2023年高考數(shù)學一輪復習第九章計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布第63講離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布實戰(zhàn)演練理

PAGEPAGE32022年高考數(shù)學一輪復習第九章計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布第63講離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布實戰(zhàn)演練理1．(2022·湖北卷)設X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個正態(tài)分布密度曲線如下圖．以下結(jié)論中正確的選項是(C)A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．對任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)解析：由題圖可知μ1＜0＜μ2，σ1＜σ2，∴P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A錯；P(X≤σ2)＞(X≤σ1)，故B錯；當t為任意正數(shù)時，由題圖可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)．故C正確，D錯．2．(2022·湖南卷)在如下圖的正方形中隨機投擲10000個點，那么落入陰影局部(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為(C)附：假設X～N(μ，σ2)，那么P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544.A．2386 B．2718C．3413 D．4772解析：由正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線的幾何意義，知題圖中陰影局部的面積為P(0＜x≤1)＝eq\f(1,2)×0.6826＝0.3413，故落入陰影局部的點的個數(shù)的估計值為0.341×10000＝3413.應選C．3．(2022·山東卷)某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機抽取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(B)(附：假設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，那么P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%解析：P(－3＜ξ＜3)＝68.26%，P(－6＜ξ＜6)＝95.44%，那么P(3＜ξ＜6)＝eq\f(1,2)×(95.44%－68.26%)＝13.59%.4．(2022·山東卷)甲、乙兩人組成“星隊〞參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語．在一輪活動中，如果兩人都猜對，那么“星隊〞得3分；如果只有一人猜對，那么“星隊〞得1分；如果兩人都沒猜對，那么“星隊〞得0分．甲每輪猜對的概率是eq\f(3,4)，乙每輪猜對的概率是eq\f(2,3)；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響．假設“星隊〞參加兩輪活動，求：(1)“星隊〞至少猜對3個成語的概率；(2)“星隊〞兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學期望E(X)．解析：(1)記事件A：“甲第一輪猜對〞，記事件B：“乙第一輪猜對〞，記事件C：“甲第二輪猜對〞，記事件D：“乙第二輪猜對〞，記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語〞．由題意，E＝ABCD＋eq\x\to(A)BCD＋Aeq\x\to(B)CD＋ABeq\x\to(C)D＋ABCeq\x\to(D)，由事件的獨立性與互斥性，得P(E)＝P(ABCD)＋P(eq\x\to(A)BCD)＋P(Aeq\x\to(B)CD)＋P(ABeq\x\to(C)D)＋P(ABCeq\x\to(D))＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(eq\x\to(A))P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(eq\x\to(B))P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))P(D)＋P(A)P(B)·P(C)P(eq\x\to(D))＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×\f(2,3)×\f(3,4)×\f(2,3)＋\f(3,4)×\f(1,3)×\f(3,4)×\f(2,3)))＝eq\f(2,3).所以“星隊〞至少猜對3個成語的概率為eq\f(2,3).(2)由題意，隨機變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得P(X＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,144)，P(X＝1)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)×\f(1,3)×\f(1,4)×\f(1,3)＋\f(1,4)×\f(2,3)×\f(1,4)×\f(1,3)))＝eq\f(10,144)＝eq\f(5,72)，P(X＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(25,144)，P(X＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(12,144)＝eq\f(1,12)，P(X＝4)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)×\f(2,3)×\f(3,4)×\f(1,3)＋\f(3,4)×\f(2,3)×\f(1,4)×\f(2,3)))＝eq\f(60,144)＝eq\f(5,12)，P(X＝6)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(36,144)＝eq\f(1,4).可得隨機變量X的分布列為X012346Peq\f(1,144)eq\f(5,72)eq\f(25,144)eq\f(1