小學數(shù)學《數(shù)學廣角 排隊問題》課堂實錄

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文字錄入：同福中路第一學校

課前談話

師：同學們，剛才我聽你們背了一首詩，是什么時候學的呢？

生：四班級

師：看來你們對四班級該掌控的知識真的還掌控的不錯。我們是第一次見面，剛剛才見面，但是你們的笑容告知我，你們是歡迎我的，是嗎？

生：是？

師：感謝。剛才我把一張紙發(fā)了下去，先把它壓在書下面，我們稍后統(tǒng)一再用。今日我們在這里上課，由于空間比較大，所以等一下同學們回答下列問題的時候，可能需要用到麥克風，麥克風在中間那一排同學那里，大家看看。麻煩中間六位同學在等一下上課的時候手勤快一些。當我點到某一個同學回答下列問題，請很快地把麥克風遞給他。還有，我們來上數(shù)學課，你覺得數(shù)學課最重要的一點，上課要怎么樣？

生：仔細聽。

師：呦，數(shù)學可不是聽來的，

生：積極發(fā)言、思索……

師：說得真好。我們要把數(shù)學學好，需要要——思索！對！要不要聽？要不要說？但更重要的是什么？

生：思索。

師：更重要的是思索。等一下看看我們班的同學積極思索，舉手發(fā)言，給我的印象就真好。你情愿做前面的還是情愿做后面？

生：前面的！

師：這個同學反應很快，看來他真的要做前面的。還有一點大家回答下列問題不要可怕，我們第一次見面就當做是交個伙伴。好不好？

生：好！

師：那下面我們要預備開始上課了，行嗎？

生：行！

教學過程

師：同學們愛聽故事嗎？

生：愛！

師：我來講個故事，這個故事就發(fā)生在我們學校?！策呏v故事邊播放課件〕前幾天放學后，四年一班和四年二班的值日生接到一個緊急任務。請看屏幕。要四年一班和四年二班的值日生在20分鐘內(nèi)把桌椅、地板用水擦潔凈，把花澆好。只有20分鐘的時間，但是這個時侯已經(jīng)放學了，每個班里只剩下3個值日生。他們立刻分工合作，忙得不亦樂乎。20分鐘過去了，四年二班順當完成任務，但是四年一班由于時間不夠，完成不了。后來級長來了解緣由，發(fā)覺兩個班的值日生都做得特別仔細，他們的工作程序和工作分工都是一樣的。由于擦桌椅、地板，澆花都要用到水，而在課室的不遠處，就有兩個水龍頭，剛好每班一個。所以他們第一步都是三個值日生一起先到水龍頭處拿水，把水打回來后，分工合作，然后誰先做完了就幫沒做完的同學。程序一樣，分工一樣，究竟什么地方不同，導致最末四年二班順當完成任務，但是四年一班卻不行呢？問題原來就出在用水龍頭打水這個環(huán)節(jié)上。同學們，打水可是需要時間的，每個人只有多少分鐘？

生：20分鐘。

師：打水的時間長了，搞衛(wèi)生的時間就短了。你看，第一個大水桶打水的時間是5分鐘。中水桶？

生：3分鐘。

師：小水桶？

生：1分鐘。

師：那你猜，四年一班和四年二班在打水的時候，他們的安排有什么不同呢？思索一下。

生：〔寧靜思索〕

師：都是這樣子打水，都是一起到那里打水，原來他們在打水時，水桶的排序不一樣，排隊的順次不一樣。怎么了？這些水桶哪些水桶先，哪些水桶后，花的時間不是一樣的嗎？一樣嗎？

