《三棱錐的外接球》教學設(shè)計

《三棱錐的外接球》教學設(shè)計佛山市順德區(qū)樂從中學張紅平【教材】人教A版必修2立體幾何初步【教學對象】陽江市陽西縣陽西一中學生內(nèi)容與內(nèi)容分析內(nèi)容分析本節(jié)課復習的內(nèi)容是三棱錐的外接球.簡單多面體的外接球是對空間幾何體與球相結(jié)合的綜合研究，目的是以外接球為載體，認識理解三棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，幫助學生從認識空間幾何形態(tài)過渡到認識理解空間幾何結(jié)構(gòu)特征，是簡單空間幾何體之后的延續(xù)，也是學習空間中點、線、面位置關(guān)系前所必須的一塊內(nèi)容，起著承上啟下的作用.三棱錐是高中學習的簡單幾何體當中的一個非常典型的幾何體.三棱錐可以看作是二維平面圖形翻折而成，依托于三棱錐，學生可以認識三維空間幾何形態(tài).然而翻折的程度不一樣，形成的三棱錐也不一樣，比如直棱錐、斜棱錐.三棱錐的結(jié)構(gòu)特征包含三個方面：底面的形狀、頂點到底面的距離、頂點在底面的投影位置.同樣是棱錐，同樣是三維空間幾何體，如何區(qū)別理解其結(jié)構(gòu)特征？那么就得借助三棱錐的外接球.三棱錐在其外接球當中，可以看作底面在其中一截面當中，頂點在球面上運動.通過頂點在球面上運動而在底面投影的位置，我們可以更深入的理解三棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，比如墻腳模型與鱉臑，正三棱錐與兩面垂直的三棱錐…借助三棱錐的外接球，學生可以從認識三維空間的幾何形態(tài)升華到認識理解三維空間的幾何結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)學生的空間想象能力，落實直觀想象的核心素養(yǎng).學習的過程當中，還需借助三棱錐的外接球，通過位置關(guān)系以及度量關(guān)系，更加嚴謹?shù)娜フJ識理解其空間幾何結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)學生推理論證的能力，落實邏輯推理的核心素養(yǎng).高考分析立體幾何研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系。新課標要求通過對立體幾何的學習，運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念。球的問題是高考命題的熱點，是考查學生對空間幾何圖形性質(zhì)的重要載體.球經(jīng)常與其他空間幾何體相伴出現(xiàn)，以選擇題或者填空題的形式出現(xiàn).隨著三視圖在2022版課標中刪去，通過三視圖認識空間幾何體在高考當中即將成為歷史，但是考查學生對空間圖形認識與理解依然繼續(xù)，對學習空間想象能力的考查將會進一步轉(zhuǎn)向球體等問題.如2022年全國卷文理各三卷均考查了球的問題，涵蓋了球的截面問題，三棱錐的外接球問題以及圓錐的外接球問題.球的截面問題依托于“球心——截面圓心——截面圓周點”所構(gòu)成的直角三角形來學生對球截面的位置關(guān)系的認識與理解；三棱錐的外接球問題借助模型的運用，理解三棱錐的空間位置關(guān)系、幾何結(jié)構(gòu)特征；圓錐的外接球問題結(jié)合圓錐的高與底面半徑之間的關(guān)系，考查學生對圓錐幾何結(jié)構(gòu)特征的認識與理解.球在高考當中，主要是通過位置關(guān)系以及度量關(guān)系，實現(xiàn)對學生空間想象能力以及推理論證能力的考查，是非常熱門的一個載體.新課標強調(diào)，要以長方體為載體，認識和理解空間點、直線、平面的位置關(guān)系.在高考當中，也特別注重對錐體以及其外接長方體（正方體）的外接球的考查，比如2022年全國卷Ⅰ理科，2022年全國卷Ⅱ，2022年全國卷Ⅱ…對于球體的有關(guān)問題要注重從基本圖形角度切入，基于模型去認識理解空間幾何體，如基于《高考數(shù)學全國卷真題精編》第137——140頁所提煉的思考2，思考3，思考4模型.二、學情分析本次授課的對象為陽江市陽西縣陽西一中的學生，學生基礎(chǔ)較薄弱.學生已經(jīng)復習了空間中簡單幾何體的圖形結(jié)構(gòu)特征，表面積以及體積等相關(guān)性質(zhì)，對空間幾何形態(tài)有一定的認識，但是對于空間幾何體與球相結(jié)合的認識理解還有待提升，對空間幾何結(jié)構(gòu)特征還需要進一步加強.在教學過程中可能會遇到的問題：運用正弦定理求外接圓的圓心；三棱錐外接球球心的定位；外接球半徑的求解；作圖通過圖像直觀理解幾何體在其外接圓中的位置；模型的認識與運用等.三、教學目標分析（一）單元教學目標立體幾何初步要幫助學生逐步形成空間觀念，應(yīng)遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現(xiàn)空間幾何體，幫助學生認識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能.