—,

4

由被開方數(shù)越大算術(shù)平方根越大,

即3<JTT<一,

2

故選C.

【點睛】考查了實數(shù)與數(shù)軸的的對應關(guān)系，以及估算在理數(shù)的大小，處理本題的關(guān)鍵是估計JTT

的大小.

7.化簡其結(jié)果為()

a-ba+b

111。

A.----B-----C.-z---gD.-zy

a-ba+ba—ba-b~

【答案】A

【解析】

【詳解】分析：先找出最簡公分母，通分，然后根據(jù)分式加法法則進行運算即可.

2ba-b

詳解：原式=(叱b)(a+b)+("b)g+b)'

2b+a-b

(a-b)(a+b)'

_a+b

(a-b)(a+b)，

1

a-b

故選A.

點睛：考查分式的加法，先通分，再根據(jù)分式加法法則進行運算即可.

8.邊長為。的正六邊形的面積等于()

22

A.昱a?B.aC.速/D.3yf3a

42

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【答案】c

【解析】

【詳解】邊長為a的等邊三角形的面積是蟲片,則邊長為a的正六邊形的面積等于

4

6x無內(nèi)延/.故選c.

42

9.己知點A（x?yi）,B（X2,y2）是反比例函數(shù)y=上旦的圖象上的兩點，若xi<0<X2,則

X

有（）

A.yi<0<y2B.y2<0<yiC.yi<y2<0D.y2<yi<0

【答案】A

【解析】

【詳解】分析：根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可處理.

詳解：?.?反比例函數(shù)了=上乂，?2+1>1>0,

x

...該函數(shù)圖象在、三象限，在每個象限內(nèi)夕隨X的增大而減小，在象限內(nèi)的函數(shù)值都大于0,在

第三象限內(nèi)的函數(shù)值都小于0,

:點Z（X[,弘），B（X2,8）是反比例函數(shù)y=的圖象上的兩點，X,<0<x2,

X

必<0<y2>

故選A.

點睛：考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)y=左片0）,

當左〉0時，圖象在、三象限.在每個象限，y隨著X的增大而減小，

當左<0時，圖象在第二、四象限.在每個象限，y隨著x的增大而增大.

10.如圖，平行四邊形ABCD中，E為AD的中點，已知4DEF的面積為S,則四邊形ABCE的面

【答案】B

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【解析】

【詳解】分析：由于四邊形Z5C。是平行四邊形，那么AD=BC,根據(jù)平行線分線段

成比例定理的推論可得△。所SA8CE再根據(jù)E是/￡>中點，易求出類似比，從而可求△8C/

的面積，再利用△BCE與是同高的三角形，則兩個三角形面積比等于它們的底之比，

從而易求AOCF的面積，進而可求Q/BCD的面積.

詳解：如圖所示，

V四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

:?ADEFS>BCF,

.S.o_（DE2

??XDEF?mABCF一'

又???￡是40中點，

/.DE=LAD,BC,

22

：.DE:BC=DF:BF=\:2,

,eS.DEF''S?BCF=1：4，

S.BCF=4S,

又,：DF:BF=1:2,

**,SGCF=2S,

2(SADC尸

?,aABCD~+S48CF)=12s.

，四邊形ABCE的面積=9S,

故選B.

點睛：類似三角形的性質(zhì)：類似三角形的面積比等于類似比的平方.

11.如圖，將菱形紙片ABCD折疊，使點A恰好落在菱形的對稱。處，折痕為EF,若菱形ABCD

的邊長為2cm,ZA=120°,則EF的長為（）

A.2GB.2C.y/5D.4

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【答案】c

【解析】

【詳解】分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)得出4c平分NB4D,求出N/80=30',求出

AO,BO、DO,根據(jù)折疊得出EF_L4C,EF平分AO,推出E尸〃8D,推出EF為ZU8O的中

位線，根據(jù)三角形中位線定理求出即可.

