2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布課時達標(biāo)63離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布理

PAGEPAGE52022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布課時達標(biāo)63離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布理[解密考綱]離散型隨機變量及其分布列、均值與方差在高考中一般與排列、組合及古典概型、幾何概型、二項分布及超幾何分布相結(jié)合，以實際問題為背景呈現(xiàn)在三種題型中，難度中等或較大，正態(tài)分布一般以選擇題或填空題進行考查．一、選擇題1．設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，假設(shè)P(ξ>1)＝p，那么P(－1<ξ<0)＝(D)A．eq\f(1,2)＋p B．1－pC．1－2p D．eq\f(1,2)－p解析：由正態(tài)分布的概念可知，當(dāng)P(ξ>1)＝p時，P(0<ξ<1)＝eq\f(1,2)－p，而正態(tài)分布曲線關(guān)于y軸對稱，所以P(－1<ξ<0)＝P(0<ξ<1)＝eq\f(1,2)－p，應(yīng)選D．2．某運發(fā)動投籃命中率為0.6，他重復(fù)投籃5次，假設(shè)他命中一次得10分，沒命中不得分；命中次數(shù)為X，得分為Y，那么E(X)，D(Y)分別為(C)A．0.6,60 B．3,12C．3,120 D．3,1.2解析：X～B(5,0.6)，Y＝10X，∴E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2，D(Y)＝100D(X)＝120.3．(2022·廣東茂名模擬)假設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01Peq\f(a,2)eq\f(a2,2)那么X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝(C)A．2 B．2或eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．1解析：因為分布列中概率和為1，所以eq\f(a,2)＋eq\f(a2,2)＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝eq\f(1,2).4．(2022·山東濰坊質(zhì)檢)隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，σ2)，且P(X<5)＝0.8，那么P(1<X<3)＝(C)A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2解析：由正態(tài)曲線的對稱性可知，P(X<3)＝P(X>3)＝0.5，故P(X>1)＝P(X<5)＝0.8，所以P(X≤1)＝1－P(X>1)＝0.2，P(1<X<3)＝P(X<3)－P(X≤1)＝0.5－0.2＝0.3.5．(2022·甘肅嘉峪關(guān)質(zhì)檢)簽盒中有編號為1,2,3,4,5,6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，那么X的數(shù)學(xué)期望為(B)A．5 B．5.25C．5.8 D．4.6解析：由題意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).那么E(X)＝3×eq\f(1,20)＋4×eq\f(3,20)＋5×eq\f(3,10)＋6×eq\f(1,2)＝5.25.6．設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋X＝0無實數(shù)根的概率為eq\f(1,2)，那么μ＝(C)A．1 B．2C．4 D．不能確定解析：因為方程x2＋4x＋X＝0無實數(shù)根的概率為eq\f(1,2)，由Δ＝16－4X<0，得X>4，即P(X>4)＝eq\f(1,2)＝1－P(X≤4)，故P(X≤4)＝eq\f(1,2)，所以μ＝4.二、填空題7．設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，假設(shè)P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，那么a的值為eq\f(7,3).解析：由正態(tài)分布的性質(zhì)知，假設(shè)P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，那么eq\f(2a－3＋a＋2,2)＝3，解得a＝eq\f(7,3).8．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，那么X的數(shù)學(xué)期望為200.解析：記不發(fā)芽的種子數(shù)為Y，那么Y～B(1000,0.1)，所以E(Y)＝1000×0.1＝100.又X＝2Y，所以E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.9．(2022·貴州七校第一次聯(lián)考)在某校2022年高三11月月考中理科數(shù)學(xué)成績X～N(90，σ2)(σ>0)，統(tǒng)計結(jié)果顯示P(60≤X≤120)＝0.8，假設(shè)該校參加此次考試的有780人，那么試估計此次考試中，該校成績高于120分的有78人．