通過對圖形的觀察和操作，引導學生發(fā)現(xiàn)和提出描述基本圖形平行、垂直關(guān)系的命題，逐步學會用準確的數(shù)學語言表達這些命題，直觀解釋命題的含義和表述證明的思路，并證明其中一些命題；對相應(yīng)的判定定理只要求直觀感知、操作確認，并加以運用.重點提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算和數(shù)學抽象素養(yǎng).（二）課堂教學目標基于單元教學目標，本節(jié)課的課堂教學目標定為：能夠通過圖形認識理解三棱錐及其外接球的位置關(guān)系，達成直觀想象的核心素養(yǎng);會運用模型認識理解三棱錐及其外接球的幾何結(jié)構(gòu)特征，并解決相關(guān)問題，達成邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).重點：認識理解三棱錐及其外接球的位置關(guān)系及其幾何結(jié)構(gòu)特征；難點：借助模型來定位球心，解決三棱錐及其外接球的相關(guān)問題.四、教學過程分析（一）教學流程設(shè)計環(huán)節(jié)一、環(huán)節(jié)一、知識預備環(huán)節(jié)三、模型運用環(huán)節(jié)二、模型儲備設(shè)計意圖：通過問題驅(qū)動學生思考并初步掌握三角形外接圓的半徑、球的半徑、球的性質(zhì)、球心定位等知識以備用，為課堂中通過模型理解幾何體以及相關(guān)求解打下鋪墊.設(shè)計意圖：精選高考真題，明確考查方向，考查目的；題組化式教學，學生更能發(fā)現(xiàn)題組中各幾何體的共性，分析其結(jié)構(gòu)特征，掌握其規(guī)律，從而形成模型，借助模型模型認識理解三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，強化模型意識.設(shè)計意圖：基于課堂所學的三棱錐外接球模型，進行分散訓練，更能凸顯學生對空間幾何結(jié)構(gòu)特征的認識與理解，達到靈活運用模型解決問題的能力.（二）教學過程設(shè)計教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容教師活動學生活動設(shè)計意圖環(huán)節(jié)一、知識預備（預計8分鐘）思考1：什么是外心？外心具有什么性質(zhì)？上述三角形外心在什么位置？外接圓的半徑是多少？對于任意三角形，你是如何求其外接圓的半徑？你能從上圖圓中得到怎樣的性質(zhì)？類比到球中又有怎樣的性質(zhì)？對于上圖，你是如何求圓的半徑？球的半徑又該如何求？你是如何確定圓心的位置？球心呢？想清楚以上問題，請完成，并思考題組后的問題.1.(2022?全國卷Ⅰ?文8)平面截球的球面所得圓的半徑為，球心到平面的距離為，則此球的體積為（）A.B.C.D.2.(2022?全國卷Ⅰ?文15)已知是球的直徑上一點，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，則球的表面積為______．3.(2022?全國卷Ⅱ?理10文11)已知是面積為的等邊三角形，且其頂點都在球的球面上.若球的表面積為，則到平面的距離為（）A. B. C. D.4.(2022?全國卷Ⅰ?理10)已知為球的球面上的三個點，為的外接圓.若的面積為，，則球的表面積為（）A. B. C. D.上述題組中條件的呈現(xiàn)以及問題的設(shè)置有何共同點？基于何種模型命題？解決問題的關(guān)鍵是什么？你解決上述問題的策略是什么？提煉解決問題的方法.布置學生課前任務(wù)，并設(shè)置問題，課堂提問學生，引導學生思考并初步掌握三角形外接圓的半徑、球的半徑、球的性質(zhì)、球心定位等知識以備用提問引導學生歸納出題組幾何體的共同點，并提煉解決該類問題的方法.課前結(jié)合幾何圖形思考問題，作好知識預備.課堂上類比圓，得出球的性質(zhì).學生課前作圖，通過圖形思考題組中條件的呈現(xiàn)以及問題的設(shè)置有何共同點？并積極回答.三棱錐的外接球問題是基于“球心—底面外接圓圓心—截面圓周點”所成直角三角形而展開的，借助于勾股定理，構(gòu)造方程，進而解決有關(guān)球的問題體現(xiàn)的方程的思想.底面外接圓的半徑需要用到正弦定理，課前設(shè)置思考1，引導學生掌握球截面半徑的求解.類比圓的性質(zhì)，得出球的有關(guān)性質(zhì)，體現(xiàn)了類比的思想.逐層設(shè)計.通過前面設(shè)問所獲取的知識，恰到好處的以題組的方式強化學生對知識的運用.通過位置關(guān)系、度量關(guān)系強化對球截面的認識.作為知識預備，正是為后面三棱錐及其外接球通過嚴謹?shù)耐评碚撟C認識理解其位置關(guān)系以及幾何結(jié)構(gòu)特征打下鋪墊.環(huán)節(jié)二、模型儲備（預計32分鐘）思考2：5.(人教A版必修2第68頁練習2)一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長是,求球的體積.6.(2022?天津?5)若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A．