專題16等腰三角形與直角三角形（共50題）-備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國通用）解析版

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國通用）

專題16等腰三角形與直角三角形（共50題）

選擇題（共24小題）

1.（2022?宿遷）若等腰三角形的兩邊長分別是3cM和5cm,則這個(gè)等腰三角形的周長是（）

A.8anB.\3cmC.8cm或13cnjD.llcnz或13cnz

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3cAM和5a",而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討

論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【解析】當(dāng)3cAM是腰長時(shí)，3,3,5能組成三角形，

當(dāng)5c,”是腰長時(shí)，5,5,3能夠組成三角形.

則三角形的周長為lie”或13cm.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種

情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?泰安）如圖，h//l2,點(diǎn)A在直線/i上，點(diǎn)B在直線/2上，AB=BC,ZC=25°,Zl=60°.則

N2的度數(shù)是（）

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得到/C=/8AC=25°,利用平行線的性質(zhì)得到N3E4=95°,再根據(jù)

三角形外角的性質(zhì)即可求解.

【解析】如圖，

VAB=BC,NC=25°,

：.ZC=ZBAC=25°,

V/I/7/2.Zl=60°,

：.ZBEA=]SO°-60°-25°=95°,

'：ZBEA=ZC+Z2,

，N2=95°-25°=70°.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查J’等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是注意

運(yùn)用兩宜線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

3.（2022?自貢）等腰三角形頂角度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20。，則這個(gè)底角的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】設(shè)底角的度數(shù)是x°，則頂角的度數(shù)為（2x+20）°,根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°列出方程，解

方程即可得出答案.

【解析】設(shè)底角的度數(shù)是x°,則頂角的度數(shù)為（2x+20）°,

根據(jù)題意得：X+X+2A+20=180,

解得：x=40,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，考查了方程思想，掌握等腰三角形兩個(gè)底角相等是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?天津）如圖，△OA8的頂點(diǎn)O（0,0）,頂點(diǎn)A,8分別在第一、四象限，且軸，若AB=

6,04=08=5,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AC，根據(jù)勾股定理求出0C,根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)寫出點(diǎn)A的坐標(biāo).

【解析】設(shè)A8與x軸交于點(diǎn)C,

,.Q=O8,OCLAB,48=6,

:.AC=1AB=3,

2

由勾股定理得：OC={OA2_AC2={52-32=4,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,3）,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?臺(tái)灣）如圖，△A3C中，。點(diǎn)在AB上，E點(diǎn)在5c上，DE為A8的中垂線.若NB=NC,且N

E4c>90°,則根據(jù)圖中標(biāo)示的角，判斷下列敘述何者正確？（)

A

C.N1W/2,Z1<Z3D./1W/2,Z1>Z3

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)解答即可.

【解析】為AB的中垂線，

:.NBDE=NADE,BE=AE,

:.NB=NBAE,

.,.Z1=Z2,

:NE4c>90°,

.?.Z3+ZC<90°,

VZB+Z1=9O°,NB=NC,

/.Z1>Z3,

；./l=N2,Z1>Z3,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理是解答

本題的關(guān)鍵.

6.（2022?廣元）如圖，在AABC中，BC=6,AC=8,NC=90°,以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，與

AB交于點(diǎn)D,再分別以A、。為圓心，大于工人。的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M、M作直線MM分

2

別交AC、AB于點(diǎn)E、F,則AE的長度為（）

A.2B.3C.2J2D.12.

23

【分析】利用勾股定理求出AB,再利用相似三角形的性質(zhì)求出AE即可.

【解析】在RtZ\48C中，8c=6,AC=S,

.*.AB=^BC2+AC2=^62+g2=]0,

,:BD=CB=6,

.\AD=AB=BC=4,

由作圖可知EF垂直平分線段AD,

：.AF=DF=2,

VZA=ZA,ZAFE=ZACfi=90°,

.?.△4FES&4CB,

AAE=AF,

"ABAC'

???A一E-_2―,

108

：.AE=^-,

2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決

問題，屬于中考?？碱}型.

