七年數(shù)學(xué)下冊第章多邊形.1三角形.1.2三角形中三種主要線段課件（新版）華東師大版

9.1三角形第2課時

三角形中三種

主要線段第9章多邊形1課堂講解三角形的角平分線三角形的中線三角形的高2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升有一天，小明回家看到弟弟正在對著下邊的三角形發(fā)呆，小明有一點奇怪了，外號“坐不住〞的弟弟怎么能坐住了？原來是弟弟想作出三角形ABC的三條高，但是他不會作邊AB、BC上的高，小明不假思索的說：“我來幫你〞，當(dāng)他準(zhǔn)備作時，也難住了，聰明的你，能幫幫小明兄弟嗎？1知識點三角形的角平分線如下圖，作△ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線交BC于點D，線段AD就是△ABC的一條角平分線.顯然，△ABC有三條角平分線.知1－導(dǎo)如圖是一個銳角三角形ABC，在這個三角形中畫出三條角平分線.把銳角三角形換成直角三角形或鈍角三角形，再試一試.你發(fā)現(xiàn)了什么知1－導(dǎo)知1－講1.定義：三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，頂點和交點之間的線段叫這個三角形的角平分線．2.位置圖例：任何三角形的三條角平分線交于一點，

且該點在三角形的內(nèi)部，這點叫這個三角形的內(nèi)

心．如圖.知1－講3.表達方式：(1)AD是△ABC的角平分線；(2)AD平分∠BAC交BC于點D；(3)∠BAD＝∠CAD＝∠BAC.

注：上述三種情況都表示同一意義，即AD是△ABC

的角平分線，選用哪種表示法，應(yīng)根據(jù)解題需要.知1－講4.特別提醒：(1)三角形中的重要線段：三條高、三條中線、三條角

平分線．(2)三角形中的三個重要的點：三條高的交點叫垂心，

三條中線的交點叫重心，三條角平分線的交點叫內(nèi)

心．5.易錯警示：

角平分線是一條射線，而三角形的角平分線是一條

線段，不要混淆．關(guān)于三角形的角平分線，以下說法正確的選項是()A．是線段B．是射線C．是直線D．可以是射線或線段知1－講例1導(dǎo)引：三角形的角平分線是一條線段，應(yīng)選A.A總

結(jié)知1－講三角形的角平分線與角的平分線是不同的兩個概念：三角形的角平分線是一條線段，而角的平分線是一條射線；一個三角形的角平分線有三條，一個角的平分線只有一條；在三角形中，三角形的角平分線是三角形的內(nèi)角平分線上的一局部．此題易因混淆概念而錯選D.如圖，△ABC中，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC，DF∥AB，EF交AD于點O，請問DO是△DEF的角平分線嗎？說明理由．知1－講例2導(dǎo)引：要知道DO是不是△DEF的角平分線，只需要知道∠EDO與∠FDO是否相等．假設(shè)相等，根據(jù)三角形的角平分線的定義即可判定．知1－講解：DO是△DEF的角平分線．理由如下：因為AD是△ABC的角平分線，所以∠DAB＝∠DAC(角平分線定義)．因為DE∥AC，DF∥AB，所以∠DAC＝∠ADE，∠DAB＝∠ADF(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，所以∠ADE＝∠ADF(等量代換)，所以DO是△DEF的角平分線．總

結(jié)知1－講本例在解題過程中，先利用角平分線的定義，得出相等的角，再結(jié)合相關(guān)條件(如平行等)推出新的一組相等的角，最后由角平分線的定義證明角平分線，它經(jīng)歷了定義→條件→定義的過程，這就是定義法．1(1)如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)是邊BC上的三點，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE為角平分線的三角形是________；(2)如圖，假設(shè)AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，計算∠3的度數(shù)，并說明AE是△DAF的角平分線．知1－練知1－練2如圖，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，那么________是△ABD的角平分線；________是△ADC的角平分線；AD是△________和△________的角平分線．知1－練3如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，以下結(jié)論錯誤的是()A．BD是△ABC的角平分線B．CE是△BCD的角平分線C．∠3＝∠ACBD．CE是△ABC的角平分線2知識點三角形的中線知2－導(dǎo)如下圖，取△ABC邊AB三的中點E，連接CE，線段CE就是△ABC的一條中線.顯然，△ABC有三條中線.如圖是一個銳角三角形ABC，在這個三角形中畫出三條中線.把銳角三角形換成直角三角形或鈍角三角形，再試一試.你發(fā)現(xiàn)了什么知2－導(dǎo)知2－講1.定義：連結(jié)三角形一個頂點和它對邊的中點，所得的線段叫做該三角形這條邊上的中線．2.位置圖例：任何三角形的三條中線都交于一點，且該點在三角形內(nèi)部，如圖，這個點叫三角形的重心.知2－講3.表達方式：(1)AD是△ABC中BC邊上的中線．(2)點D是BC邊的中點．(3)BD＝DC或BD＝BC或DC＝BC或BD＝DC

＝BC.注：上述三種情況都表示AD是中線，選用哪種表示法，應(yīng)根據(jù)解題需要．4.易錯警示：中線是線段，不要將它與線段所在直線

混淆.(動手操作題)在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩局部，求三角形的各邊長．知2－講例3導(dǎo)引：因為中線BD將△ABC的周長分成兩局部：(BC＋CD)和(AD＋AB)，誰為12cm，誰為15cm，不確定，故應(yīng)分類討論；另外題中涉及線段較多，因此可建立方程的模型，利用設(shè)未知數(shù)來求解．知2－講解：設(shè)AB＝xcm，那么AD＝CD＝xcm.(1)如圖①，假設(shè)AB＋AD＝12cm，那么x＋x＝12，解得x＝8，即AB＝AC＝8cm，CD＝4cm.故BC＝15－4＝11(cm)．此時AB＋AC＞BC，所以三邊長分別為8cm，8cm，11cm.知2－講(2)如圖②，假設(shè)AB＋AD＝15cm，那么x＋x＝15，解得x＝10，即AB＝AC＝10cm，那么CD＝5cm，故BC＝12－5＝7(cm)．顯然此時三角形存在，所以三邊長分別為10cm，10cm，7cm.綜上所述，此三角形的三邊長分別為8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm.總