詳解：如圖所示：連接8。、AC.

:四邊形/8C。是菱形，

：.AC±BD,ZC平分/B/O,

"ABAD=

；?NB4c=60°,

480=90°-60°=30°,

:NAOB=90°,

AO=—AB=—x2=1,

22

由勾股定理得：BO=DO=也,

"A沿E尸折疊與O重合，

：.EF±AC,EF平分AO,

"：ACYBD,

：.EF//BD,

:.EF為MBD的中位線，

EF=；BD=^5+△)=瓜

故選C.

點睛：次要考查菱形的性質(zhì)，純熟掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，拋物線y=ax2+bx+3(aKO)的對稱軸為直線x=l,如果關(guān)于x的方程ax2+bx-8=0(a#0)

的一個根為4,那么該方程的另一個根為()

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【答案】B

【解析】

【詳解】分析：拋物線歹=仃2+法+3（4。0）與拋物線y=ac2+bx—8的對稱軸相反是解題

的關(guān)鍵.

詳解：???關(guān)于X的方程a/+bx-8=0有一個根為4,

二拋物線夕=??+版一8與x軸的一個交點為（4,0）,

拋物線卜=如2+笈+3（4。0）的對稱軸為直線犬=1,

拋物線丁=0?+岳:-8的對稱軸也是^=1,

...拋物線與X軸的另一個交點為（-2,0）,

二方程的另一個根為x=—2.

點睛：考查拋物線與一元二次方程的關(guān)系，拋物線、=62+宗+’（“二（））的對稱軸方程是：

b

x---.

2a

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.計算（-2a）3的結(jié)果是.

【答案】-8a3

【解析】

【分析】根據(jù)積的乘方法則進行運算即可.

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【詳解】解：原式=（—2）3/=—8/.

故答案為_8/.

【點睛】根據(jù)積的乘方，等于把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的募相乘，計算后直接

得出答案.

14.計算（布-夜『的結(jié)果等于.

【答案】7-2710

【解析】

【分析】利用完全平方公式，根據(jù)二次根式的運算法則計算即可.

【詳解】（石—亞）

=（V?）2-2X/X0+（0）2

=5-2710+2

=7-2Vio

故答案為7-2何

【點睛】本題考查完全平方公式及二次根式的運算，熟記完全平方公式的結(jié)構(gòu)方式是解題關(guān)鍵.

15.將反比例函數(shù)y=2x的圖象向下平移，則平移后所得圖象對應的函數(shù)解析式可以是.（寫

出一個即可）

【答案】y=2x-2

【解析】

【詳解】分析：根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律直接寫出即可.

詳解：根據(jù)上加下減的準繩：反比例函數(shù)y=2x的圖象沿著y軸向下平移2個單位，得到直線

故答案為y=2x-2.

點睛：函數(shù)圖象的平移規(guī)律：上加下減，左加右減.

16.趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與兩頭一個小正方形拼成的大正方形.如圖，是一“趙爽

弦圖“飛鏢板，其直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和4.小明同窗距飛鏢板一定距離向飛鏢

板投擲飛鏢（假設(shè)投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上），求小明投擲飛鏢扎在兩頭小正方形區(qū)域（含邊線）

的概率是多少？

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【答案】0.2

【解析】

【詳解】試題分析：根據(jù)兒何概率的求法：飛鏢扎在兩頭小正方形區(qū)域(含邊線)的概率就是

暗影區(qū)域的面積與總面積的比值.

試題解析：解：觀察這個圖可知：大正方形的邊長為正彳=而，總面積為20平米，而

4

暗影區(qū)域的邊長為2,面積為4平米；故飛鏢落在暗影區(qū)域的概率為：—=0.2.

20

點睛：本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，普通用暗影區(qū)域

表示所求(A)；然后計算暗影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即(A)發(fā)生的概率;

關(guān)鍵是得到兩個正方形的邊長.