7.（2022?金華）如圖是城市某區(qū)域的示意圖，建立平面直角坐標(biāo)系后，學(xué)校和體育場(chǎng)的坐標(biāo)分別是（3,1）,

（4,-2）,下列各地點(diǎn)中，離原點(diǎn)最近的是（）

<

超市學(xué)校

『場(chǎng)

層

匚

A.超市B.醫(yī)院C.體育場(chǎng)D.學(xué)校

【分析】根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的平面宜角坐標(biāo)系，然后根據(jù)勾股定理，可以得到點(diǎn)0到超市、學(xué)校、

體育場(chǎng)、醫(yī)院的距離，再比較大小即可.

【解析】如右圖所示，

點(diǎn)。到超市的距禺為：丫22+12

點(diǎn)。到學(xué)校的距離為：正+1行,

點(diǎn)。到體育場(chǎng)的距離為：3+22=技,

點(diǎn)。到醫(yī)院的距離為：正+產(chǎn)區(qū),

■:疾〈氏=用＜國,

...點(diǎn)0到超市的距離最近，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、平面直角坐標(biāo)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適平面直角坐標(biāo)系.

8.（2022?溫州）如圖，在RtZiABC中，NACB=90°,以其三邊為邊向外作正方形，連結(jié)CF,作GA/_L

CF于點(diǎn)M,BJLGM于點(diǎn)J,AKLBJ于點(diǎn)K,交CF于點(diǎn)L.若正方形4BGF與正方形的面積之

比為5,C￡=Vl0+V2,則CH的長為（）

E

C

AB

L

M

FG

A.V5B.3+V^c.2V2D.710

2

【分析】設(shè)C尸交48丁P,過C作CMLA8于M設(shè)正方形JKLM邊長為機(jī)，根據(jù)正方形48G尸與正方

形JKLW的面積之比為5,得AF=AB=遙〃:，證明△AFLg/XFGM(A4S),可得AL=FM,設(shè)AL=FM

—x,在RtZXAFL中，/+(x+n?)2—()2,可解得x="?,有AL=FM="?,FL—2m,從而可得AP

=近m，F(xiàn)P=3n,BP=在衛(wèi)，即知尸為43中點(diǎn)，CP=AP=BP=近衛(wèi)，由△CPNS/\FE4,得CN

2222

=m,PN=Xin,即得AN=Y^+1〃?,而tanZBAC=^2.=―?又△AECs/^8C7/,得^

22ACANV5+1ACCE

即“，—=,故C4=2&.

V5+1V10W2

【解析】設(shè)C尸交A8TP,過C作CMLA8于N,如圖：

設(shè)正方形JKLM邊長為m,

：.正方形JKLM面積為nr,

?.?正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5,

正方形ABGF的面積為5"尸,

AF—AB=?

由已知可得：NAFL=90°-ZMFG=ZA7GF,ZALF-90"=NFMG,AF^GF,

:.△AFL'^XFGM(AAS),

：.AL=FM,

設(shè)4L=FM=x,則a=QW+MZ,=x+，〃,

在RtZ\AFL中，Al}+Fl}=AF1,

.,.JT+(x+m)2=2,

解得x—m或x--2m（舍去）,

：.AL^FM=m,FL=2m,

tanZAFL=空=坦=」L=A,

AFFL2m2

.AP=1,

V5m2

：.AP=^m,

2

VSm=VSm

FP=J^22=BP=AB-AP^y/Sm-

+AF22

：.AP=BP,即P為A8中點(diǎn),

VZACB^90°,

CP=AP=BP=遍m,

2

'：』CPN=4APF,ZCNP=90°^ZFAP,

.?.△CPNs△尸附,

V5m

2CN=①

?CP=CN=PN即

FPAFAP-ym遙m娓m

2

：.CN=m,PN=lm,

2

:.AN=AP+PN=^+"〃,

2

m

：.tanZBAC=BC-CN2

ACAN在+1標(biāo)‘

~2-m

：△AEC和△BCH是等腰直角三角形,

XAECSXBCH,

.?匹="

"ACGE'

VC￡=Vl0+V2>

-2CH

'V5+1VioW2，

:.CH=2近,

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，勾股定理

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含m的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長度.

