（新課標(biāo)）高考數(shù)學(xué) 三輪必考熱點(diǎn)集中營 熱點(diǎn)17數(shù)列的基本運(yùn)算大題（教師版）

PAGEPAGE1（新課標(biāo)）2023高考數(shù)學(xué)三輪必考熱點(diǎn)集中營熱點(diǎn)17數(shù)列的根本運(yùn)算大題（教師版）【三年真題重溫】1.【2023新課標(biāo)全國理】已知為等比數(shù)列，，，那么（）A、7B、5C、-5D、-72.【2023新課標(biāo)全國文】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)S3+3S2=0，那么公比q=_______3.【2023新課標(biāo)全國理】數(shù)列滿足，那么的前項(xiàng)和為4.【2023新課標(biāo)全國文】數(shù)列{an}滿足an+1＋(－1)nan＝2n－1，那么{an}的前60項(xiàng)和為（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830答案：D5.【2023新課標(biāo)全國理，17】等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，．(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)…，求數(shù)列的前項(xiàng)和．6.【2023新課標(biāo)全國文，17】已知等比數(shù)列中，，公比．(Ⅰ)為的前項(xiàng)和，證明：；(Ⅱ)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．7.【2023新課標(biāo)全國理，17】設(shè)數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和8.【2023新課標(biāo)全國文，17】設(shè)等差數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求的前項(xiàng)和及使得最大的序號的值.所以時,取得最大值.……12分【命題意圖猜測】1.新課標(biāo)高考對數(shù)列的考察降低了要求，通過兩年的高考試題也可以發(fā)現(xiàn)，試題的位置均為第一大題，試題難度中下，主要以等差數(shù)列等比數(shù)列為背景考察數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和問題，不在考察遞推數(shù)列問題.2023年理科數(shù)列求和考察了裂項(xiàng)相消法，2023年考察了錯位相減法，2023年考察了兩道題，一道是考察了等比數(shù)列的性質(zhì)，另外一道考察了數(shù)列求和問題，變成了一道小題，考察遞推數(shù)列問題，利用分組求和法求解，試題難度較大.猜測2023年以等差數(shù)列或等比數(shù)列為背景，考察倒序相加法或者錯位相減法，理科可能與不等式恒成立巧妙聯(lián)系，文科試題難度中檔，應(yīng)該比2023的數(shù)列求和問題降低難度。應(yīng)該設(shè)置一道解答題.2.通過對近幾年高考試題的統(tǒng)計分析不難發(fā)現(xiàn)，等差數(shù)列作為最根本的數(shù)列模型之一，一直是高考重點(diǎn)考察的對象．難度屬中低檔的題目較多，但也有難度偏大的題目．其中，選擇題、填空題突出“小、巧、活”，主要以通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式為載體，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)考察分類討論、化歸與方程等思想，要注重通性、通法；解答題“大而全”，注重題目的綜合與新穎，突出對邏輯思維能力的考察．預(yù)測2023年高考仍將以等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考察學(xué)生的運(yùn)算能力與邏輯推理能力．3.從近幾年的高考試題來看，等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高．客觀題突出“小而巧”，考察學(xué)生對根底知識的掌握程度；主觀題考察較為全面，在考察根本運(yùn)算、根本概念的根底上，又注重考察函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法．預(yù)測2023年高考，等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式仍將是考察的重點(diǎn)，特別是等比數(shù)列的性質(zhì)更要引起重視．【最新考綱解讀】1．?dāng)?shù)列的概念和簡單表示法(1)了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)．(2)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)．2．等差數(shù)列、等比數(shù)列(1)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念．(2)掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．(3)能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．(4)了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．【回歸課本整合】1.等差數(shù)列的有關(guān)概念：（1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法或.（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)：或.（3）等差數(shù)列的前和：，.（4）等差中項(xiàng)：假設(shè)成等差數(shù)列，那么A叫做與的等差中項(xiàng)，且.2.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.（2）假設(shè)公差，那么為遞增等差數(shù)列，假設(shè)公差，那么為遞減等差數(shù)列，假設(shè)公差，那么為常數(shù)列.（3）當(dāng)時,那么有，特別地，當(dāng)時，那么有.(4)假設(shè)、是等差數(shù)列，那么、(、是非零常數(shù))、、，…也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；假設(shè)是等比數(shù)列，且，那么是等差數(shù)列.（5）在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時，，（這里即）；.（6）假設(shè)等差數(shù)列、的前和分別為、，且，那么.(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和.法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性.上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？3.等比數(shù)列的有關(guān)概念：（1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或.（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)：或.（3）等比數(shù)列的前和：當(dāng)時，；當(dāng)時，..特別提醒：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時，要對分和兩種情形討論求解.（4）等比中項(xiàng)：假設(shè)成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項(xiàng).