探究型解題策略初中數(shù)學市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

探究型問題解題策略探究型問題探究第1頁第1頁命題趨勢

探究型問題是近年中考比較常見題目，解答這類問題關(guān)鍵是牢固掌握基本知識，加強“一題多解”、“一題多變”等訓(xùn)練；需要有較強發(fā)散思維能力、創(chuàng)新能力。詳細做題時，要仔細分析題目的相關(guān)信息、合情推理、聯(lián)想，并要利用類比、歸納、分類討論等數(shù)學思想全面考慮問題，有時還借助圖形、實物或?qū)嶋H操作來打開思緒。探究型問題探究第2頁第2頁整體感知探究型問題規(guī)律型問題試驗操作題動態(tài)型問題探究型問題探究第3頁第3頁1.條件不擬定性2.結(jié)構(gòu)多樣性題型特點3.思維多向性4.解答層次性5.過程探究性6.知識綜合性探究型問題探究第4頁第4頁(一)規(guī)律型問題考點突破規(guī)律摸索試題是中考中一棵常青樹，始終受到命題者青睞，主要原因是這類試題沒有固定形式和辦法，要求學生通過觀測、分析、比較、概括、推理、判斷等摸索活動來處理問題．探究型問題探究第5頁第5頁1．數(shù)式規(guī)律例1：

一組按規(guī)律排列式子：…（ab≠0），其中第7個式子是

，

第n個式子是

（n為正整數(shù)）．

本題難點是，改變部分太多，有三處發(fā)生改變：分子、分母、分式符號。學生很容易發(fā)覺各部分改變規(guī)律，但是如何用一個統(tǒng)一式子表示出分式符號改變規(guī)律是難點.

歸納與猜想探究型問題探究第6頁第6頁1．數(shù)式規(guī)律例2觀測下列各式：1×3=12＋2×1；2×4=22＋2×2；3×5=32＋2×3；……請你將猜想到規(guī)律用正整數(shù)n表示出來：___________.辦法總結(jié)：橫向熟悉代數(shù)式、算式結(jié)構(gòu)；縱向觀測、對比，研究各式之間關(guān)系，尋求改變規(guī)律；按要求寫出算式或結(jié)果。歸納與猜想探究型問題探究第7頁第7頁例3用同樣大小黑色棋子按圖所表示方式擺圖形，按照這樣規(guī)律擺下去，則第n個圖形需棋子

枚（用含n代數(shù)式表示）.

2．圖形規(guī)律第1個圖第2個圖第3個圖…辦法一:除第一個圖形有4枚棋子外,每多一個圖形,多3枚棋子.4＋3（n－1）=3

n+1歸納與猜想探究型問題探究第8頁第8頁2．圖形規(guī)律例3用同樣大小黑色棋子按圖所表示方式擺圖形，按照這樣規(guī)律擺下去，則第n個圖形需棋子

枚（用含n代數(shù)式表示）.

第1個圖第2個圖第3個圖…3n+1辦法二:每個圖形,可當作是序列數(shù)與3倍數(shù)又多1枚棋子歸納與猜想探究型問題探究第9頁第9頁2．圖形規(guī)律例3用同樣大小黑色棋子按圖所表示方式擺圖形，按照這樣規(guī)律擺下去，則第n個圖形需棋子

枚（用含n代數(shù)式表示）.

第1個圖第2個圖第3個圖…辦法三:2n+(n+1)=3n+1辦法總結(jié)：認真觀測研究圖案（形）提取數(shù)式信息仿照數(shù)式規(guī)律得到結(jié)論歸納與猜想探究型問題探究第10頁第10頁復(fù)練1：探究型問題探究第11頁第11頁復(fù)練2：探究型問題探究第12頁第12頁探究規(guī)律題普通環(huán)節(jié)為：(1)觀測（發(fā)覺特點）(2)猜想（也許規(guī)律）(3)試驗（用詳細數(shù)值代入猜想）探究型問題探究第13頁第13頁（二）實驗操作型問題考點突破