生：不一樣。

師：莫非排隊的順次也會影響工作的結果嗎？

生：會。

師：對！真的會！所以今日，我們就站在數(shù)學的角度去討論一下排隊的問題。今日，我們學習的是什么？

生：數(shù)學廣角！

師：我們來學習的是數(shù)學廣角。〔板書課題〕

師：現(xiàn)在猜一猜，你說四年一班是怎么排這些水桶的順次？猜一猜，他贏了，他是怎么排這些順次的？

生：我想他們是先用最小的水桶先打水，然后再是中水桶，再用大水桶打。

師：也就是說，根據(jù)“小—中—大”這樣的順次來排。〔在黑板的表格上填寫〕這是這個同學的猜想。小水桶打水是幾分鐘？

生：1分鐘。

師：中水桶？

生：3分鐘。

師：大水桶？

生：五分鐘。

師：好，還有其他猜想嗎？四年二班贏了，他是按什么樣的順次？

生：我猜他是先叫中水桶，再小水桶，再大水桶。

師：根據(jù)“中—小—大”這樣的順次來排。〔在黑板的表格上填寫〕還有沒有別的猜想？

生：我猜他們可能是5分鐘大水桶先，接著中水桶，然后小水桶。

師：根據(jù)“大—中—小”這樣的順次來做的。〔在黑板的表格上填寫〕看來還有不同的'看法？也就是，我們的排序止不止這3種？

生：不止。

師：我們還有其他的排序，是吧？

生：是。

師：但究竟那一種順次才是最快的順次呢？我們先不急，我們先把這些水桶排隊的順次先列舉出來。這是我們以前學過的知識。會嗎？

生：會。

師：拿出你們的練習紙，立刻列一列，同位兩個同學相互合作。

生：〔在練習紙上列順次〕〔00：13：09——00：15：00〕

師：列舉完的請舉手。還有哪些順次？你做到不重復，不遺漏了嗎？做完的邊舉手邊檢查。請個同學說說，這些水桶排隊有哪些順次呢？〔生邊匯報師邊板書〕

生：“小—中—大”

師：已經(jīng)有了，說說沒有的。

生：“小—大—中”

師：你把它放在哪里？第幾欄？

生：最末。

師：最末？想想老師為什么會問你這個問題。然后？

生：“大—小—中”

師：寫在哪里？

生：第四欄。

師：這一欄還是這一欄？

生：第四……第五……

師：你說一說，你的順次是什么？

生：“小—中—大”

師：“小—中—大”已經(jīng)有了，“小—大—中”也已經(jīng)有了。想想，〔指板書〕老師為什么要這樣排列？找到方法規(guī)律了嗎？

生：“大—小—中”

師：在哪里？

生：第二個。

師：“大—小—中”

生：“中—大—小”

師：完了嗎？都列舉完了嗎？沒有重復沒有遺漏嗎？

生：沒有。

師：為什么你這么確定？有什么方法？

生：先把“大”先排出了，再排兩個“中”，再排兩個“小”開頭的。

師：聽懂他的話了嗎？

生：聽懂。

師：也就是我們在排隊的時候，假如我們根據(jù)順次來排的話，才會做到不重復不遺漏。古怪了，其實無論怎么排，打水的時間是不是一樣的？

生：不是…是…

師：為什么是一樣的？你來說說。

生：由于每5分鐘打水、3分鐘打水、1分鐘打水加起來都是一樣的數(shù)。

師：都是多少？

生：9

師：都是9分鐘。恩，這是他的見解。無論怎么排都是5+3+1=9。有什么區(qū)分呢？下面我們來看看有什么區(qū)分。好，我們來看看，我們來算一算，這三個人，他們打水的時間總和是不是一樣的？我們來看看，他們的打水時間：大水桶幾分鐘？