提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個.4.等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)時，那么有，特別地，當(dāng)時，那么有.(2)假設(shè)是等比數(shù)列，那么、、成等比數(shù)列；假設(shè)成等比數(shù)列，那么、成等比數(shù)列；假設(shè)是等比數(shù)列，且公比，那么數(shù)列，…也是等比數(shù)列.當(dāng)，且為偶數(shù)時，數(shù)列，…是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列.(3)假設(shè)，那么為遞增數(shù)列；假設(shè),那么為遞減數(shù)列；假設(shè)，那么為遞減數(shù)列；假設(shè),那么為遞增數(shù)列；假設(shè)，那么為擺動數(shù)列；假設(shè)，那么為常數(shù)列.(4)當(dāng)時，，這里，但，這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列.(5)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.5.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式.⑵已知（即）求，用作差法：.⑶已知求，用作商法：.⑷假設(shè)求用累加法：.⑸已知求，用累乘法：.⑹已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）.特別地，（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求.如(21)已知，求；（2）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng).注意：（1）用求數(shù)列的通項(xiàng)公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當(dāng)時，）；（2）一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解.6.數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時需分類討論.（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.（3）倒序相加法：假設(shè)和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，那么?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：①；②；③，；（6）通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對通項(xiàng)進(jìn)展變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和.【方法技巧提煉】1.等差數(shù)列的判斷與證明的方法(1)利用定義：或，其中為常數(shù)；(2)利用等差中項(xiàng)：；(3)利用通項(xiàng)公式：；(4)利用前項(xiàng)公式：.注意證明等差數(shù)列的方法必須用定義法或等差中項(xiàng)的方法去證明；在選擇題和填空題中，可根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)?shù)倪x擇任意一種方法.有時還可以利用“歸納猜測證明”的方法去翻開解題思路.如果證明數(shù)列不是等差數(shù)列，可采用舉反例的方法，如證明.2.等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題對于等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題，取決于首項(xiàng)和公差的正負(fù)即：，時，有最大值；，時，有最小值.常用下面兩個方法去解決：(1)假設(shè)已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）；(2)假設(shè)已知，那么最值時的值（）可如下確定或.3.如何判斷和證明數(shù)列是等比數(shù)列判斷和證明是等比數(shù)列常用以下幾個方法：（1）利用定義：或（為非零常數(shù)）；（2）利用等比中項(xiàng)：；（3）利用通項(xiàng)公式：（）；（4）利用求和公式：（，，）.注意證明數(shù)列為等比數(shù)列只能用定義和等比中項(xiàng)去證明，但是在選擇題或填空題中可以用任何一種方法.4.利用等比數(shù)列求和公式注意的問題在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和時，如果公比未知，且需要利用求和公式列方程時，一定要對公比分兩種情況進(jìn)展討論.5.如何選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髷?shù)列的和在數(shù)列求和問題中，由于題目的千變?nèi)f化，使得不少同學(xué)一籌莫展，方法教師也介紹過，就不清楚什么特征用什么方法.為此提供一個通法“特征聯(lián)想法”：就是抓住數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征，再去聯(lián)想常用數(shù)列的求和方法.通項(xiàng)公式作為數(shù)列的靈魂，只有抓住它的特征，才能對號入座，得到求和方法.特征一：，數(shù)列的通項(xiàng)公式能夠分解成幾局部，一般用“分組求和法”.特征二：，數(shù)列的通項(xiàng)公式能夠分解成等差數(shù)列和等比數(shù)列的乘積，一般用“錯位相減法”.特征三：，數(shù)列的通項(xiàng)公式是一個分式構(gòu)造，一般采用“裂項(xiàng)相消法”.特征四：，數(shù)列的通項(xiàng)公式是一個組合數(shù)和等差數(shù)列通項(xiàng)公式組成，一般采用“倒序相加法”.6.利用轉(zhuǎn)化，解決遞推公式為與的關(guān)系式.數(shù)列{}的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：.通過紐帶：，根據(jù)題目求解特點(diǎn)，消掉一個.然后再進(jìn)展構(gòu)造成等差或者等比數(shù)列進(jìn)展求解.如需消掉，利用已知遞推式，把n換成（n+1）得到遞推式，兩式相減即可.假設(shè)消掉，只需把帶入遞推式即可.不管哪種形式，需要注意公式成立的條件7.由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）利用“累加法”和“累乘法”求通項(xiàng)公式此解法來源與等差數(shù)列和等比數(shù)列求通項(xiàng)的方法，遞推關(guān)系為用累加法；遞推關(guān)系為用累乘法.解題時需要分析給定的遞推式，使之變形為構(gòu)造，然后求解.要特別注意累加或累乘時，應(yīng)該為個式子，不要誤認(rèn)為個.(2)利用待定系數(shù)法，構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，觀察、分析、推理能力要求較高.通?？蓪f推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，這種方法表達(dá)了數(shù)學(xué)中化未知為已知的化歸思想，而運(yùn)用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法.遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）.把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.【考場經(jīng)歷分享】1．?dāng)?shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．