9.（2022?安徽）已知點(diǎn)。是邊長為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)尸在aABC外，/XABC,/XPAB,/XPBC,

△PC4的面積分別記為So,51,S2,S3.若SI+S2+53=2SO,則線段OP長的最小值是（）

A.3娟B.C.3A/3D.76

222

【分析】如圖，不妨假設(shè)點(diǎn)P在AB的左側(cè)，證明△物8的面積是定值，過點(diǎn)P作A8的平行線PW,連

接CO延長CO交AB于點(diǎn)R,交PM于點(diǎn)T.因?yàn)椤饕?的面積是定值，推出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線PM,

求出。丁的值，可得結(jié)論.

【解析】如圖，不妨假設(shè)點(diǎn)尸在A8的左側(cè)，

.*S&PAB+S&ABC=S&PBC+S2PAC，

??Sl+So=S2+S3,

.*SI+S2+53=2SO,

,?SI+SI+SO=2SQ，

：.S\=1SO,

2

,.?△ABC是等邊三角形，邊長為6,

；.50=返*62=9愿，

4

.?.5尸也

2

過點(diǎn)尸作A8的平行線尸M,連接C。延長C。交AB于點(diǎn)R,交PM于點(diǎn)T.

..△以8的面積是定值,

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線PM,

是△A8C的中心，

/.CT-LAB,CTLPM,

:.LAB，RT=W3,CR=3后0R=43,

22

：.RT=3'^L,

2

：.OT=OR+TR=^J^-,

2

■:0P20T,

；.0P的最小值為顯應(yīng)，

2

當(dāng)點(diǎn)P在②區(qū)域時(shí)，同法可得OD的最小值為上巨，

2

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在①③⑤區(qū)域時(shí)，OP的最小值為顯巨，當(dāng)點(diǎn)P在②④⑥區(qū)域時(shí)一，最小值為工返,

22

??5加々7我,

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明△以8

的面積是定值.

10.（2022?南充）如圖，在Rt/XABC中，ZC=90°,/84C的平分線交BC于點(diǎn)。，DE//AB,交AC于

點(diǎn)E,AB于點(diǎn)凡DE=5,DF=3,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.BF=\B.DC=3C.AE=5D.AC=9

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和和勾股定理，可以求得。。和CE的長，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得

到AE的長，從而可以判斷8和C,然后即可得到AC的長，即可判斷》再根據(jù)全等三角形的判定和性

質(zhì)即可得到3尸的長，從而可以判斷人

【解析】〈A。平分NBAC,ZC=90°,DFLAB,

/.Z1=Z2,DC=FD,ZC=ZDFB=90a,

?：DE〃AB,

AZ2=Z3,

Z1=Z3,

:,AE=DE,

U：DE=5,DF=3,

：.AE=5,CO=3,故選項(xiàng)8、C正確；

?■?CE=7DE2-CD2=4,

；.AC=AE+EC=5+4=9,故選項(xiàng)D正確；

'.'DE//AB,NDFB=90°,

；.NEDF=NDFB=90°,

AZCDF+ZFDB=90a,

VZCDF+ZD￡C=90",

:.NDEC=NFDB,

；tan/OEC=型，tanZFDB=^~,

CEDF

?3_BF;

"1^3"

解得故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

4

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本

題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

11.（2022?宜昌）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于28c長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)

2

M,N.作直線交AC于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)￡連接3D.若AB=7,AC=12,BC=6,則△ABO的

周長為（）

【分析】根據(jù)題意可知例N垂直平分8C,即可得到。8=OC,然后即可得至A8+8￡）+4D=48+DC+4〃

=AB+AC,從而可以求得△ABD的周長.

【解析】由題意可得，

垂直平分BC,

：.DB=DC,

,：/XABD的周長是AB+BD+AD,

：.AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC,

'：AB=7,AC=12,

.\AB+AC=19,

/.VA4BD的周長是19,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的周長，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合

的思想解答.

