（課標(biāo)通用）2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十二章推理與證明、算法、復(fù)數(shù)12.5復(fù)數(shù)學(xué)案理

PAGE1-§12.5復(fù)數(shù)考綱展示?1.理解復(fù)數(shù)的根本概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件．2．了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法和幾何意義，會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運(yùn)算．3．了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義．考點(diǎn)1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是________，虛部是________．(2)復(fù)數(shù)的分類eq\a\vs4\al(復(fù)數(shù)z＝a＋,bia，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)b0，,虛數(shù)b0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)a0，,b0，,非純虛數(shù)a≠0，,b≠0.))))(3)復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?________(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di共軛?________(a，b，c，d∈R)．(5)復(fù)數(shù)的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作________或________，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．答案：(1)ab(2)＝≠＝≠(3)a＝c且b＝d(4)a＝c且b＝－d(5)|z||a＋bi|[教材習(xí)題改編]假設(shè)復(fù)數(shù)z＝m＋1＋(m－1)i為虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：當(dāng)虛部不等于0，即m≠1時(shí)，復(fù)數(shù)z為虛數(shù).復(fù)數(shù)有關(guān)概念的誤區(qū)：純虛數(shù)；虛部；共軛復(fù)數(shù)．(1)復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m－1)i是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)m＝__________.(2)復(fù)數(shù)3－2i的虛部為__________．(3)復(fù)數(shù)2＋3i的共軛復(fù)數(shù)是__________．答案：(1)－1(2)－2(3)2－3i解析：(1)由m2－1＝0且m－1≠0，得m＝－1.(2)實(shí)部為3，虛部為－2.(3)復(fù)數(shù)2＋3i的共軛復(fù)數(shù)是2－3i.[典題1](1)[2022·江西九江模擬]設(shè)復(fù)數(shù)z＝eq\f(2－i,1＋i)，那么z的共軛復(fù)數(shù)為()A.eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i B.eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)iC．1－3i D．1＋3i[答案]B[解析]∵z＝eq\f(2－i,1＋i)＝eq\f(2－i1－i,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，∴eq\x\to(z)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i.(2)設(shè)i是虛數(shù)單位．假設(shè)復(fù)數(shù)a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是純虛數(shù)，那么a的值為()A．－3 B．－1C．1 D．3[答案]D[解析]復(fù)數(shù)a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,10)＝(a－3)－i為純虛數(shù)，∴a－3＝0，∴a＝3.(3)假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4－3i|，那么z的虛部為()A．－4 B．－eq\f(4,5)C．4 D.eq\f(4,5)[答案]D[解析](3－4i)z＝|4－3i|＝5，∴z＝eq\f(5,3－4i)＝eq\f(3＋4i,5)，∴z的虛部為eq\f(4,5).(4)[2022·江蘇卷]復(fù)數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，那么z的實(shí)部是________．[答案]5[解析](1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以z的實(shí)部為5.[點(diǎn)石成金]求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的技巧復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意求解．考點(diǎn)2復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面的概念建立____________來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．(2)實(shí)軸、虛軸在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做________，y軸叫做________，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示________；除原點(diǎn)以外，虛軸上的點(diǎn)都表示________．(3)復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)z＝a＋bieq\o(→,\s\up17(一一對(duì)應(yīng)))復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)________eq\o(→,\s\up17(一一對(duì)應(yīng)))平面向量________．答案：(1)直角坐標(biāo)系(2)實(shí)軸虛軸實(shí)數(shù)純虛數(shù)(3)Z(a，b)eq\o(OZ,\s\up6(→))(1)[教材習(xí)題改編]在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i，假設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)C為點(diǎn)B關(guān)于虛軸的對(duì)稱點(diǎn)，那么點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是________．答案：－2－i解析：點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，故其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－2－i.(2)[教材習(xí)題改編]eq\f(5,i－2)的共軛復(fù)數(shù)是z，那么|z－3i|＝________.答案：2eq\r(2)解析：eq\f(5,i－2)＝eq\f(5－i－2,i－2－i－2)＝－2－i，所以z＝－2＋i，所以|z－3i|＝|－2－2i|＝2eq\r(2).[典題2](1)[2022·吉林長(zhǎng)春質(zhì)檢]復(fù)數(shù)eq\f(1－i,2－i)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]A[解析]eq\f(1－i,2－i)＝eq\f(3,5)－eq\f(1,5)i，所以其共軛復(fù)數(shù)為eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)i.所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．(2)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z＝eq\f(5i,1＋2i)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為A，那么A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．1＋2i B．1－2iC．－2＋i D．2＋i[答案]C[解析]依題意，得復(fù)數(shù)z＝eq\f(5i1－2i,1＋2i1－2i)＝i(1－2i)＝2＋i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,1)，因此點(diǎn)A(－2,1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2＋i.(3)復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，假設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，那么λ＋μ的值是________．[答案]1[解析]由條件，得eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－1)，根據(jù)eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝3，,2λ－μ＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝2.))∴λ＋μ＝1.[點(diǎn)石成金]對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up6(→)).(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．