試驗操作型問題是讓學生在實際操作基礎(chǔ)上設(shè)計問題，主要有：⑴裁剪、折疊、拼圖等動手操作問題，往往與面積、對稱性質(zhì)相聯(lián)系；⑵與畫圖、測量、猜想、證實等相關(guān)探究型問題。

探究型問題探究第14頁第14頁試驗操作型問題

主要考察：（1）全等、相同、平移、對稱、旋轉(zhuǎn)、翻折等幾何操作變換若干辦法和技巧；(2）綜合利用相關(guān)知識處理應(yīng)用問題．折紙與剪紙

分割與拼合

展開與疊合探究型問題探究第15頁第15頁動手操作型折紙與剪紙，圖形分割與拼合、幾何體展開與疊合，幾乎觸及了每份試卷，從單一選擇、填空，到綜合性較強摸索猜想、總結(jié)規(guī)律，判斷論證存在是否，以及分類討論等綜合題，幾乎無處不在．1.基礎(chǔ)題型探究型問題探究第16頁第16頁1.折紙問題例4

如圖，把一張長方形紙片對折，折痕為AB，再以AB中點O為頂點把平角∠AOB三等分，沿平角三等分線折疊，將折疊后圖形剪出一個以O(shè)為頂點等腰三角形，那么剪出等腰三角形所有展開鋪平后得到平面圖形一定是（）

A．正三角形B．正方形C．正五邊形D．正六邊形

基礎(chǔ)題型

解題策略1：重過程——“折”．溫馨提醒:看清環(huán)節(jié)，仔細操作.操作與探究D探究型問題探究第17頁第17頁ABCD復(fù)練：將一正方形紙片按下列順序折疊，然后將最后折疊紙片沿虛線剪去上方小三角形．將紙片展開，得到圖形是（）

試一試：溫馨提醒:帶齊工具。C探究型問題探究第18頁第18頁２.拼圖問題

例5

如圖1，△ABC是直角三角形，假如用四張與△ABC全等三角形紙片正好拼成一個等腰梯形，如圖2，那么在Rt△ABC中，

值是

．

辦法一:觀測邊長,兩條較短直角邊和等于斜邊長辦法二:觀測角度,兩個較小銳角和等于較大銳角基礎(chǔ)題型

操作與探究探究型問題探究第19頁第19頁２.拼圖問題基礎(chǔ)題型

例6如圖,這是一張等腰梯形紙片,它上底長為2,下底長為4,腰長為2,這么紙片共有5張.打算用其中幾張來拼成較大等腰梯形,那么你能拼出哪幾個不同等腰梯形?分別畫出它們示意圖,并寫出它們周長.2224操作與探究探究型問題探究第20頁第20頁２.拼圖問題基礎(chǔ)題型

223420222242探究型問題探究第21頁第21頁3.展開與折疊例7

右圖所表示是一個三棱柱紙盒，在下面四個圖中，只有一個是這個紙盒展開圖，那么這個展開圖是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．．．．基礎(chǔ)題型

本題考察立體圖形展開與折疊，同時考察空間想象能力和動手實踐能力。動手制作模型，通過試驗來驗證不失為一個好辦法。操作與探究探究型問題探究第22頁第22頁4.網(wǎng)格問題例8

如圖，在由12個邊長都為1且有一個銳角為60°小菱形構(gòu)成網(wǎng)格中，點P是其中一個頂點，以點P為直角頂點作格點直角三角形（即頂點均在格點上三角形），請你寫出所有也許直角三角形斜邊長___________________.

12基礎(chǔ)題型

操作與探究探究型問題探究第23頁第23頁4.網(wǎng)格問題例8

如圖，在由12個邊長都為1且有一個銳角為60°小菱形構(gòu)成網(wǎng)格中，點P是其中一個頂點，以點P為直角頂點作格點直角三角形（即頂點均在格點上三角形），請你寫出所有也許直角三角形斜邊長___________________.