12.（2022?河北）題目：“如圖，NB=45°,BC=2,在射線上取一點(diǎn)A,設(shè)AC=d,若對(duì)于d的一個(gè)

數(shù)值，只能作出唯一一個(gè)△ABC,求”的取值范圍.”對(duì)于其答案，甲答：d22,乙答:4=1.6,丙答:

d=?則正確的是（）

BC

A.只有甲答的對(duì)

B.甲、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整

D.三人答案合在一起才完整

【分析】由題意知，當(dāng)。4，m或。4>8<7時(shí)，能作出唯一一個(gè)△4BC,分這兩種情況求解即可.

【解析】由題意知，當(dāng)或C4>8C時(shí)，能作出唯---個(gè)△A8C,

①當(dāng)CAL8A時(shí)，

；/8=45°,BC=2,

."C=8C?sin45°=2乂至-=五,

2

即此時(shí)d=&,

②當(dāng)CA=BC時(shí)，

'.,ZB=45°,BC=2,

此時(shí)AC=2,

即d>2,

綜上，當(dāng)d=&或d>2時(shí)能作出唯?一個(gè)△ABC,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系及等腰直角三角形的知識(shí)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)及

三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

13.（2022?宜賓）如圖，ZXABC和△AOE都是等腰直角三角形，N8AC=/ZME=90°,點(diǎn)。是8C邊上

的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），￡>￡與AC交于點(diǎn)F,連結(jié)CE.下列結(jié)論：①BD=CE；②ND4C=NCE￡）；

③若8D=2C￡）,則SE=_1；④在△ABC內(nèi)存在唯---點(diǎn)P,使得%+P8+尸C的值最小，若點(diǎn)。在AP

AF5

【分析】①正確.證明△84。絲△￡>/1￡t（SAS）,可得結(jié)論；

②正確.證明A,。，C,E四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理證明；

③正確.設(shè)C￡）=m,則8O=CE=2m.DE=\[^m,OA=J^-m,過點(diǎn)C作C/_LOF于點(diǎn)1/,求出A。，

2

CJ,可得結(jié)論；

④錯(cuò)誤.將△8PC繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BMW,連接PM當(dāng)點(diǎn)A,點(diǎn)P,點(diǎn)N,點(diǎn)M共線時(shí)，

以+P6+PC值最小，此時(shí)/4尸8=/4/^=/3/^=120°,PB=PC,AD1BC,設(shè)P￡>=r,WJBD=AD

=瓜，構(gòu)建方程求出f,可得結(jié)論.

【解析】如圖1中，

：.ZBAD=ZCAE,

'：AB=AC,AD=AE,

：./\BAD^/\DAE(SAS),

：.BD=EC,ZADB=ZAEC,故①正確，

VZADB+ZADC=180",

...NAEC+NADC=180°,

：.ZDAE+ZDCE=180°,

：.ZDAE=ZDCE=90Q,

取DE的中點(diǎn)O,連接。4,OA,OC,則O4=OO=OE=OC,

D,C,E四點(diǎn)共圓，

：.ZDAC=ZCED,故②正確，

設(shè)CZ)="7,則8Q=CE=2〃?.DE=4^>m,OA=YLH,

2

過點(diǎn)C作C7LD尸于點(diǎn)J,

VtanZCDF=^I=^l=2,

D.TCD

5

'：AO±DE,CJLDE,

：.AO//CJ,

點(diǎn)

.?.CL=S1=——=4,故③正確.

AFAOV55

2m

如圖2中，將ABPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ZWM,連接PN,

:.BP=BN,PC=NM,/PBN=60°,

??.△8PN是等邊三角形,

：.BP=PN,

：.PA+PB+PC=AP+PN+MN,

，當(dāng)點(diǎn)A,點(diǎn)P,點(diǎn)N,點(diǎn)M共線時(shí)，物+PB+PC值最小，此時(shí)NAPB=/APC=N8PC=120°,PB=

PC,AD±BC,

:.NBPD=NCPD=60°,

設(shè)PD—t,則BD=AD=?t,

2+f=V^f,

:.CE=BD=Mt=3+M，故④錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，解直角

三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓

軸題.