考點(diǎn)3復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法那么設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，那么①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復(fù)數(shù)的加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝________________.(3)復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律、分配律，即對(duì)于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.答案：(1)①(a＋c)＋(b＋d)i②(a－c)＋(b－d)i③(ac－bd)＋(ad＋bc)i(2)z2＋z1z1＋(z2＋z3)掌握復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算中常用的幾個(gè)結(jié)論．在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度．(1)(1±i)2＝__________；eq\f(1＋i,1－i)＝__________；eq\f(1－i,1＋i)＝__________.(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝__________，n∈N*.答案：(1)±2ii－i(2)0[典題3](1)[2022·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬]設(shè)復(fù)數(shù)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，那么eq\f(2,z)＋z2＝()A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1＋i[答案]A[解析]∵eq\f(2,z)＋z2＝eq\f(2,1＋i)＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i，應(yīng)選A.(2)[2022·新課標(biāo)全國卷Ⅲ]假設(shè)z＝1＋2i，那么eq\f(4i,z\x\to(z)－1)＝()A．1B．－1C．iD．－i[答案]C[解析]∵zeq\x\to(z)＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴eq\f(4i,z\x\to(z)－1)＝eq\f(4i,4)＝i，應(yīng)選C.(3)i是虛數(shù)單位，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2016＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))6＝________.[答案]0[解析]原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2))1008＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,－2i)))1008＋i6＝i1008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝1＋i2＝0.[點(diǎn)石成金]復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四那么運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可．(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)形式.[方法技巧]1.設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復(fù)數(shù)相等和相關(guān)性質(zhì)將復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法．2．在復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運(yùn)算中，加、減、乘運(yùn)算按多項(xiàng)式運(yùn)算法那么進(jìn)行，除法那么需分母實(shí)數(shù)化．3．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的實(shí)部和虛部唯一確定的，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的主要方法．4．常見結(jié)論(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．[易錯(cuò)防范]1.判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是否有意義．2．兩個(gè)虛數(shù)不能比擬大?。?．注意復(fù)數(shù)的虛部是指在a＋bi(a，b∈R)中的實(shí)數(shù)b，即虛部是一個(gè)實(shí)數(shù)．真題演練集訓(xùn)1．[2022·新課標(biāo)全國卷Ⅱ]z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－3,1) B．(－1,3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)答案：A解析：由，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3>0,,m－1<0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－3,,m<1))?－3<m<1.應(yīng)選A.2．[2022·山東卷]假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足2z＋eq\x\to(z)＝3－2i，其中i為虛數(shù)單位，那么z＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i答案：B解析：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，那么2z＋eq\x\to(z)＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i，∴a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i，應(yīng)選B.3．[2022·四川卷]設(shè)i為虛數(shù)單位，那么(x＋i)6的展開式中含x4的項(xiàng)為()A．－15x4B．15x4C．－20ix4D．20ix4答案：A解析：T3＝Ceq\o\al(2,6)x4i2＝－15x4，應(yīng)選A.4．[2022·新課標(biāo)全國卷Ⅰ]設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，那么|x＋yi|＝()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2答案：B解析：∵x，y∈R，(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1，))∴|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).應(yīng)選B.5．[2022·天津卷]a，b∈R，i是虛數(shù)單位，假設(shè)(1＋i)(1－bi)＝a，那么eq\f(a,b)的值為________．答案：2解析：由(1＋i)(1－bi)＝a得1＋b＋(1－b)i＝a，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋1＝a,,1－b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,,b＝1，))所以eq\f(a,b)＝2.6．[2022·北京卷]設(shè)a∈R，假設(shè)復(fù)數(shù)(1＋i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，那么a＝________.答案：－1解析：(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，∵a∈R，該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，∴a＋1＝0，∴a＝－1.課外拓展閱讀利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)解復(fù)數(shù)方程復(fù)數(shù)方程是復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要內(nèi)容，解題時(shí)，不少學(xué)生總是迫不及待地將方程中的復(fù)數(shù)z設(shè)為代數(shù)形式a＋bi(a，b∈R)，將復(fù)數(shù)方程轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程解決．這種方法有時(shí)候是非常費(fèi)時(shí)費(fèi)力的．有沒有解決此類問題的更簡(jiǎn)單的方法呢？共軛復(fù)數(shù)的概念在復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)中占有極其重要的地位，假設(shè)能在解復(fù)數(shù)方程時(shí)靈活運(yùn)用，那么可以大大減少運(yùn)算量，起到事半功倍的效果．共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)有很多，在此列舉幾條供大家參考：(1)z∈R?z＝eq\x\to(z)；(2)z是純虛數(shù)?z≠0且z＋eq\x\to(z)＝0或z2＝－|z|2；(3)|z|2＝z·eq\x\to(z)；(4)|z|＝|eq\x\to(z)|.這些性質(zhì)的應(yīng)用非常廣泛，下面以例題的形式展現(xiàn)上述性質(zhì)在解復(fù)數(shù)方程中的應(yīng)用．[典例1]在復(fù)數(shù)集中解以下方程：(1)2z－ieq\x\to(z)＝1；(2)eq\x\to(z)－λz＝ω(λ，ω∈C，且|λ|≠1)．[解](1)將原方程兩邊同時(shí)取共軛復(fù)數(shù)可得2eq\x\to(z)＋iz＝1，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a