線代線性代數期中試卷

(330分 (B)(C) (D)a41a22a13a34,選項(C)行標和列標排列都不是標準排列，方法一：行標和列標排列的逆序數之和設n階行列式D=det(aij)=1，則將D逆時針旋轉90o所得的行列式的值為((A) (B)- (C)(- (D)(-1)n(n- (B)各行元和皆為(C)(D)10

010010

D

a23,Da

= (D)-DDa4

100的充要條件是 a(A) (B)a>- (D) aa (B)(C)A=0或 (D)A=0且設A,B均為n階方陣，則必有 (B)(C)若AB=O，則A=O或 (D))即A,B可交換時，選項(A)才成立。00

選項(D)顯然不成立，根據轉置矩陣的運算性質，正確結論應是：(AB)T=BTAT(反序規(guī)則 設A為n階方陣，A2-2A+3E=O，則矩陣A可逆，且A-1 (A)A- (B)2E- (C)-3-1(A- (D)3-1(A-(設A是n階可逆矩陣(n2)，A*是其伴隨矩陣，則(A*)*= (A)An- (B) (C)An- (D)根據伴隨矩陣的運算性質(參見習題講義中的要點/)，當A可逆時(即A0)，必(A*)*=An-(315分

395 1解3

12x2

=0的根為x= 9 23按5/5/

2x44當x=1時，行列式的第1,2行相同，得D=0；當x=2時，行列式的3,4101230123412301234

0，則D中的代 即第1列元素的代數式之和為24式的第2列元素全部替換為1，再按第2列展開，得第2列元素的代數式之和為 (1,2列相同同理，行列式的某3列和第4列元素的代數式之和也都是零。因此，原行列式中所有元素的代數式之和為24。解法二題設行列式所對應的矩陣為A 矩陣為 因為AA*=AE，且A可逆，得A*=AA-12 由于A*的元素就是A中各個元素的代數式，因此

a1n

計算

a2n

amn

mn

解

00

a112a12

00

a212a22

00

am12am2 mnn11

a112a12

a1n

a212a22或者，原式

2n

am1am2amn am12am2 mn

設A是5階方陣，且A=3，則2A-1- 2A1A*2A1AA1A115A113

A*

2AA*2A

13

1**3

13

A

3三、計算題（630分21n

2121解法一(遞推法Dn10Dn2Dn1

211

1

按第一列展

2Dn1DnDn1Dn1DnDnDn1Dn1Dn2D2D132n-1DnDn11Dn1Dn21，…D2D11DnD1n1

DnD1n1n解法二(化為下三角行列式2 =x1x2x3x當取何值時,x2x30xx1x2x3解D=0。于是，D得，=1A00

2110010000

0A的逆矩陣11解AA

==

A2

A1AE1則A1

E

E (注：此見習題講義中的“要點/，可直接使用，其證明方法參見習題二第題的解答11

，，5E1E

210

1 1

A00

2

5012100011

54設A04

44解AA*X=E AX=E+2AX 8

0

0 00

0

04 0800 0800

8800 8800 X=(AE-2A)-1=88

040 0

1/

01/0

1/000A00 0

An(n為正整數解23n=2A2

112

當n3時，An

n n 四、證明題（612分nf(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n為非負整數)，用克拉默法則證明：若f(x)=0n+1x1x2…xn+1f(x)a0a1a2=…=an=0.證n=0時命題顯然成立。下面證明n1時命題成立。n+1f(x)=0即 n+1，n+1Da1a2=…=an=0.證畢設A是n階實對稱矩陣，B是n階實稱矩陣，且A2=B2，證明A=B證A=AT，B=-BTA2=B2AAT設，由于n(i,i)元= k因此，aikbik0i=1,2,…,nk=1,2,…,n)A=B=O.AATA52的一個變式題五、解答題（13分an

n個月(n2)an,bnxn

xn1

1

n

n1AP=PBAP

an(單位:萬元

limb

由此可得出什么結論1

nn解

，即②