2023秋湘教版九年級數(shù)學(xué)上冊第4章教案：4．4　解直角三角形的應(yīng)用

第頁4．4解直角三角形的應(yīng)用第1課時俯角和仰角問題教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】比擬熟練地應(yīng)用解直角三角形的知識解決與仰角、俯角有關(guān)的實(shí)際問題．【過程與方法】通過學(xué)習(xí)進(jìn)一步掌握解直角三角形的方法．【情感態(tài)度】培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力．【教學(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用解直角三角形的知識解決與仰角、俯角有關(guān)的實(shí)際問題．【教學(xué)難點(diǎn)】選用恰當(dāng)?shù)闹苯侨切?，分析解題思路．教學(xué)過程一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知海中有一個小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁．今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎？你是如何想的？與同伴進(jìn)行交流．【教學(xué)說明】經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用．二、思考探究，獲取新知1．某探險者某天到達(dá)如下圖的點(diǎn)A處，他準(zhǔn)備估算出離他的目的地——海拔為3500m的山峰頂點(diǎn)B處的水平距離．你能幫他想出一個可行的方法嗎？分析：如圖，BD表示點(diǎn)B的海拔，AE表示點(diǎn)A的海拔，AC⊥BD，垂足為點(diǎn)C.先測量出海拔AE，再測出仰角∠BAC，然后用銳角三角函數(shù)的知識就可以求出A、B之間的水平距離AC.【歸納結(jié)論】當(dāng)我們進(jìn)行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫作仰角，在水平線下方的角叫作俯角．2．如圖，在離上海東方明珠塔底部1000m的A處，用儀器測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，儀器距地面高為1.7m.求上海東方明珠塔的高度．(結(jié)果精確到1m)解：在Rt△ABC中，∠BAC＝25°，AC＝1000m，因此tan25°＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(BC,1000)∴BC＝1000×tan25°≈466.3(m)，∴上海東方明珠塔的高度(約)為466.3＋1.7＝468米．【教學(xué)說明】利用實(shí)際問題承載數(shù)學(xué)問題，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．教師要幫助學(xué)生學(xué)會把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，從而解決問題．三、運(yùn)用新知，深化理解1．如圖，某飛機(jī)于空中A處探測到目標(biāo)C，此時飛行高度AC＝1200米，從飛機(jī)上看地平面控制點(diǎn)B的俯角α＝16°31′，求飛機(jī)A到控制點(diǎn)B的距離．(精確到1米)[來源:Z.xx.k.Com]分析：利用正弦可求．解：在Rt△ABC中sinB＝eq\f(AC,AB)∴AB＝eq\f(AC,sinB)＝eq\f(1200,0.2843)≈4221(米)答：飛機(jī)A到控制點(diǎn)B的距離約為4221米．[來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K]2．熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m.這棟高樓有多高(結(jié)果精確到0.1m)?分析：在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120.所以可以利用解直角三角形的知識求出BD；類似地可以求出CD，進(jìn)而求出BC.解：如圖，α＝30°，β＝60°，AD＝120.∵tanα＝eq\f(BD,AD)，tanβ＝eq\f(CD,AD)，∴BD＝ADtanα＝120×tan30°＝120×eq\f(\r(3),3)＝40eq\r(3)，CD＝ADtanβ＝120×tan60°＝120×eq\r(3)＝120eq\r(3).∴BD＝BD＋CD＝40eq\r(3)＋120eq\r(3)＝160eq\r(3)≈227.1答：這棟高樓約高277.1m.3．如圖，在離樹BC12米的A處，用測角儀測得樹頂?shù)难鼋鞘?0°，測角儀AD高為1.5米，求樹高BC.(計(jì)算結(jié)果可保存根號)分析：此題是一個直角梯形的問題，可以通過過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，把求CB的問題轉(zhuǎn)化求BE的長，從而可以在△BDE中利用三角函數(shù)．