生：5分鐘。

師：中水桶呢？

生：3分鐘。

師：小水桶呢？

生：1分鐘。

師：那第一個人用了……？

生：5分鐘。

師：第二個人呢？

生：3分鐘。

師：別忘了，他不等??？他不等前一個人嗎？

生：8分鐘。

師：為什么是8分鐘？唉，反應過來了，我說就不一樣嘛。

生：由于第1個人已經(jīng)用了5分鐘，第二個人用了3分鐘，然后5分鐘加3分鐘就等于8分鐘。

師：前面的5分鐘是干嘛的？

生：前面的5分鐘是打大水桶的。

師：也就是說第二個人究竟用了幾分鐘？

生：8分鐘……3分鐘……

師：8分鐘還是3分鐘？

生：8分鐘。

師：怎么是8分鐘？明明是3分鐘？同位說說，明明是3分鐘，為什么是8分鐘？

生：〔同位爭論〕

師：有答案了嗎？

生：有！

師：那一起告知我，為什么是8分鐘？

生：由于……

師：用個算式來告知我行不行？

生：5+3=8

師：對呀。前一個人打水，后一個人還得要等啊。第三個人要用多少分鐘？好，一起說！

生：9分鐘。

師：怎么算出來的？

生：5+3+1=9

師：對，假如按這樣的排序，第一人用了5分鐘，第二人用了〔5+3〕分鐘，第三個人用了〔5+3+1〕分鐘，三個人打水一共用了多少分鐘？

生：9分鐘。

師：〔作無奈狀〕第一人用了5分鐘，第二人用了〔5+3〕分鐘，第三個人用了〔5+3+1〕分鐘，三個人打水一共用了多少分鐘？你看看一些舉手的同學，他們算得多快呀。好，你來。

生：一共用了20分鐘。

師：好，你來補充。

生：一共用了22分鐘。

師：好，請坐。我們一起來算算看看是不是。用了幾個5分鐘？

生：3個。

師：用了3個5分鐘。繼續(xù)說。

生：2個3分鐘。

師：真行。2個3分鐘，用了……1個1分鐘。好，我們來算算，這是15，這是6，這是1，多少？

生：22

師：用了22分鐘。三個人一共用了22分鐘來打水。那他們搞衛(wèi)生……？

生：沒時間了。

師：有，怎么沒時間呢？他們搞衛(wèi)生用了多少時間？第一個人有多少分鐘？

生：5分鐘。

師：有多少分鐘搞衛(wèi)生？

生：15分鐘。

師：對，有15分鐘搞衛(wèi)生。第二個人？

生：12分鐘。

師：算得快！第三個人？

生：11分鐘。

師：有11分鐘搞衛(wèi)生。一共搞衛(wèi)生用了多少時間？

生：38分鐘。

師：用了38分鐘。除了這樣的算法，還有沒有更快的算法？1個人有20分鐘，3個人有？打水就用了？

生：22分鐘。

師：所以他這里用來多少分鐘？怎么列式？

生：20×60

師：20×3就是60，一共用了60分鐘，減去？

生：減去22分鐘

師：等于？

生：等于38分鐘。

師：他跟我一樣，都是近視，我能理解他，離得遠看不清。你看，有兩種算法都能算出來是38。剛才我們算了大水桶、中水桶、小水桶這樣的順次，“大—中—小”。那么我們再挑一個來算一算。你們剛才說花的時間是一樣的，現(xiàn)在我們來看一看，是不是真的一樣。一起來算，假如根據(jù)“大—小—中”，那是5分鐘……

生：1分鐘，3分鐘。

師：第一人5分鐘。

生：第二人〔5+1〕分鐘。

師：第三人？

生：〔5+1+3〕分鐘。

師：那總和是多少分鐘？搞衛(wèi)生的時間又是多少分鐘？你會算嗎？能不能？

生：能？

師：接著下來這些你都能算嗎？我們同位合作，看看那個同學合作得好，抓緊時間把它算出來。

生：〔同學計算〕

師：有些同學一個在寫一個在算，這樣就快了。

生：〔同學計算〕

師：好，請把筆放下。來，我們一起看。剛才有的同學合作得特別好，一個算上一題，一個算下一題，這叫節(jié)約時間。今日我們討論的也是有關合作的問題啊。好，我們一起來看一看，剛才算的這一個大中小桶最末這個時間是多少？

生：……

師：幾個5？

生：3個5

師：繼續(xù)說？

生：2個1

師：反應很快，繼續(xù)……

生：1個3

師：15+2+3等于28分鐘。所以搞衛(wèi)生用了……

生：……

師：怎么沒聲音呀？哦，原來是之前我寫錯了。難怪，我就說怎么都沒聲音的呢。15+2+3=20才對。好，繼續(xù)，60-20=40分鐘。好，接著，中小大的順次，能不能反應快一些呢？好，我們一起來。