結(jié)知2－講(1)本例中由于條件不確定，因此我們針對條件的不確定性對圖形可能出現(xiàn)的不同情況，運用分類討論思想對題目進行分類討論；解答中，針對題中涉及的線段這個“形〞較多，為了使解答更簡練，我們將建立方程這個“數(shù)〞的模型；因此本例的解答過程表達了：分類討論思想、建模思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等．(2)警示：求三角形的邊時，要注意隱含條件：三角形三邊關(guān)系．1如圖，BD是△ABC的中線，AC的長為5cm，△ABD與△BDC的周長之差為3cm，AB的長為13cm，求BC的長．知2－練知2－練2三角形的三條中線交于一點，那么以下結(jié)論：①這一點在三角形的內(nèi)部；②這一點有可能在三角形的外部；③這一點是三角形的重心．其中正確的結(jié)論有________．(填序號)D，E分別是△ABC的邊AC，BC的中點，那么以下說法中不正確的選項是()A．DE是△BCD的中線B．BD是△ABC的中線C．AD＝DC，BE＝ECD．AD＝EC，DC＝BE33知識點三角形的高知3－導(dǎo)如下圖，過頂點B作△ABC的邊AC的垂線，垂足為點F，線段BF就是△ABC的一條高.顯然，△ABC有三條中線、三條角平分線和三條高.如圖是一個銳角三角形ABC，在這個三角形中畫出三條高.把銳角三角形換成直角三角形或鈍角三角形，再試一試.你發(fā)現(xiàn)了什么知3－導(dǎo)知3－講1.定義：從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做該三角形這條

邊上的高；一個三角形有三條高．2.位置圖例：(1)三個角都是銳角的三角形：三條高都

在三角形內(nèi)部，其交點也在三角形內(nèi)部(如圖1)．圖1知3－講(2)有一個直角的三角形：一條高在三角形內(nèi)部，兩條

高在三角形邊上；其交點為直角頂點(如圖2)．(3)有一個鈍角的三角形：一條高在三角形內(nèi)部，兩條

高在三角形外部，其交點在三角形外部(如圖3)．圖2圖33.表達方式：(1)AD是△ABC的BC邊上的高；(2)AD⊥BC于D；(3)∠ADC＝90°，∠ADB＝90°，或∠ADC＝

∠ADB＝90°.注：上述三種情況都表示AD是高，選用哪種表示

法，應(yīng)根據(jù)解題需要合理選用．4.易錯警示：(1)三角形中大于90°的角的兩邊上的高

的作法(高均在三角形外部)．(2)任何三角形的三條高所在直線交于一點(垂心)．知3－講(動手操作題，易錯題)畫出圖中△ABC的三條高．(要標(biāo)明字母，不寫畫法)例4導(dǎo)引：“作一邊上的高〞，即可看作“過一點(這邊所對角的頂點)作直線(這邊所在的直線)的垂線．〞按照“過一點作直線的垂線〞進行作圖，頂點與垂足之間的線段即為該邊上的高；需注意AB，BC邊上的高在三角形的外部，作高時先延長AB與CB.知3－講解：如下圖.知3－講總

結(jié)(1)作三角形的高時，找準(zhǔn)頂點和對邊是關(guān)鍵，作高的步驟就是“過一點作直線的垂線〞的步驟：一靠(三角尺的一條直角邊靠在要作高的邊上)、二找(移動三角尺使另一條直角邊通過要作高的頂點)、三畫線(畫垂線段)，如圖.(2)注意：高是線段，垂線是直線．知3－講如圖，△ABC中，BC＝4cm，AC＝5cm.(1)假設(shè)BC邊上的高AD＝4cm，試求△ABC的面積及AC邊上的高BE的長；(2)試求AD∶BE的值．例5導(dǎo)引：利用三角形面積公式及等積原理求解．知3－講解：(1)S△ABC＝BC·AD＝×4×4＝8(cm2)，∴S△ABC＝AC·BE＝×5×BE＝8(cm2)，∴BE＝cm.(2)AD∶BE＝4∶＝.知3－講總

結(jié)求三角形面積聯(lián)想三角形的高，求三角形的高聯(lián)想三角形面積是解三角形問題中常用的思想方法之一，而用同一個三角形不同的面積表達式建立求線段長度的等量關(guān)系，是一種很重要的數(shù)學(xué)方法：等積法．知3－講1(長沙)過△ABC的頂點A，作BC邊上的高，以下作法正確的選項是()知3－練2以下說法中正確的選項是()A．三角形的三條高都在三角形內(nèi)B．直角三角形只有一條高C．銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)D．三角形每一邊上的高都小于其他兩邊知3－練知識總結(jié)知識方法要點關(guān)鍵總結(jié)注意事項三角形的三條重要線段三角形的三條重要的線段是指三角形的內(nèi)角平分線、三角形的三邊的中線和三條高上的高線.①三角形的角平分線、中線、高線都是線段；②三角形的三條角平分線交于一點，三條中線交于一點，三條高線交于一點:a.三角形的角平分線交于一點，交點在三角形的內(nèi)部.b.三角形的三條中線的交點交于一點，交點在三角形的內(nèi)部.