12基礎(chǔ)題型

評析：這類題型主要以學生熟悉、感興趣圖形為背景，提供觀測和操作機會，讓學生通過動手操作，親自發(fā)覺結(jié)果準確性，在思想和行動上逐步消除理論和實踐之間阻隔．網(wǎng)格試題含有操作性，趣味性，表達了“在玩中學，在學中思，在思中得”課標理念．操作與探究探究型問題探究第24頁第24頁動手操作型試題是指給出操作規(guī)則，在操作過程中發(fā)覺新結(jié)論，自主摸索知識發(fā)展過程；它為解題者創(chuàng)設(shè)了動手實踐，操作設(shè)計空間，考察了學生數(shù)學實踐能力和創(chuàng)新設(shè)計才干．2.綜合題型探究型問題探究第25頁第25頁既有10個邊長為1正方形，排列形式如圖4,請把它們分割后拼接成一個新正方形．要求：在圖4中畫出分割線,并在圖5正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形邊長均為1）中用實線畫出拼接成新正方形．闡明：直接畫出圖形，不要求寫分析過程.例9

請閱讀下列材料:問題:既有5個邊長為1正方形，排列形式如圖1,請把它們分割后拼接成一個新正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形邊長均為1）中用實線畫出拼接成新正方形．小東同窗做法是:設(shè)新正方形邊長為x（x>0）.依題意，割補前后圖形面積相等，有x2=5,解得由此可知新正方形邊長等于兩個小正方形構(gòu)成矩形對角線長.于是，畫出如圖2所表示分割線,拼出如圖3所表示新正方形．請你參考小東同窗做法，處理下列問題:圖⑤圖④題型一：畫圖與拼圖綜合題型

操作與探究探究型問題探究第26頁第26頁小東同窗做法是：設(shè)新正方形

邊長為x(x>0).依題意，割補前后圖形面積相等，有x2=5,解得x=.由此可知新正方形邊長等于兩個小正方形構(gòu)成矩形對角線長.于是，畫出如圖2所表示分割線，如圖3所表示新正方形.再現(xiàn)操作情境第27頁第27頁小東同窗做法是：設(shè)新正方形

邊長為x(x>0).依題意，割補前后圖形面積相等，有x2=5,解得x=.由此可知新正方形邊長等于三個小正方形構(gòu)成矩形對角線長.于是，畫出如圖4所表示分割線，如圖5所表示新正方形.①②③④⑤10理清操作環(huán)節(jié)發(fā)覺改變，類比遷移第28頁第28頁小東同窗做法是：設(shè)新正方形

邊長為x(x>0).依題意，割補前后圖形面積相等，有x2=5,解得x=.由此可知新正方形邊長等于三個小正方形構(gòu)成矩形對角線長.于是，畫出如圖4所表示分割線，如圖5所表示新正方形.①②③④⑤10理清操作環(huán)節(jié)發(fā)覺改變，類比遷移析解：本例是將矩形分割后拼成正方形，而試題又提供了拼接辦法，處理這類問題除要有平時分割和拼接經(jīng)驗外，還要密切關(guān)注試題中閱讀材料．第29頁第29頁母題:如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使點D落在邊BC上F處，假如∠BAF=30°，AD=，則∠DAE=______，EF=_______．30°2人教版八年級(下)第115頁數(shù)學活動1題型二：折疊與變換探究型問題探究第30頁第30頁ABCDFE透過現(xiàn)象看本質(zhì):折疊軸對稱實質(zhì)軸對稱性質(zhì)：ADEF1.圖形全等性：重疊部分是全等圖形，相應(yīng)邊角相等.2.點對稱性：對稱點連線被對稱軸（折痕）垂直平分.由折疊可得：1.△AFE≌△ADE2.AE是DF中垂線探究型問題探究第31頁第31頁變式一:如圖，折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊點F處，已知AB=8cm，AD=10cm，求EC長。ABCDFE810106x48-x反思：折疊問題中結(jié)構(gòu)方程辦法：（2）尋找相同三角形，依據(jù)相同比得方程。（1）把條件集中到一Rt△中，依據(jù)勾股定理得方程。體會方程思想價值。2.將分塊學習知識有機整合。設(shè)計意圖:探究型問題探究第32頁第32頁ABCEOxyB′已知tan∠OB′C＝（1）求出B′點坐標；（2）求折痕CE所在直線解析式。變式二:如圖，在直角坐標系中放入一邊長OC為6矩形紙片ABCO，將紙翻折后，使點B正好落在x軸上，記為B′,折痕為CE，，6（1）B′（8，0）