解：過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，那么四邊形DECA是矩形，∴DE＝AC＝12米．CE＝AD＝1.5米．在直角△BED中，∠BDE＝30°，tan30°＝eq\f(BE,DE)，∴BE＝DE·tan30°＝4eq\r(3)米．∴BC＝BE＋CE＝(4eq\r(3)＋eq\f(3,2))米．4．廣場上有一個充滿氫氣的氣球P，被廣告條拽著懸在空中，甲乙二人分別站在E、F處，他們看氣球的仰角分別是30°、45°，E點(diǎn)與F點(diǎn)的高度差A(yù)B為1米，水平距離CD為5米，F(xiàn)D的高度為0.5米，請問此氣球有多高？(結(jié)果保存到0.1米)分析：由于氣球的高度為PA＋AB＋FD，而AB＝1米，F(xiàn)D＝0.5米，故可設(shè)PA＝h米，根據(jù)題意，列出關(guān)于h的方程可求解．解：設(shè)AP＝h米，∵∠PFB＝45°，∴BF＝PB＝(h＋1)米，∴EA＝BF＋CD＝h＋1＋5＝(h＋6)米，在Rt△PEA中，PA＝AE·tan30°，∴h＝(h＋6)tan30°，∴氣球的高度約為PA＋AB＋FD＝8.2＋1＋0.5＝9.7米．【教學(xué)說明】穩(wěn)固所學(xué)知識．要求學(xué)生學(xué)會把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題；根據(jù)題意思考題目中的每句話對應(yīng)圖中的哪個角或邊，此題什么，求什么．四、師生互動、課堂小結(jié)先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié)．教師作以補(bǔ)充．課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習(xí)題4.4〞中第2、4、5題．教學(xué)反思本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了有關(guān)仰角、俯角的解直角三角形的應(yīng)用題，對于這些問題，一方面要把它們轉(zhuǎn)化為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題，另一方面，針對轉(zhuǎn)化而來的數(shù)學(xué)問題應(yīng)選用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識加以解決．第2課時坡度和方位角問題教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】1．了解測量中坡度、坡角的概念；2．掌握坡度與坡角的關(guān)系，能利用解直角三角形的知識，解決與坡度、與弧長的有關(guān)實(shí)際問題．【過程與方法】通過對例題的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠利用所學(xué)知識解決實(shí)際問題．【情感態(tài)度】進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力．【教學(xué)重點(diǎn)】能利用解直角三角形的知識，解決與坡度、與弧長有關(guān)的實(shí)際問題．【教學(xué)難點(diǎn)】能利用解直角三角形的知識，解決與坡度、與弧長的有關(guān)實(shí)際問題．教學(xué)過程一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知如下圖，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一個傾斜程度比擬大？顯然，斜坡A1B1的傾斜程度比擬大，說明∠A1＞∠A.從圖形可以看出，eq\f(B1C1,A1C1)＞eq\f(BC,AC)，即tanA1＞tanA.【教學(xué)說明】通過實(shí)際問題的引入，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣．二、思考探究，獲取新知1．坡度的概念，坡度與坡角的關(guān)系．如上圖，這是一張水庫攔水壩的橫斷面的設(shè)計(jì)圖，坡面的鉛垂高度與水平前進(jìn)的距離的比叫作坡度(或坡比)，記作i，即i＝eq\f(AC,BC)，坡度通常用l∶m的形式，例如上圖中的1∶2的形式．坡面與水平面的夾角叫作坡角，記作α.從三角函數(shù)的概念可以知道，坡度與坡角的關(guān)系是i＝tanB，顯然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．2．如圖，一山坡的坡度為i＝1∶2，小剛從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了240米到達(dá)點(diǎn)C，這座山坡的坡角是多少度？小剛上升了多少米？(角度精確到0.01°，長度精確到0.1米)3．如圖，一艘船以40km/h的速度向正東航行，在A處測得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1h到達(dá)B處，這時測得燈塔C在北偏東30°方向上，在燈塔C的四周30km內(nèi)有暗礁．