B．C．D．7.(2022?全國卷Ⅱ?文4)已知體積為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為（）A．B．C．D．8.(2022?全國卷Ⅱ?文15)長方體的長、寬、高分別為，其頂點都在球的球面上，則球的表面積為上述題組所給幾何體具有什么特征？上述題組幾何體外接球的球心在什么位置？如何求外接球的半徑？你解決上述問題的策略是什么？提煉模型.思考3：9.(2022?全國卷Ⅰ?理12)已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，分別是中點，，則球的體積為（）A． B． C． D．10.(2022?南京期中)詞語“塹堵”、“陽馬”、“鱉臑”等出現(xiàn)自中國數(shù)學名著《九章算術(shù)?商功》，是古代人對一些特殊錐體的稱呼.在《九章算術(shù)?商功》中，把四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，現(xiàn)有如圖所示的“鱉臑”四面體，其中平面，，，則四面體的外接球的表面積為_______.11.(2022?全國卷Ⅰ?理12)已知一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則這個球的表面積為（）A． B． C． D．12.(2022?重慶一模?理12)已知，四點在半徑為的球面上，且，，，則三棱錐的體積為______．① 上述題組中的幾何體有何特征？與思考2題組中的幾何體有何關(guān)聯(lián)？② 你是如何定位外接球的球心的？③ 你解決上述問題的策略是什么？提煉方法模型.思考4：13.(2022?全國卷Ⅲ?理10文12)設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．14.(2022年佛山二模，理16)已知矩形,,,將沿對角線進行翻折,得到三棱錐,則三棱錐的外接球體積為______．15.(2022年佛山一模，理11)已知三棱錐中，側(cè)面底面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A.B.C.D.上述題組所給的幾何體具有什么特征？是基于何種幾何模型變化延伸而來？上述幾何體外接球的球心在什么位置？你是如何定位球心的？你解決上述問題的策略是什么？提煉方法模型.本節(jié)課你學習到了什么？你是如何開展學習的？挑選教材以及高考真題有關(guān)長方體（正方體）外接球的題目，引導學生對比歸納題組幾何體的結(jié)構(gòu)特征的.精選高考真題以及地方模擬題，讓學生畫出圖形，并從中挖掘幾何體的結(jié)構(gòu)特征，引導學生聯(lián)系思考2的幾何體，尋求解決問題的途徑.并安排學生上臺展示作圖.要求學生作出圖形，嘗試能否在長方體中找出幾何體，引導學生如何定位球心，找到解決問題的途徑.不需要詳細解答，只需觀察題組中幾何體的結(jié)構(gòu)，并思考其特征，說出長方體（正方體）外接球的位置特征.學生作圖，并要挖掘圖形所具有的特殊結(jié)構(gòu)特征，再聯(lián)系思考2的幾何，嘗試在長方體中找出本題組中的幾何體.作出圖形，觀察圖形的結(jié)構(gòu)，思考是否還能以長方體為載體，快速找到解決辦法？如若不能，能否找出球心？立足教材，依托高考真題，通過題組化設(shè)置問題引導學生重新認識熟悉的長方體（正方體）的外接球.長方體（正方體）的外接球?qū)W生非常熟悉，設(shè)置于此處，為思考3認識三棱錐的墻腳模型、鱉臑模型、正四面體模型、等腰四面體模型打下鋪墊.思考3題組中的四個幾何體分別是墻腳、鱉臑、正四面體、等腰四面體，四個完全不一樣的四面體，卻又有著相似之處，都是以長方體（正方體）為基本模型.通過題組四面體的結(jié)構(gòu)對比，挖掘其共性，加深學生對幾何圖形結(jié)構(gòu)特征的認識，突出以長方體為載體，認識和理解空間幾何圖形結(jié)構(gòu)特征，強化模型意識，凸顯了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.思考4中的三個幾何體分別是正三棱錐、兩直角三角形共斜邊三棱錐、垂面三棱錐，這三種模型分別是正四面體、鱉臑、墻腳變化延伸之后的產(chǎn)物.通過思考3到思考4的過渡，借助長方體以及外接球，學生更能直觀的認識理解空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征.思考3中以長方體為載體，是為了快速的幫助定位球心，而思考4中幾何體不能從長方體中可得，則需要通過變化過程結(jié)合底面過外接圓圓心的垂線必經(jīng)過球心來定位.環(huán)節(jié)三、模型運用1.(2022?佛山一模?理10文15)已知矩形,,,為的中點,現(xiàn)分別沿將,翻折,使點重合,記為點,則幾何體的外接球表面積為()A．B．C．D．2.(2022?全國卷Ⅰ?文16)已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的表面積為________.3.(2022?全國卷Ⅰ?理11)已知三棱錐