14.（2022?眉山）在△ABC中，AB=4,BC=6,4c=8,點(diǎn)。，E,尸分別為邊AB,AC,BC的中點(diǎn)，則

△QEF的周長為（）

A.9B.12C.14D.16

【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，可得出AABC的周長=2Z\OEF

的周長.

【解析】如圖，點(diǎn)E,尸分別為各邊的中點(diǎn)，

:.DE、EF、力尸是△A8C的中位線，

.?.DE=2BC=3,EF=LW=2,=LC=4,

222

△DEF的周長=3+2+4=9.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理.解題的關(guān)鍵是根據(jù)中位線定理得出邊之間的數(shù)量關(guān)系.

15.（2022?湘潭）中國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4

個(gè)全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個(gè)圖被稱為“弦圖若“弦圖”中

小正方形面積與每個(gè)直角三角形面積均為1,a為直角三角形中的一個(gè)銳角，則tana=（）

225

【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以先求出大正方形的面積，然后設(shè)出小直角三角形的兩條直角邊，

再根據(jù)勾股定理和兩直角邊的關(guān)系可求得直角三角形的兩條直角邊的長，然后即可求得tana的值.

【解析】由已知可得，

大正方形的面積為1義4+1=5,

設(shè)直角三角形的長直角邊為a,短直角邊為從

則42+/=5,a-b=1,

解得a=2,6=1或a=l,b=-2（不合題意，舍去），

；.tana=2=2=2,

b1

故選：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是求出直角三角形的兩條直角邊長.

16.（2022?蘇州）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)B是x軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段48繞點(diǎn)A按逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC.若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m,3）,則，〃的值為（）

D.嚕

【分析】過C作軸于Q,CE，），軸于E,根據(jù)將線段A8繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段

22

AC,可得△48C是等邊三角形，又A(0,2),C(皿3),即得4c=42+]=BC=4B,可得^=VBC-CD

=Vm2-8'<9fi=VAB2-0A2=Vm2-3,從而Ym?-3+41^-8="”即可解得膽=立卓

O

【解析】過C作CO_Lx軸于力，CEVy軸于E,如圖：

；C￡>_Lx軸，CE_Ly軸，NDOE=90°,

四邊形EODC是矩形,

???將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC,

：.AB=AC,NBAC=6()°,

/\ABC是等邊二角形,

：.AB=AC^BC,

VA(0,2),C(m,3),

：.CE=m=OD90）=3,04=2,

：.AE=0E-0A=CD-OA=l,

:.AC=\AE?VE2=4m2+1=BC=C=，

22=

在RtaBCD中，BO=VBC-CDV7^8'

在Rt^AOB中，OB=ylAB2-0k2=，JW，

■:OB+BD=OD=m,

,，-Vm2-3+Vm2-8=m,

化簡(jiǎn)變形得：3m4-22m2-25=0,

解得〃應(yīng)或m=-包區(qū)（舍去），

33

??III—>

3

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理，用含，〃的代數(shù)式表示相

關(guān)線段的長度.

17.（2022?揚(yáng)州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊.小明通過電話

給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△48C,提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出

來的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,NBC.AB,AC,NBD./A,ZB,BC

【分析】宜接利用全等三角形的判定方法分析得出答案.

【解析】A.利用三角形三邊對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意;

B.利用三角形兩邊、且夾角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意;

C.AB,AC,ZB,無法確定三角形的形狀，故此選項(xiàng)符合題意；

D根據(jù)NA,ZB,BC,三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意：

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

18.（2022?湖州）如圖，已知在銳角△ABC中，AB=AC,是△ABC的角平分線，E是AD上一點(diǎn)，連

結(jié)EB,EC.若/EBC=45°,BC=6,則△EBC的面積是（）

A

A.12B.9C.6D.3我

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=CD=3,AD1BC,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出ED,根

據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案.