生：……

師：幾個3？請看！！三個3！幾個1？

生：兩個1，一個5。

師：3*3+2*1+5*1=？

生：16

師：接著……

生：60-16=44

師：好，接著，這里……

生：這里是3，這里是3+5，這里是3+5+1

師：猜，我為什么不寫這一個。我不寫這一個我都能列這個算式。板書33+53+5+1

這里是幾個3？

生：三個3。

師：三個3，兩個5，加一個1，等于……？

生：……

師：不要在誤導我。究竟是多少？

生：20

師：搞衛(wèi)生的時間是60-20=40分鐘，好，繼續(xù)！這里是……

生：11+51+5+3

師：幾個1？

生：三個1。兩個5，加一個3。

師：等于……

生：16

師：等于16。

生：60-16=44分鐘。

師：我都覺得煩了。干嘛寫這個呢？我不寫這個能寫這個嗎？

生：能！

師：怎么樣？三個1，兩個3，一個5〔列式〕等于……？

生：16……14……

師：14

生：60-14=46

師：我們知道，不同的排序，打水的時間一樣嗎？

生：不一樣。

師：搞衛(wèi)生的時間就不一樣。你猜，四年2班贏了，他用的是哪種的排列順次呢？

生：……

師：剛才誰猜對呢？都沒有人舉手。好現(xiàn)在一起手，是哪一種排列順次？

生：第6種。

師：也就是說，四年2班用的是第6種的順次。對了，四年1班輸在哪里呢？他們用了第一鐘的順次。用第一種的順次跟用了第六種的順次，最大的區(qū)分在哪里？我們一起來觀測一下這些算式……我們一起來看屏幕?！财聊伙@示條形圖〕假如我們根據(jù)小中大的順次來排的話，我們發(fā)覺，3個人都是有20分鐘。但第一個人打水1分鐘，搞衛(wèi)生19分鐘。第二個人打水4分鐘，搞衛(wèi)生16分鐘。第三個人打水9分鐘，搞衛(wèi)生就用了11分鐘。所以，假如根據(jù)小中大這樣的順次來排的話，用了14分鐘打水，用了46分鐘搞衛(wèi)生。這就是四年2班的順次。而四年1班他們采納的是……剛好反過來，大中小的順次。都有20分鐘，第一個人用了5分鐘，第二個人用了8分鐘，還剩下12分鐘。三個人用了9分鐘，還剩下11分鐘。所以他打水用了22分鐘，搞衛(wèi)生用了38分鐘。贏的策略跟輸?shù)牟呗?。搞衛(wèi)生的時間就相差了多少分鐘？

生：相差了8分鐘。

師：相差了8分鐘。就是由于這8分鐘，四年1班輸了，四年2班贏了?？纯?，剛才同學們說打水，不管那桶怎么排，都是用了9分鐘。這句話只對了一半。是誰用了9分鐘？

生：最末一人。

師：是最末一人用了9分鐘，但是他們前面的同學用的時間一樣嗎？

生：不一樣。

師：不一樣！所以，現(xiàn)在想想，假如我要節(jié)約這些打水的時間……這是不是打水的時間??？是打水的時間嗎？那他為什么這里用了5分鐘，這里用了8分鐘呢？前面的5分鐘是用來干嘛的？

生：等第一個。

師：等第一個，也就說他把時間花在了等前面人的身上。所以，想想，這是不是打水的時間？是什么時間？

生：等待的時間。

師：對。這根本就不是打水的時間，其實他是把時間花在了等這里。是等候的時間。而真正用來搞衛(wèi)生的時間是后面的這一半。那現(xiàn)在，你想想，假如要贏的話，應當按怎么樣的排序才能贏呢？把什么放在前面？把什么放在后面？同位兩個商量一下。