8102xx6-x解法一：在Rt△AEB′中，用勾股定理解。解法二：由△COB′∽△B′AE來解。探究型問題探究第33頁第33頁已知tan∠OB′C＝

（2）求折痕CE所在直線解析式。

變式二:如圖，在直角坐標系中放入一邊長OC為6矩形紙片ABCO，將紙翻折后，使點B正好落在x軸上，記為B′,折痕為CE，，解法三：記直線CE交X軸于F點,求得F點坐標與C點坐標,求得直線CE解析式。探究型問題探究第34頁第34頁變式三:(08湖州24(3))已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分別以O(shè)B,OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所表示平面直角坐標系．F是邊BC上一個動點（不與B,C重疊），過F點反百分比函數(shù)圖象與AC邊交于點E．請摸索：是否存在這樣點F，使得將△CEF沿EF對折后，C點正好落在OB上？若存在，求出點F坐標；若不存在，請闡明理由．NM(4,)（,3）學生兩大思維障礙：1.知識欠整合2.數(shù)感很遲鈍探究型問題探究第35頁第35頁探究型問題探究第36頁第36頁變式四:在矩形紙片ABCD中，AB=2，BC=4，現(xiàn)將該紙片折疊，使點A與點C重疊，折痕交AD、BC分別與點E、F，則EF=

.24？探究型問題探究第37頁第37頁24？xx4-x2G辦法一：歸納：1、全等形2、勾股定理辦法二：24？O歸納：1、輔助線：連結(jié)相應(yīng)點2、軸對稱性質(zhì)3、相同三角形性質(zhì)探究型問題探究第38頁第38頁變式五:將邊長為2a正方形ABCD折疊，使頂點C與AB邊上點P重疊，折痕交BC于E，交AD于F，邊CD折疊后與AD邊交于點H．（1）假如P為AB邊中點，探究△PBE三邊之比.正方形邊長為2a可得△PBE三邊之比3:4:5.探究型問題探究第39頁第39頁變式五:將邊長為2a正方形ABCD折疊，使頂點C與AB邊上點P重疊，折痕交BC于E，交AD于F，邊CD折疊后與AD邊交于點H．（1）假如P為AB邊中點，尚有哪些結(jié)論呢?△PBE∽△HAP∽△HQF可求出梯形DCEF面積:由△CME∽△CBP由△FNE≌△CBP探究型問題探究第40頁第40頁變式六:將邊長為2a正方形ABCD折疊，使頂點C與AB邊上點P重疊，折痕交BC于E，交AD于F，邊CD折疊后與AD邊交于點H．(2)若P為AB邊上任意一點，還能求得△PBE三邊之比嗎?正方形邊長為2a1．落實從特殊到普通，從普通到特殊數(shù)學思想。

