高中數(shù)學(xué)人教A版(選修1-1)課時(shí)同步教案3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目標(biāo)：．了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；．能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次；教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間教學(xué)難點(diǎn)：用導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間教學(xué)過程：一．創(chuàng)設(shè)情景函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時(shí)，了解函數(shù)的贈(zèng)與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的．通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個(gè)基本的了解．下面，我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用．二．新課講授圖3.3-1（它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度

隨時(shí)間

t

變化的函數(shù)t)t

t

的圖像，圖（）表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度v隨間變化的函數(shù)

vt)

t)t6.5

的圖像．運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：（1運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)到最高點(diǎn)，離水面的高度隨間增加而增加，即h(t)

是增函數(shù)．相應(yīng)地，

v(t)

(t)

．（2從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度隨間

的加減，即h(t)

是減函數(shù)．相應(yīng)地，

v(t)'(t)

．

．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系．如圖3.3-3，導(dǎo)數(shù)

'

()0

表示函數(shù)f(x)

在點(diǎn)()0

處的切線的斜率．在

x

處，'(x)0

，切線是“左下右上”式的，這時(shí)，函數(shù)()

在0

附近單調(diào)遞增；在

x

處，f

'

()0

，切線是“上右下”式的，這時(shí)，函數(shù)()在x附近單調(diào)遞減．1結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個(gè)區(qū)間(b

內(nèi)，如果

f'()

，那么函數(shù)f()

在這個(gè)間單遞；果f

(x

，那么函數(shù)f()

在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．說明）別的，如果

f

(x

，那么函數(shù)y(x)

在這個(gè)區(qū)內(nèi)常數(shù)．．求解函數(shù)y()

單調(diào)區(qū)間的步驟：（1確定函數(shù)f(x)

的定義域；（2求導(dǎo)數(shù)

y

f'

(x)

；（3解不等式

f'()

，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；

（4解不等式三．典例分析

f'()

，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．例．已知導(dǎo)函數(shù)

f

(x)

的下列信息：當(dāng)

x

時(shí)，

f

(x

；當(dāng)

x

，或

x時(shí)，f')

；當(dāng)x，x時(shí)f

(x試畫出函數(shù)y()

圖像的大致形狀．解：當(dāng)

x時(shí)f'()

，可知y(x)

在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)x，x時(shí)，f')

；可知y(x)

在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞；當(dāng)x，x時(shí)f

(x

，這兩點(diǎn)比較特殊，我們把它稱“臨界點(diǎn)綜上，函數(shù)y()

圖像的大致形狀如圖3.3-4所．例．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間．（1

f)（2）f()（3()

)

；（4

fx)x

x解）為

f)

x

，所以，f'(x)xx因此，

f)

x

在上單調(diào)遞增，如圖3.3-51）所示．（2因?yàn)?/p>

f()2x

，所以，

f'(x)x當(dāng)

f'()，x時(shí)函數(shù)()x2x

單調(diào)遞增；

當(dāng)

f'()

，即

x

時(shí)，函數(shù)

f()2x

單調(diào)遞減；函數(shù)

f()2x

的圖像如圖（）所示．（3因?yàn)閒)

)

，所以，

f

(x)因此，函數(shù)f(xsin在

單調(diào)遞減，如圖3.3-5（）所示．（4因?yàn)?/p>

f)x3x2

，所以．當(dāng)當(dāng)

ff

(x(x

，即，即

時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)

f()f()

xx

；；函數(shù)

f)x3x2

的圖像如圖（4所示．注練例3

如圖，以常速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，分找出與各容器對應(yīng)的水的高度與間t的數(shù)關(guān)系圖像．分析：以容器（2）為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以常速注入時(shí)，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況．解：

思考3表通過函數(shù)圖像僅以看出函數(shù)的增減可以看出其變化的快慢合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？一般的，如果個(gè)函數(shù)在一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的快，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較“陡峭

反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．如圖3.3-7所，函數(shù)fx)

在

內(nèi)的圖像“陡峭在

內(nèi)的圖像“平緩例4

求證：函數(shù)

y2x

在區(qū)間

證明：因?yàn)?/p>

'

x

x

x

當(dāng)

所函數(shù)

y

x

2

在間

內(nèi)是減函數(shù)．說明：證明可導(dǎo)函數(shù)

f

內(nèi)的單調(diào)性步驟：（1求導(dǎo)函數(shù)

f

'

；（2判斷

f

'

內(nèi)的符號(hào)；（3做出結(jié)論：

f'

為增函數(shù)，

f'

為減函數(shù)．例5

已知函數(shù)

f)x

x3()在間

上增數(shù)數(shù)a的值范圍．四．課堂練