生：〔同學爭論〕

師：好，誰來說一說？這個小男孩來說。

生：先把小中大放在第一個。

師：也就是說，把什么排在第一，把什么排在第二，把什么排在第三？

生：把小的放在……

師：什么小？

生：把小桶……

師：事實上就是什么少？

生：時間。

師：把時間少的放在前面。然后呢？

生：把時間中的防在第二個，最末把時間久的防在第三個。

師：這樣做有什么好處啊。

生：可以節(jié)約時間。

師：怎么會節(jié)約？誰來幫他補充？

生：就可以等候的時間少一點。

師：對。不用等前面的人等得那么久。對，你看，這就是合作操作。我們在合作工作的時候，排隊的順次，往往會影響工作效率。當然誰都不盼望久等，但是在合作的時候，假如我們合理地排列這些順次，我們就可以使等的時間少一點……

生：搞衛(wèi)生的時間就多一點。

師：搞衛(wèi)生有這樣的規(guī)律，那么其他的問題上都是等候，會不會也有這樣的規(guī)律呢？好，我們來看一看。北江又在堵船了，干嘛回家堵船的？這些船啊，原來都在等候卸貨。但是碼頭只有3個船位，是可以讓輪船靠近去的，而這些船的貨物還得一船一船的卸貨。有的船貨多，瀉貨的時間就長。有的船貨物少，瀉貨的時間越短?，F(xiàn)在我想解決這個河道堵塞的問題。假如你就是這個調度員，怎樣安排——預備起！一起讀。

生：……

師：猜到了嗎？那個女同學很想回答。讓她回答。

生：先讓那些小的船先卸貨，然后是中的船，最末大的船。這樣，等候的時間就花得越少。

師：你是這樣猜的，還有其他的猜想嗎？你說，你猜。

生：我猜先是小的船靠近，然后是大的船，然后是中船。

師：小的、大的、中的，是吧？好，下面我們就來討論一下。我想問一問，你的猜想跟剛才那個女同學接近的請舉手。

生：〔同學舉手〕

師：跟剛才那個男同學一樣的請舉手。

生：〔同學舉手〕

師：好，請放下手。那么我們來看看，是不是真的是這樣。船太多的，我們就按這位同學所說的，把它看作是一只貨物小的船，一只貨物中等的船，一只貨物比較多的船，我們一起來討論一下看看。這里有三艘船，這一艘船需要……1小時。另一艘船需要4小時，第三艘船需要8小時。我們就把它叫做小船、中船和大船。好，我們來看看，這里有句話是怎么說的？

生：只能一船一船地卸貨。

師：有什么問題？

生：要使三艘貨船的等候時間最少，應當按怎樣的順次卸貨？

師：想一想，我們預備怎樣解決？剛才你們猜想，剛才那個女同學的猜想是小——中——大，那個男同學的猜想是小——大——中。好，這樣，我們把這張紙翻到后面，請在第一欄寫出你猜想的順次。你們先別忙，我還沒說完呢。第一欄寫出你猜想的順次，然后再算它的時間。然后，你再隨意列一種順次，也算算它的等候時間，看看你的猜想對不對。行不行？

生：行。

師：好，開始做。……〔巡察〕看來剛才還有同學沒聽懂，第一欄是你的最正確方案，第二欄是對比的方案。明白了嗎，就兩個方案就行了。

生：〔同學爭論，計算〕

師：好，請第一個同學。做完了請舉手?！材昧藘蓚€同學的練習紙到實物投影〕。好，有答案的同學請坐好。好，這個同學，他的最正確方案是小——中——大，他的等候總時間是19分鐘。然后，他的對比方案是小——大——中。他的等候時間是23分鐘。他通過這樣一對比，的確是第一方案是最好的。有沒有其他的看法？剛才那位同學不是說小——大——中嗎？是不是？那你現(xiàn)在，你自己的認為呢？站起來說一說你的看法。

生：我認為是先小后大再中。

師：現(xiàn)在你還堅持這樣的看法嗎？

生：不堅持。

師：不堅持了，那你現(xiàn)在認為呢？

生：我認為小——中——大。

師：其他同學，你們的看法假如有不同的，你可以舉手說出來。有沒有？你們都是認為按什么的順次？

生：小——中——大

師：好，那我看看是不是。由于時間的問題，老師給你們把它全部算出來了。你看