2．在“變“過程中“不變”。

△PBE∽△HAP第41頁第41頁變式七:將邊長為2a正方形ABCD折疊，使頂點C與AB邊上點P重疊，折痕交BC于E，交AD于F，邊CD折疊后與AD邊交于點H．(3)若P為AB邊上任意一點，四邊形PEFQ面積為S,PB為x,試探究S與x函數(shù)關(guān)系,關(guān)求S最小值.正方形邊長為2a由△PBE∽△HAP??由△PBE∽△HQF?第42頁第42頁1.變式訓(xùn)練讓中考復(fù)習課堂多姿多彩。“科學是在不斷改變思維角度摸索中邁進?！弊兪接?xùn)練讓中考復(fù)習課常新、善變,化枯燥為奇妙.反思總結(jié)2.變式訓(xùn)練讓學生領(lǐng)略中考命題設(shè)計意圖。中考命題“源于書本，高于書本”，而變式訓(xùn)練通過書本題目的演變使學生理解命題來龍去脈，豐富學生考試經(jīng)驗。3.變式訓(xùn)練讓中考復(fù)習走上捷徑。變式訓(xùn)練能連一串知識,學生做題少,收獲大，真正掙脫題海戰(zhàn)術(shù);且能發(fā)展學生求異思維，發(fā)散思維，逆向思維，從而培養(yǎng)學生多角度，全方位考慮問題能力。4.變式訓(xùn)練提升了教師解題,析題能力。教師只有鉆研習題,一題多變,才會使習題教學事半功倍,這個過程中,教師解題能力,分析習題能力也從中得到了切實提升.第43頁第43頁解題策略2：重結(jié)果——“疊”．心得：先標等量，再結(jié)構(gòu)方程。折疊問題中結(jié)構(gòu)方程辦法：（2）尋找相同三角形，依據(jù)相同比得方程。（1）把條件集中到一Rt△中，依據(jù)勾股定理得方程。探究型問題探究第44頁第44頁反思小結(jié)重結(jié)果折疊問題折疊程過重利用Rt△利用相同方程思想軸對稱全等性對稱性質(zhì)本精髓探究型問題探究第45頁第45頁例11把兩個全等等腰直角板ABC和OPQ疊放在一起，如圖1，且使三角板OPQ直角頂點O與三角板ABC斜邊中點重疊．現(xiàn)將三角板OPQ繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角滿足條件），四邊形CDOE是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板重疊部分（如圖2，圖3所表示），已知兩個三角板直角邊長均為4．探究：（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，線段OD與OE之間有如何數(shù)量關(guān)系,以圖2為例證實你猜想.題型三：旋轉(zhuǎn)與摸索綜合題型

試驗與推理第46頁第46頁例11把兩個全等等腰直角板ABC和OPQ疊放在一起，如圖1，且使三角板OPQ直角頂點O與三角板ABC斜邊中點重疊．現(xiàn)將三角板OPQ繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角滿足條件），四邊形CDOE是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板重疊部分（如圖2，圖3所表示），已知兩個三角板直角邊長均為4．探究：（2

）連接DE，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BD＝，△OED面積為，求與之間函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍；題型三：旋轉(zhuǎn)與摸索綜合題型

試驗與推理第47頁第47頁例11把兩個全等等腰直角板ABC和OPQ疊放在一起，如圖1，且使三角板OPQ直角頂點O與三角板ABC斜邊中點重疊．現(xiàn)將三角板OPQ繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角滿足條件），四邊形CDOE是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板重疊部分（如圖2，圖3所表示），已知兩個三角板直角邊長均為4．探究：（3）在（2）前提下，是否存在某一位置，使△OED面積正好等于△ABC面積？若存在，求出此時值；若不存在，闡明理由。題型三：旋轉(zhuǎn)與摸索綜合題型

試驗與推理第48頁第48頁【點評】上面這題是通過三角板旋轉(zhuǎn)來結(jié)構(gòu)摸索性問題，學生在探索過程中，能夠表現(xiàn)出自己在從事觀測、試驗、數(shù)學表示、猜想、證實等數(shù)學活動方面能力．此題關(guān)注了學生結(jié)識數(shù)學對象過程與辦法．為了考察和培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力，中考試題中也越來越多地引入了開放性問題，使學生通過對開放性試題解答，親自經(jīng)歷做數(shù)學過程，加深學生對數(shù)學知識結(jié)識和理解．這也對我們此后教學方向性起著導(dǎo)向作用．探究型問題探究第49頁第49頁例12如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上一個動點(點G與C、D不重疊)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE長度關(guān)系及所在直線位置關(guān)系：（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE長度關(guān)系及所在直線位置關(guān)系；②將圖1中正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀測、測量等辦法判斷①中得到結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證實你判斷．題型三：旋轉(zhuǎn)與摸索綜合題型