17.如圖，在直角三角形ABC中，ZACB=90°,CA=4,點P是半圓弧AC的中點，連接BP,線段

即把圖形APCB(指半圓和三角形ABC組成的圖形)分成兩部分，則這兩部分面積之差的值是

【答案】4

【解析】

【分析】連接OP、。8,把兩部分的面積均可轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積，不難發(fā)現(xiàn)兩部分面積之差

的值即為尸的面積的2倍.

【詳解】解：連接。尸、OB,

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?.?圖形BAP的面積=A4O8的面積+ZX80P的面積+扇形OAP的面積，

圖形BCP的面積=Z\80C的面積+扇形OCP的面積-△BO尸的面積，

又：點P是半圓弧/C的中點，OA=OC,

扇形OAP的面積=扇形OCP的面積，△408的面積=Z\80C的面積，

.??兩部分面積之差的值是2s.28=0P0C=4.

點睛：考查扇形面積和三角形的面積，把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)

鍵.

18.如圖，是大小相等的邊長為1的正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，A,B,C,D均為格點.

（I）AACD的面積為；

（II）現(xiàn)只要無刻度的直尺，請在線段AD上找一點P,并連結(jié)BP,使得直線BP將四邊形ABCD

所求.

【解析】

【詳解】分析：（I）根據(jù)三角形的面積公式直接進行計算即可.

BCZ）=￡，

（2）根據(jù)面積公式求出=4,5mMM直線BP將四邊形/3CO的面積分為1：2兩

部分，求得葭..，求出=5:3,即可根據(jù)類似求得點P的地位.

第17頁/總28頁

詳解：(I)由圖可得，5=-x5xl=-.

“/1cCoD22

(H)如圖‘連接BO,則=S"⑺尸+SA8D/T=5乂2*(2+2)=4,

=+XX=f

S四邊形/6CD=S“C￡>+S^ACB22^^~2^

??,直線BP將四邊形/8CO的面積分為1：2兩部分，

:?S&ABP=寸5=3即S"8Q=§

???AP:PD=5:3,

APAC5

如圖，連接CE,交力D于點P,連接5尸，則上=色上=士.

DPDE3

???線段社即為所求.

故答案為工.在線段”尸上確定點尸，使得/夕：尸。=5：3,連接BP,則8尸即為所求.

2

點睛：標題考查知識點較多，三角形的面積公式，平行線分線段成比例等，純熟相關(guān)的技巧和

方法是我們解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共7小題，共計66分。解答應寫出文字闡明、演算步驟或

推理過程）

T+3》①請題意填空,

19.解不等式組《完成本題的解答.

l-3(x-l)<6-x@

（1）解不等式①，得;（2）解不等式②，得

（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

^3~~1~1_0~1~~2~~3*

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(4)原不等式組的解集為.

【答案】xW2；x>-l；-l〈xW2

【解析】

'x-4?

--------F3>X(1)

【詳解】彳2,(1)解不等式①，得x<2；(2)解不等式②，得x>—1；

l-3(x-l)<6-x?

(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：一一1二;(4)原不等式

^3-2-1012V

組的解集為—l<x42.故答案為：x<2；x>-l；-l<x<2.

20.某中學在愛心捐款中，全體同窗積極積極捐款.現(xiàn)抽查了九年級(1)班全班同窗捐款情況,

并繪制出如下的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖：

捐款(元)2050100150200

人數(shù)(人)412932

求：(I)m=，n=；

(II)求先生捐款數(shù)目的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；

(III)若該校有先生2500人，估計該校先生共捐款多少元？

【答案】①.40②.30

【解析】

【詳解】分析：(I)把表格中的數(shù)據(jù)相加得出本次接受隨機抽樣調(diào)查的先生人數(shù)；利用50元,

100元的捐款人數(shù)求得占總數(shù)的百分比得出優(yōu),〃的數(shù)值即可；

(II)利用眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的意義和求法分別得出答案即可；

(III)利用求得的平均數(shù)乘總?cè)藬?shù)得出答案即可.