【解析】-：AB=AC,AD是△ABC的角平分線，

；.BQ=C0TBe=3,ADLBC,

2

在RtZ\E8D中，NEBC=45°,

；.ED=BD=3,

：.S&EBC=^JBC-EZ）=』X6X3=9,

22

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)

健.

19.（2022?寧波）如圖，在RtZVIBC中，。為斜邊4c的中點(diǎn)，E為BD上一點(diǎn)、,尸為CE中點(diǎn).若4￡=

AD,DF=2,則BD的長為（)

A

D

BC

A.2V2B.3c.2V3D.4

【分析】根據(jù)三角形中位線可以求得AE的長，再根據(jù)AE=A。，可以得到AD的長，然后根據(jù)直角三角

形斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，可以求得BD的長.

【解析】為斜邊4c的中點(diǎn)，尸為CE中點(diǎn)，DF=2,

：.AE=2DF=4,

'：AE=AD,

：.AD=4,

在Rl^ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，

.,.BQ=14C=AZ）=4,

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系、三角形的中位線，解答本題的關(guān)鍵是求出

的長.

20.（2022?云南）如圖，08平分NAOC,。、E、尸分別是射線04、射線。8、射線OC上的點(diǎn)，。、E、F

與O點(diǎn)都不重合，連接E。、EF.若添加下列條件中的某一個(gè)，就能使△Q0E也△尸OE.你認(rèn)為要添加

0

A.OD=OEB.OE=OFC.NODE=NOEDD.NODE=ZOFE

【分析】由OB平分/AOC,得NDOE=NFOE,由OE=OE,可知NOOE=/OFE,即可根據(jù)A4S得

△QOE絲△FOE,可得答案.

【解析】平分NAOC,

NDOE=ZFOE,

又OE=OE,

若/ODE=NOFE,則根據(jù)AAS可得△OOEg△尸OE,故選項(xiàng)D符合題意，

而增加OZ）=OE不能得到△QOE絲△△?￡,故選項(xiàng)A不符合題意，

增加OE=OF不能得到△DOE四△FOE,故選項(xiàng)B不符合題意，

增加不能得到故選項(xiàng)C不符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理并會(huì)應(yīng)用.

21.（2022?達(dá)州）如圖，AB//CD,直線EF分別交AB,CZ）于點(diǎn)M,N,將一個(gè)含有45°角的直角三角尺

按如圖所示的方式擺放，若NEMB=80°,則NPMW等于（）

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/OM0=NBME=8O°,由等腰直角三角形的性質(zhì)得到NPNC=45°,

即可得到結(jié)論.

【解析】〃處

；./DNM=NBME=80°,

■:NPND=45°,

:.NPNM=NDNM-NDNP=80°-45°=35°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.（2022?金華）如圖，圓柱的底面直徑為AB,高為AC,一只螞蟻在C處，沿圓柱的側(cè)面爬到8處，現(xiàn)

將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（）

【分析】利用圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，而點(diǎn)B是展開圖的一邊的中點(diǎn)，再利用螞蟻爬行的最近路線為

線段可以得出結(jié)論.

【解析】將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”，側(cè)面展開圖為矩形，

:圓柱的底面直徑為AB，

...點(diǎn)8是展開圖的一邊的中點(diǎn)，

???螞蟻爬行的最近路線為線段，

-'-C選項(xiàng)符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題生要考查了圓柱的側(cè)面展開圖，最短路徑問題，掌握兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵.

23.（2022?舟山）如圖，在RtZ\A8C和RtZsBDE中，N5OE=90°，點(diǎn)A在邊DE的中點(diǎn)上，若

AB=BC,DB=DE=2,連結(jié)CE,則CE的長為（）

E

A

D

B

A.V14C.4D.

【分析】根據(jù)題意先作出合適的輔助線，然后根據(jù)勾股定理可以得到AB和8c的長，根據(jù)等面積法可以

求得EG的長，再根據(jù)勾股定理求得EF的長，最后計(jì)算出CE的長即可.