試驗與推理第50頁第50頁題型三：旋轉(zhuǎn)與摸索綜合題型

（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(a≠b，k＞0)，第(1)題①中得到結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡明闡明理由．評析：本題考察學生摸索知識、發(fā)覺知識、應(yīng)用知識綜合創(chuàng)新能力。學生在探究時猜想普通來說都是一些可預(yù)見結(jié)果，如：大小關(guān)系普通是相等或和差相等，平面內(nèi)兩直線關(guān)系普通是平行、垂直等。因此，學生猜想可有一個大方向。同時，這類題型由于條件改變，其摸索過程也由簡到難，可利用類比辦法依次求出，從而使學生在身臨數(shù)學情境中潛移默化，逐步感悟到數(shù)學思維力量。

試驗與推理第51頁第51頁綜合題型

【點評】這些試題均表達新課標所提倡“操作——猜想——探究——證實”理念。每題在書本中均能找到落腳點，但改變了過去直接要求學生對命題證實形式，而是按照：“給出特例——猜想普通——推理論證——再次猜想”要求呈現(xiàn)，這對考察學生創(chuàng)新意識是十分有益，對教學也起到了正確引導(dǎo)作用．題型三：旋轉(zhuǎn)與摸索第52頁第52頁（三）動態(tài)探究題考點突破動態(tài)探究題能夠真實考察學生知識水平、理解能力，有較好區(qū)別度，含有較好選拔功效；同時，依托圖形改變（動點、動線段、動圖問題），能較好地考察學生學習數(shù)學探究能力和綜合素質(zhì)，表達開放性。主要以中檔題與綜合題形式出現(xiàn)，有時也會以選擇題形式出現(xiàn)。第53頁第53頁題型一：點動型摸索綜合題型

例13（江西?。?5．如圖1，在等腰梯形ABCD中AD平行BC,E是AB中點，過點E作EF平行BC交CD于點F.AB=4,BC=6,∠B=60度.（1）求點E到BC距離；（2）點P為線段EF上一個動點，過P作PM?EF交BC于點M，過M作MN平行AB交折線ADC于點N,連結(jié)PN,設(shè)EP=X.①當點N在線段AD上時（如圖2）,垂直PMN形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出垂直PMN周長；若改變，請闡明理由；②當點N在線段DC上時（如圖3），是否存在點P，使垂直PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求X值；若不存在，請闡明理由.ADEBFC圖4（備用）ADEBFC圖5（備用）ADEBFC圖1圖2ADEBFCPNM圖3ADEBFCPNM解題策略2：分類畫出圖形．解題策略1：化動為“靜”．第54頁第54頁題型一：點動型摸索小結(jié)

一要注旨在單點運動改變過程中，哪些圖形（如線段、三角形等）隨之運動改變，即擬定整個單點運動改變過程中圖形中變量和不變量．如本題中線段PM和∠PMN是兩個不變量，線段PN、MN是兩個變量，以及△MPN形狀也在改變．

三要結(jié)合詳細問題，建立方程或函數(shù)等數(shù)學模型，達到處理問題目的．如本題中，假設(shè)△PMN為等腰三角形，則分PM=PN,PM=MN,PN=MN三種情況建立相等關(guān)系，列出方程求解．

二要利用相應(yīng)幾何知識，用單點運動引起某一變量x，表示圖形中其它變量．第55頁第55頁題型二：線動型摸索例14：已知：如圖，AB是⊙O一條弦，點C為AB中點，CD是⊙O直徑，過C點直線l交AB所在直線于點E，交⊙O于點F.(1)判斷圖中∠CEB與∠FDC數(shù)量關(guān)系，并寫出結(jié)論；(2)將直線l繞C點旋轉(zhuǎn)(與CD不重疊)，在旋轉(zhuǎn)過程中，E點、F點位置也隨之改變，請你在下面兩個備用圖中分別畫出l在不同位置時，