詳解：(I)本次接受隨機抽樣調(diào)查的先生人數(shù)為4+12+9+3+2=30人.

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12-30=40%,9+30=30%,

所以扇形統(tǒng)計圖中的〃?=40,n=30；

故答案為40,30；

(II)???在這組數(shù)據(jù)中，50出現(xiàn)了12次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

???先生捐款數(shù)目的眾數(shù)是50元；

?.?按照從小到大陳列，處于兩頭地位的兩個數(shù)據(jù)都是50.

.?.中位數(shù)為50元;

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)=(20x4+50x12+100x9+150x3+200x2)+30=2430+30=81(元).

(HD根據(jù)題意得：

2500x81=202500元

答：估計該校先生共捐款202500元.

點睛：本題考查扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)等，純熟掌握各個概

念是解題的關(guān)鍵.

21.在aABC中，ZACB=90°,點C的。O與斜邊AB相切于點P.

(1)如圖①，當點O在AC上時，試闡明2NACP=NB；

5

【解析】

【詳解】分析：(1)根據(jù)8c與ZC垂直得到8c與圓相切，再由48與0。相切于點P,利用

切線長定理得到8c=80，利用等邊對等角得到一對角相等，再由NZCP+N8cp=90°,等

量代換即可得證；

(2)在中，利用勾股定理求出ZB的長，根據(jù)4c與8c垂直，得到8C與。。相切,

連接連接OP、AO,再由N8與。。相切，得到。尸垂直于N8,設(shè)OC=x,則OP=x,OB=BC-OC=6-x,

求出RI的長，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出80的長，

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根據(jù)/C=4P,OC=OP,得到/。垂直平分CP,根據(jù)面積法求出CP的長，由題意可知，當點尸

與點力重合時，CP最長，即可確定出CP的范圍.

詳解：（1）當點。在HC上時，0C為。。的半徑，

"BC10C,且點C在0。上，

與QO相切，

?；Q0與AB邊相切于點P,

：.BC=BP,

1800-Zg

:?NBCP=NBPC=

2

ZACP+ZBCP=90°,

]on°_/Ri

???ZACP=90°—ZBCP=90°--------=-=-ZB.

22

即2ZACP=ZB；

(2)在△ZBC中，NACB=90",AB=JAC=BC?=10,

如圖，當點。在C8上時，OC為0O的半徑，

?.NC_LOC,且點。在QO上，

.?./C與QO相切，

連接。尸、AO,

,/。。與48邊相切于點P,

：.OP1AB,

設(shè)。C=x,則。OB=BC-OC=6-x,

'：AC=AP,

；.BP=/BTP=10-8=2,

在△。處中,NOP/=90”,

根據(jù)勾股定理得：。尸+BP?=OB2X2+22=（6-4,

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8

解得：X=-9

3

在入。。中,44。。=90。4。2+。。2=/。2,

???AO=《AC:OC?=-V10.

3

?：AC=AP,OC=OP,

.,.AO垂直平分CP,

...根據(jù)面積法得：CP=2XAC0C=§則符合條件的CP長大于-Vio,

AO55

由題意可知，當點P與點Z重合時，CP最長，

Q__

綜上，當點。在△Z8C外時,1W<CPW8.

點睛：屬于圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等面積法等，留意標題中所涉及的概

念，熟習相關(guān)的定理，公式技巧和方法是我們解題的關(guān)鍵.

22.如圖，AC是某市環(huán)城路的一段，AE,BF,CD都是南向的街道，其與環(huán)城路AC的交叉路口

分別是A,B,C.經(jīng)測量花卉世界D位于點A的北偏東45。方向，點B的北偏東30。方向上,AB=2km,

ZDAC=15°.

(1)求B,D之間的距離；

(2)求C,D之間的距離.

休城路

【答案】(1)BD之間的距離為2km；(2)C,D之間的距離其3km.