【解析】作EF1.CB交CB的延長線于點(diǎn)尸，作EGLBA交BA的延長線于點(diǎn)G,

?：DB=DE=2,NBDE=90°，點(diǎn)A是。E的中點(diǎn),

BE-^BD2+DE2-V22+22~>DA—EA—\,

22

?"8=VBD+AD=

\"AB=BC,

:.BC=Q

-??AE?B-D--AB>EG

22

.1X2V5?EG

?------=------,

22

解得EG=R￡,

5

'：EG1BG,EFLBF,Z4BF=90°,

四邊形EFBG是矩形，

:.EG=BF=^I^_,

5

,:BE=2近,一,

5

.,衣=加2_8?2=J(2^產(chǎn)_(嚕)2=誓,CF=BF+BC=^-娓=嚕,

VZ￡FC=90°,

???rc=VEF24CF2=<J(^5_)2+(7^f)2=>/T7(

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、等腰面角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出EF和CF的長.

24.（2022?遂寧）如圖，D、E、F分別是△A8C三邊上的點(diǎn)，其中BC=8,8c邊上的高為6,KDE//BC,

則△OEF面積的最大值為（）

【分析】過點(diǎn)4作于交DE于點(diǎn)、N,則AN_LZ）E,設(shè)AN=a,根據(jù)OE〃8C,證出△△￡）￡：

s/XABC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比得到?！?全’,列出面積S的函數(shù)表達(dá)式，根

3

據(jù)配方法求最值即可.

【解析】如圖，過點(diǎn)4作AMI.8c于M,交DE于點(diǎn)N,則AN_LDE,

設(shè)AN=a,

■:DE〃BC,

；?NADE=NB,/AED=NC,

：.△ADEs^ABC,

.?巫=幽，

"BCAM，

?DE-a

.*.DE=￡,

3

/./\DEF面積S=」XOEXMN

2

=AxA(Z?(6-a)

23

=-22+4d((

3

=-2(a-3)2+6,

3

.?.當(dāng)a=3時(shí)，，S有最大值，最大值為6.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積，平行線的性質(zhì)，列出△DEF面積S的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)配方法求最

值是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共15小題）

25.（2022?岳陽）如圖，在△A8C中，AB=AC,A￡）_LBC于點(diǎn)。，若BC=6,則CD=3.

A

BDC

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知。是8c的中點(diǎn)，即可求出CD的長.

【解析】AD±BC,

；.CD=BD,

,:BC=6,

：.CD=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵.

26.（2022?蘇州）定義：一個(gè)三角形的一邊長是另一邊長的2

倍,這樣的三角形叫做“倍長三角形”.若等腰△ABC是“倍長三角形"，底邊8C的長為3,則腰AB的長

為6.

【分析】由等腰△ABC是“倍長三角形”，可知AB=2BC或8c=2X8,若AB=2BC=6,可得A8的長

為6；若8c=3=2",因1.5+15=3,故此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；即可得答案.

【解析】???等腰AABC是“倍長三角形”，

：.AB=2BCE&BC^2AB,

若A8=28C=6,則△ABC三邊分別是6,6,3,符合題意，

...腰A8的長為6；

若2c=3=248,則AB=1.5,△A8C三邊分別是1.5,1.5,3,

；1.5+15=3,

???此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；

綜上所述，腰AB的長是6,

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形三邊關(guān)系，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是分類思想的應(yīng)用及掌握三角形任意兩邊

的和大于第三邊.

27.（2022?云南）已知△ABC是等腰三角形.若乙4=40°,則aABC的頂角度數(shù)是40°或100°.

【分析】分NA是頂角和底角兩種情況討論，即可解答.

【解析】當(dāng)N4是頂角時(shí)，△ABC的頂角度數(shù)是40°；

當(dāng)NA是底角時(shí)，則△A8C的頂角度數(shù)為180°-2X40°=100°；

綜上，8c的頂角度數(shù)是40°或100°.

故答案為：40°或100°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，此類題H，難點(diǎn)在于要分情況討論.

28.（2022?濱州）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形,其中AB=AC,立柱ADJ_8C,且頂角NB4C=120°,

則ZC的大小為30°.

BDC

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到NB=NC=30°.

