江西省2023年中考數(shù)學(xué)第一部分考點研究第四章三角形課時21相似三角形及其應(yīng)用習(xí)題新人教版

PAGEPAGE8第四章三角形課時21相似三角形及其應(yīng)用玩轉(zhuǎn)江西9年中考真題(2022～2022年)命題點1相似三角形的性質(zhì)(近9年僅2022年考查)第1題圖1.(2022江西6題3分)如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均相等，網(wǎng)格中三個多邊形(分別標記為①，②，③)的頂點均在格點上．被一個多邊形覆蓋的網(wǎng)格線中，豎直局部線段長度之和記為m，水平局部線段長度之和記為n，那么這三個多邊形中滿足m＝n的是()A.只有②B.只有③C.②③D.①②③命題點2相似三角形的判定(9年2考)2.(2022江西8題3分)以下四個三角形中，與圖中的三角形相似的是()【試題鏈接】2022年23題見P119.命題解讀：題型均為解答題，設(shè)題背景有：①竹竿；②遮陽傘；③曬衣架；④圓規(guī)，主要設(shè)問有：①求線段長；②根據(jù)條件判斷是否符合題設(shè)要求；③求關(guān)于面積的函數(shù)關(guān)系式．此類型題與實際生活緊密相關(guān)，其中2022年21題與2022年22題均可用解直角三角形的方法來求解．總分值技法：見P54考點精講——相似三角形的實際應(yīng)用．命題點3相似三角形的實際應(yīng)用(9年4考)3.(2022江西23題9分)圖①所示的遮陽傘，傘柄垂直于水平地面，其示意圖如圖②.當傘收緊時，點P與點A重合；當傘慢慢撐開時，動點P由A向B移動；當點P到達點B時，傘張得最開．傘在撐開的過程中，總有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0分米，CE＝CF＝18.0分米，BC＝2.0分米．設(shè)AP＝x分米．(1)求x的取值范圍；(2)假設(shè)∠CPN＝60°，求x的值；(3)設(shè)陽光直射下，傘下的陰影(假定為圓面)面積為y，求y關(guān)于x的關(guān)系式．(結(jié)果保存π)第3題圖4.(2022江西23題9分)問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組于同一時刻在陽光下對校園中的一些物體進行了測量．下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖①，測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm；乙組：如圖②，測得學(xué)校旗桿的影長為900cm；丙組：如圖③，測得校園景燈(燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計)的高度為200cm，影長為156cm.任務(wù)要求(1)請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度；(2)如圖③，設(shè)太陽光線NH與⊙O相切于點M.請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑(友情提示：如圖③，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式1562＋2082＝2602)．第4題圖5.(2022江西22題9分)如圖①，小紅家的陽臺上放置了一個曬衣架．如圖②是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿AB、CD相交于點O，B、D兩點立于地面，經(jīng)測量：AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈EF成一條線段，且EF＝32cm.(1)求證：AC∥BD；(2)求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)(精確到0.1°)；(3)小紅的連衣裙穿在衣架上后的總長度到達122cm，垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面？請通過計算說明理由．(參考數(shù)據(jù)：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan28.1°≈0.533，可使用科學(xué)計算器)第5題圖【答案】1.C【解析】如解圖，假設(shè)每個小正方形的邊長為1，①m＝1＋2＋1＝4，n＝2＋4＝6，那么m≠n；②在△ACN中，BM∥CN，∴eq\f(BM,CN)＝eq\f(AM,AN)＝eq\f(1,2)，∴BM＝eq\f(1,2)，同理GN＝eq\f(1,2)，在△AFG中，DM∥NE∥FG，∴eq\f(AM,AG)＝eq\f(DM,FG)＝eq\f(1,3)，eq\f(AN,AG)＝eq\f(NE,FG)＝eq\f(2,3)，得DM＝eq\f(1,3)，NE＝eq\f(2,3)，∴m＝2＋eq\f(1,2)＝2.5，n＝eq\f(1,2)＋1＋eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝2.5，∴m＝n；③由②得：BE＝eq\f(1,3)，CF＝eq\f(2,3)，∴m＝2＋2＋eq\f(2,3)＋1＋eq\f(1,3)＝6，n＝4＋2＝6，∴m＝n，那么這三個多邊形中m＝n的是②和③，應(yīng)選C.