3

【解析】

【詳解】分析：(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及方向角的定義即可求出乙4。8=15°.根據(jù)等角對

等邊，即可證得=48即可求解；

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(2)根據(jù)等角對等邊即可證得8C=CD然后根據(jù)三角函數(shù)即可求得C。的長.

詳解：(1)如圖，由題意得，NE4O=45。，NFBD=3。。,

：.ZEAC=/LEAD+ADAC=45。+15。=60°.

"AE//BF//CD,

：.2FBC=NEAC=60°.

ZFBD=30°

：.NDBC=4FBC-Z.FBD=30°.

又,/ADBC=NDAB+ZADB,

ZADB=\5°.

：.NDAB=Z.ADB.

為等腰三角形，

BD=AB=2.

即BD之間的距離為2km.

(2)過8作50J.OC,交其延伸線于點O,

在RtaZJB。中，BD=2,NDBO=60。,

???DO=2xsin60°=也，8O=2xcos600=1.

77

在RtACBO中，ACBO=30°,C(9=8(9tan30o=—,

J3

???CD=DO-CO=y/3--=^-(km).

33

即C,。之間的距離型km.

3

點睛：本題考查解直角三角形的運用-方向角成績，構(gòu)造直角三角形，用三角函數(shù)來處理成績.

23.某旅行團計劃今年寒假組織老年人團到旅游，預訂賓館住宿時，有住宿條件一樣的甲、乙

兩家賓館可供選擇，其免費標準為每人每天120元，并且推出各自不同的優(yōu)惠：甲家是35人(含

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35人）以內(nèi)的按標準免費，超過35人的，超出部分按九折免費；乙家是45人（含45人）以

內(nèi)的按標準免費，超過45人的，超出部分按八折免費.

設(shè)老年人團的人數(shù)為X.

（1）根據(jù)題意，用含x的式子填寫下表：

x<3535<x<45x=45x>45

甲賓館免費/

120x5280

元

乙賓館免費/

120x120x5400

元

（2）當x取何值時，旅行團在甲、乙兩家賓館的實踐花費相反？

【答案】（1）108x+420,108x+420,96x+1080；（2）當爛35或x=55時，旅行團在甲、乙兩家

賓館的實踐花費相反

【解析】

【詳解】試題分析：（1）根據(jù)免費標準，可得解析式；

（2）根據(jù)都不優(yōu)惠時，可得實踐花費相反，根據(jù)優(yōu)惠時的實踐花費相反的等量關(guān)系，可得一元

方程，根據(jù)解一元方程，可得答案.

試題解析：（1）108X+420,108X+420,96X+1080;

（2）當運35時，旅行團在甲、乙兩家賓館的實踐花費相反，

當35<x“5時，選擇甲賓館便宜，

當x>45時，甲賓館的免費是：y=35x120+0.9x120（x-35）,即y,,=108x+420,

乙賓館的免費是：yyc=45xl20+0.8x120（x-45）=96x+1080,

當y產(chǎn)丫上時，108x+420=96x+1080,

解得x=55.

總之，當X435或x=55時，旅行團在甲、乙兩家賓館的實踐花費相反.

考點：函數(shù)的運用.

24.如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，

OA=4,OC=2.點P從點O出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到

達點A時中止運動，設(shè)點P運動的工夫是t秒.將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°

得點D,點D隨點P的運動而運動，連接DP、DA.

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(1)請用含t的代數(shù)式表示出點D的坐標；

(2)求t為何值時，4DPA的面積，為多少

(3)在點P從0向A運動的過程中，4DPA能否成為直角三角形？若能，求t的值.

若不能，請闡明理由；

(4)請直接寫出隨著點P的運動，點D運動路線的長.

【答案】(1)D坐標為(t+1」)；(2)當t=2時,ZXDPA的面積，值為1；(3)2秒或3秒時,ZXPAD

2

是直角三角形；(4)點D運動路線的長為2

【解析】

【分析】(1