【解析】???A8=AC且NBAC=120°,

.,.ZB=ZC=A(1800-NBAC)=1x60°=30°.

22

故答案為：30°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

29.（2022?麗水）三個(gè)能夠重合的正六邊形的位置如圖.已知B點(diǎn)的坐標(biāo)是（3）,則A點(diǎn)的坐標(biāo)是

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)A和點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而可以解決問題.

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，8點(diǎn)的坐標(biāo)是（-加，3）,

所以A點(diǎn)的坐標(biāo)是（JE，-3）,

故答案為：-3）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形，解決本題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

特征.

30.（2022?金華）如圖，在RtZ\48C中，NACB=90°,/A=30°,BC^2cm.把△ABC沿4B方向平移

icm,得到△48C,連結(jié)CC,則四邊形AB'CC的周長為（8+2J々）cm.

CC'

【分析】利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理和平移的性質(zhì)，求得四邊形42'CC的四邊即可

求得結(jié)論.

【解析】?..在RtzXABC中，NACB=90°,ZA=30°,BC=2cm,

.,.AB=23C=4,

，Ac=VAB2-BC2=2a-

；把a(bǔ)ABC沿A8方向平移\cm,得到△AEC,

：.B'C=BC=2,AA'=CC'=\,A'B'=AB=4,

：.AB'="+A'B'=5.

二四邊形AB'CC的周長為48'+B'C+CC'+AC=5+2+l+2j^=（8+2盯）cm.

故答案為：（8+2A/"§）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理和平移的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

31.（2022?宜賓）《數(shù)書九章》是中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊〃、從

c求面積的公式，其求法是：“以小斜幕并大斜累減中斜基，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕減上，

余四約之，為實(shí).一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即為S=

J2222

■I—2a2-（2匹二？-）].現(xiàn)有周長為18的三角形的三邊滿足a：b-.c-4：3：2,則用以上給

42

出的公式求得這個(gè)三角形的面積為_3^_.

【分析】根據(jù)題意先求出a、b、C,再代入公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】根據(jù)a：b：c=4：3：2,設(shè)a=42,b=3k,c=2k,

則4Z+3A+2Z=18,

解得：k=2,

工〃=42=4X2=8,0=32=3X2=6,c=2k=2X2=4,

l22_7~2I__

JJ[42X82-（4~+^~6-）2][16X64-484]=3后，

故答案為：3J元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的熟練掌握.

32.（2022?十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABC￡>中，AB=A￡>,NB+NO=180°,點(diǎn)E,尸分別在BC,

CO上，若N8AQ=2/EAF,則EF=BE+QF.

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD.已知CD=CB=100m,

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,道路A。，AB上分別有景點(diǎn)用，N,且。例=100”BN

=50（V3-1）m,若在M,N之間修一條直路，則路線M-N的長比路線M-A-N的長少370m

（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：炳7）.

A

圖①圖②

【分析】解法-：如圖，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理證明/G=90°,分

別計(jì)算AD,CG,AG,8G的長，由線段的和與差可得AM和AN的長，最后由勾股定理可得的長,

計(jì)算AM+AN-MN可得答案.

解法二：構(gòu)建【閱讀材料】的圖形，根據(jù)結(jié)論可得MN的長，從而得結(jié)論.

【解析】解法一：如圖，延長。C,43交于點(diǎn)G,

G，、R

DMHA

VZ￡)=60o,ZABC=12O°,ZBCD=\50Q,

ZA=360°-60°-120°-150°=30°,

/.ZG=90°,

：.AD=2DG,

Rt^CGB中，N8CG=180°-150°=30°,

；.BG=LBC=50,CG=50A/3.

2

OG=CD+CG=]00+5(h/3，

AD=2DG=200+10(h/3，AG=A/3DG=150+10(h/3

VDAf=100,

：.AM=AD-DM=200+100V3-100=IOO+IOOA/3.

：BG=50,BN=50(73-1).

：.AN=AG-BG-BN=150+100y-50-50(^3~1)=150+5()V3-

RtZXAN”中，VZA=30°，

:.NH=LN=75