解析：因為成績X～N(90，σ2)，所以其正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝90對稱．又P(60≤X≤120)＝0.8，由對稱性知成績在120分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的eq\f(1,2)(1－0.8)＝0.1，所以估計成績高于120分的有0.1×780＝78人．三、解答題10．某研究機構(gòu)準(zhǔn)備舉行一次數(shù)學(xué)新課程研討會，共邀請50名一線教師參加，使用不同版本教材的教師人數(shù)如表所示：版本人教A版人教B版蘇教版北師大版人數(shù)2015510(1)從這50名教師中隨機選出2名，求2人所使用版本相同的概率；(2)假設(shè)隨機選出2名使用人教版的教師發(fā)言，設(shè)使用人教A版的教師人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．解析：(1)從50名教師中隨機選出2名的方法數(shù)為Ceq\o\al(2,50)＝1225.選出兩人使用版本相同的方法數(shù)為Ceq\o\al(2,20)＋Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,10)＝350.故兩人使用版本相同的概率為P＝eq\f(350,1225)＝eq\f(2,7).(2)X的所有可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,15),C\o\al(2,35))＝eq\f(3,17)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,15),C\o\al(2,35))＝eq\f(60,119)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,20),C\o\al(2,35))＝eq\f(38,119).∴X的分布列為X012Peq\f(3,17)eq\f(60,119)eq\f(38,119)∴E(X)＝0×eq\f(3,17)＋1×eq\f(60,119)＋2×eq\f(38,119)＝eq\f(136,119)＝eq\f(8,7).11．(2022·廣東廣州五校聯(lián)考)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．某市環(huán)保局從市區(qū)今年9月每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中，按系統(tǒng)抽樣方法抽取了某6天的數(shù)據(jù)作為樣本，其監(jiān)測值如莖葉圖所示.莖23456葉604006(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計今年9月份該市區(qū)每天PM2.5的平均值和方差；(2)從所抽樣的6天中任意抽取3天，記ξ表示抽取的3天中空氣質(zhì)量為二級的天數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．解析：(1)eq\x\to(x)＝eq\f(26＋30＋36＋44＋50＋60,6)＝41，s2＝eq\f(1,6)×[(26－41)2＋(30－41)2＋(36－41)2＋(44－41)2＋(50－41)2＋(60－41)2]＝137.根據(jù)樣本估計今年9月份該市區(qū)每天PM2.5的平均值為41，方差為137.(2)由莖葉圖知，所抽樣的6天中有2天空氣質(zhì)量為一級，有4天空氣質(zhì)量為二級，那么ξ的可能取值為1,2,3，其中P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)·C\o\al(0,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).所以ξ的分布列為ξ123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)E(ξ)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2，所以ξ的數(shù)學(xué)期望為2.12．氣象部門提供了某地區(qū)今年六月份(30天)的日最高氣溫的統(tǒng)計表如下：日最高氣溫t/℃t≤2222<t≤2828<t≤32t>32天數(shù)612YZ由于工作疏忽，統(tǒng)計表被墨水污染，Y和Z數(shù)據(jù)不清楚，但氣象部門提供的資料顯示，六月份的日最高氣溫不高于32℃的頻率為0.9.某水果商根據(jù)多年的銷售經(jīng)驗，六月份的日最高氣溫t(單位：℃)對西瓜的銷售影響如下表：日最高氣溫t/℃t≤2222<t≤2828<t≤32t>32日銷售額X/千元2568(1)求Y，Z的值；(2)假設(shè)視頻率為概率，求六月份西瓜日銷售額的期望和方差；(3)在日最高氣溫不高于32℃時，求日銷售額不低于5千元的概率．解析：(1)由得P(t≤32)＝0.9，∴P(t>32)＝1－P(t≤32)＝0.1，∴Z＝30×0.1＝3，Y＝30－(6＋12＋3)＝9.(2)P(t≤22)＝eq\f(6,30)＝0.2，P(22<t≤28)＝eq\f(12,30)＝0.4，P(28<t≤32)＝eq\f(9,30)＝0.3，P(t>32)＝eq\f(3,30)＝0.1，∴六月份西瓜日銷售額X的分布列為X2568P0.20.40.30.