因此，在研究函數(shù)問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性．2．由Sn求an時，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1,Sn－Sn－1n≥2))，注意驗(yàn)證a1是否包含在后面an的公式中，假設(shè)不符合要單獨(dú)列出，一般已知條件含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮上述公式．3．如果p＋q＝r＋s，那么ap＋aq＝ar＋as，一般地，ap＋aq≠ap＋q，必須是兩項(xiàng)相加，當(dāng)然可以是ap－t＋ap＋t＝2ap．4．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式通常是n的一次函數(shù)，除非公差d＝0.5．公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.假設(shè)某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù)，那么該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列．6．特別注意q＝1時，Sn＝na1這一特殊情況．7．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.8.因試題難度和位置的調(diào)整，數(shù)列問題已經(jīng)變?yōu)橥瑢W(xué)們得全分的題目，故需值得花費(fèi)時間和精力去攻克.在考試過程中，計算出錯極易出現(xiàn)，故不管求通項(xiàng)公式還是數(shù)列求和問題均可以利用n=1,2進(jìn)展驗(yàn)證，此法切記！【新題預(yù)測演練】1.【廣東省揭陽市2023屆高三3月第一次高考模擬】已知等差數(shù)列滿足，，那么前n項(xiàng)和取最大值時，n的值為A.20B.21C.22D.23【答案】B2.【東北三省三校2023屆高三3月第一次聯(lián)合模擬考試】已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，那么的值為（） A． B． C． D．3.【上海市奉賢2023屆高三一模】已知Sn是等差數(shù)列{an}(nN*)的前n項(xiàng)和，且S6>S7>S5，有以下四個命題，假命題的是()(A)公差d<0 (B)在所有Sn<0中，S13最大 (C)滿足Sn>0的n的個數(shù)有11個 (D)a6>a74.【惠州市2023屆高三第三次調(diào)研考試】數(shù)列{}中，，那么數(shù)列{}前項(xiàng)和等于（）A．76B．78C．80D．82【答案】B5.【2023-2023學(xué)年江西省南昌市調(diào)研考試】已知等比數(shù)列公比為q，其前n項(xiàng)和為，假設(shè)成等差數(shù)列，那么等于（）A.B.1C.或1D.6.【2023年長春市高中畢業(yè)班第一次調(diào)研測試】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，，，那么 A.11 B.12 C.14 D.167.【廣東省華附、省實(shí)、廣雅、深中2023屆高三上學(xué)期期末四校聯(lián)考】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，和為方程的兩根，那么()(A)16(B)32(C)64(D)2568.【2023屆貴州天柱民中、錦屏中學(xué)、黎平一中、黃平民中四校聯(lián)考】假設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，那么其前項(xiàng)和為（）A．B．C．D．9.【云南玉溪一中2023屆第四次月考試卷】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足那么中最大的項(xiàng)為【答案】D10.【廣東省惠州市2023屆高三第三次調(diào)研考試】數(shù)列{}中，，那么數(shù)列{}前項(xiàng)和等于（）A．76B．78C．80D．8211.【2023年浙江省高考測試卷】設(shè)數(shù)列（）A．假設(shè)，那么為等比數(shù)列B．假設(shè)，那么為等比數(shù)列C．假設(shè)，那么為等比數(shù)列D．假設(shè)，那么為等比數(shù)列12.【上海市青浦2023屆高三一模】已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，，那么的值……（）.恒為正數(shù) 恒為負(fù)數(shù) .恒為0 .可正可負(fù)13.【天津市新華中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷】設(shè)數(shù)列滿足，(n∈N﹡)，且，那么數(shù)列的通項(xiàng)公式為.14.【北京市石景山區(qū)2023屆高三上學(xué)期期末理】在等比數(shù)列中，，那么公比，15.【2023年秋湖北省局部重點(diǎn)中學(xué)期中聯(lián)考】設(shè)｛an｝是集合｛2s＋2t|0≤s＜t，且s，t∈Z｝中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12……，將數(shù)列｛an｝中各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原那么排成如下等腰直角三角形數(shù)表：35691012………………那么第四行四個數(shù)分別為；且a2023＝（用2s＋2t形式表示）．16.【安徽省黃山市2023屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測】已知數(shù)列滿足.定義：使乘積…為正整數(shù)的叫做“簡易數(shù)”.那么在內(nèi)所有“簡易數(shù)”的和為.17.【東北三省三校2023屆高三3月第一次聯(lián)合模擬考試】（本小題總分值12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足（1）求數(shù)列的前三項(xiàng)a1，a2，a3；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式。源網(wǎng)所以……12分18.【北京市東城區(qū)2023-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測】（本小題共13分）已知為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且.（Ⅰ）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）假設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.【山東省濰坊市2023屆高三3月第一次模擬考試】（本小題總分值12分）已知數(shù)列的各項(xiàng)排成如下圖的三角形數(shù)陣，數(shù)陣中每一行的第一個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,是的前n項(xiàng)和，且(I)假設(shè)數(shù)陣中從第三行開場每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比相等，已知，求的值；(Ⅱ)設(shè)，求．20.【陜西省寶雞市2023屆高三3月份第二次模擬考試】（本小題總分值12分）已知在公比不等于1的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列。求證：成等差數(shù)列；假設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：21.【2023安徽省省級示范高中名校高三聯(lián)考】（本小題總分值13分）