第1題解圖2.B【解析】所給圖形三邊分別為eq\r(10)，eq\r(2)，2eq\r(2).那么逐項分析如下：選項逐項分析正誤A三邊分別為2、eq\r(10)、3eq\r(2)，不符合條件B三邊分別為2、4、2eq\r(5)，與所給三角形三邊成比例，比值為eq\r(2)，符合條件√C三邊分別為2、3、eq\r(13)，不符合條件D三邊分別為eq\r(5)、4、eq\r(13)，不符合條件3.解：(1)∵BC＝2，AC＝CN＋PN＝12，∴AB＝12－2＝10，∴x的取值范圍是0≤x≤10；(2分)(2)∵CN＝PN，∠CPN＝60°，∴△PCN是等邊三角形，∴CP＝6，∴AP＝AC－PC＝12－6＝6，即當∠CPN＝60°時，x＝6；(4分)(3)如解圖，連接MN、EF，分別交AC于點O、H，第3題解圖∵PM＝PN＝CM＝CN，∴四邊形PNCM是菱形，∴MN與PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分線．PO＝eq\f(PC,2)＝eq\f(12－x,2)＝6－eq\f(1,2)x，在Rt△MOP中，PM＝6，MO2＝PM2－PO2＝62－(6－eq\f(1,2)x)2＝6x－eq\f(1,4)x2.又∵CE＝CF，AC是∠ECF的平分線，∴EH＝HF，EF⊥AC，∵∠ECH＝∠MCO，∠EHC＝∠MOC＝90°，∴△CMO∽△CEH，∴eq\f(MO,EH)＝eq\f(CM,CE)，∴(eq\f(MO,EH))2＝(eq\f(6,18))2，∴EH2＝9·MO2＝9(6x－eq\f(1,4)x2)，(7分)∴y＝π·EH2＝9π(6x－eq\f(1,4)x2)，即y＝－eq\f(9,4)πx2＋54πx.(9分)4.解：(1)由題意可知：∠BAC＝∠EDF＝90°，∠BCA＝∠EFD，∴△ABC∽△DEF，∴eq\f(AB,DE)＝eq\f(AC,DF)，即eq\f(80,DE)＝eq\f(60,900)，∴DE＝1200cm，∴學(xué)校旗桿的高度是1200cm；(4分)(2)解法一：與(1)類似得：eq\f(AB,GN)＝eq\f(AC,GH)，即eq\f(80,GN)＝eq\f(60,156)，∴GN＝208，在Rt△NGH中，根據(jù)勾股定理得：NH2＝1562＋2082＝2602.∴NH＝260，(6分)第4題解圖設(shè)⊙O的半徑為rcm，連接OM，如解圖，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH，那么∠OMN＝∠HGN＝90°，又∵∠ONM＝∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴eq\f(OM,HG)＝eq\f(ON,HN)，又∵ON＝OK＋KN＝OK＋(GN－GK)＝r＋8，∴eq\f(r,156)＝eq\f(r＋8,260)，解得：r＝12，∴景燈燈罩的半徑是12cm.(9分)解法二：與(1)類似得：eq\f(AB,GN)＝eq\f(AC,GH)，即eq\f(80,GN)＝eq\f(60,156).∴GN＝208，設(shè)⊙O的半徑為rcm，連接OM，如解圖，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH，那么∠OMN＝∠HGN＝90°，又∵∠ONM＝∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴eq\f(OM,HG)＝eq\f(MN,GN)，即eq\f(r,156)＝eq\f(MN,208).∴MN＝eq\f(4,3)r，(6分)又∵ON＝OK＋KN＝OK＋(GN－GK)＝r＋8，在Rt△OMN中，根據(jù)勾股定理得：r2＋(eq\f(4,3)r)2＝(r＋8)2，即r2－9r－36＝0，解得：r1＝12，r2＝－3(不合題意，舍去)，∴景燈燈罩的半徑是12cm.(9分)5.(1)證明：如解圖，證法一：∵AB，CD相交于點O，∴∠AOC＝∠BOD，(1分)∵OA＝OC，第5題解圖∴∠OAC＝∠OCA＝eq\f(1,2)(180°－∠AOC)，同理可證：∠OBD＝∠ODB＝eq\f(1,2)(180°－∠BOD)，∴∠OAC＝∠OBD，∴AC∥BD；(3分)證法二：∵AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，∴OB＝OD＝85cm，∴eq\f(OA,OB)＝eq\f(OC,OD)＝eq\f(3,5)；(1分)又∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴AC∥BD；(3分)(2)解：在△OEF中，OE＝OF＝34cm，EF＝32cm，作OM⊥EF于點M，如解圖，那么EM＝16cm，(4分)∴cos∠OEF＝eq\f(EM,OE)＝eq\f(16,34)＝eq\f(8,17)≈0.471，用科學(xué)計算器求得∠OEF≈61.9°；(6分)(3)解：解法一：小紅的連衣裙會拖落到地面．理由如下：在Rt△OEM中，OM＝eq\r(OE2－EM2)＝eq\r(342－162)＝30cm;過點A作AH⊥BD于點H，如解圖，同(1)可證：EF∥BD，∴∠ABH＝∠OEM，那么Rt△OEM∽Rt△ABH，∴eq\f(OE,AB)＝eq\f(OM,AH)，AH＝eq\f(OM·AB,OE)＝eq\f(30×136,34)＝120cm，∵小紅的連衣裙垂掛在衣架后總長度122cm＞曬衣架高度120cm，(8分)∴小紅的連衣裙