問這艘船繼續(xù)向東航行是否平安？【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的條件分別代表的是什么，將圖形中的信息轉(zhuǎn)化為圖形中的條件，再分析圖形求出問題．學(xué)生獨(dú)立完成．三、運(yùn)用新知，深化理解1．如圖，在山坡上種樹，要求株距(相鄰兩樹間的水平距離)是5.5m，測得斜坡的傾斜角是24°，求斜坡上相鄰兩樹的坡面距離是多少(精確到0.1m)．分析：引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題畫出圖形．解：：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5.5，∠A＝24°，求AB.在Rt△ABC中，cosA＝eq\f(AC,AB)，∴AB＝eq\f(AC,cosA)＝eq\f(5.5,0.9135)≈6.0(米)．答：斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離約是6.0米．2．同學(xué)們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個問題請你解決：如圖水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，壩底寬AD和斜坡AB的長(精確到0.1m)．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，eq\f(BE,AE)＝eq\f(1,3)，eq\f(CF,FD)＝eq\f(1,2.5)∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)．FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．因?yàn)樾逼翧B的坡度i＝tanα＝eq\f(1,3)≈0.3333，所以α≈18°26′.∵eq\f(BE,AB)＝sinα，∴AB＝eq\f(BE,sinα)＝eq\f(23,0.3162)≈72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α約為18°26′，壩底寬AD為132.5米，斜坡AB的長約為72.7米．3．龐亮和李強(qiáng)相約周六去登山，龐亮從北坡山腳C處出發(fā)，以24米/分鐘的速度攀登，同時，李強(qiáng)從南坡山腳B處出發(fā)．如圖，小山北坡的坡度i＝1∶eq\r(3)，山坡長為240米，南坡的坡角是45°.問李強(qiáng)以什么速度攀登才能和龐亮同時到達(dá)山頂A？(將山路AB、AC看成線段，結(jié)果保存根號)解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，在Rt△ADC中，由i＝1∶eq\r(3)得tanC＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠C＝30°.∴AD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×240＝120(米)．在Rt△ABD中，∠B＝45°，∴AB＝eq\r(2)AD＝120eq\r(2)(米)．120eq\r(2)÷(240÷24)＝120eq\r(2)÷10＝12eq\r(2)(米/分鐘)答：李強(qiáng)以12eq\r(2)米/分鐘的速度攀登才能和龐亮同時到達(dá)山頂A.4．某公園有一滑梯，橫截面如下圖，AB表示樓梯，BC表示平臺，CD表示滑道．假設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)均在線段AD上，四邊形BCEF是矩形，且sin∠BAF＝eq\f(2,3)，BF＝3米，BC＝1米，CD＝6米．求：(1)∠D的度數(shù)；(2)線段AE的長．解：(1)∵四邊形BCEF是矩形，∴∠BFE＝∠CEF＝90°，CE＝BF，BC＝FE，∴∠BFA＝∠CED＝90°，∵CE＝BF，BF＝3米，∴CE＝3米，∵CD＝6米，∠CED＝90°，∴∠D＝30°.(2)∵sin∠BAF＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BF,AB)＝eq\f(2,3)，∵BF＝3米，∴AB＝eq\f(9,2)米，∴AF＝eq\r(〔\f(9,2)〕2－32)＝eq\f(3\r(5),2)米，∴AE＝eq\f(3\r(5)＋2,2)米．5．日本福島發(fā)生核電站事故后，我國國家海洋局高度關(guān)注事態(tài)開展，緊急調(diào)集海上巡邏的海檢船，在相關(guān)海域進(jìn)行現(xiàn)場監(jiān)測與海水采樣，針對核泄漏在極端情況下對海洋環(huán)境的影響及時開展分析評估．如圖，上午9時，海檢船位于A處，觀測到某港口城市P位于海檢船的北偏西67.5°方向，海檢船以21海里/時的速度向正北方向行駛，下午2時海檢船到達(dá)B處，這時觀察到城市P位于海檢船的南偏西36.9°方向，求此時海檢船所在B處與城市P的距離．(參考數(shù)據(jù)：sin36.9°≈eq\f(3,5)，tan36.9°≈eq\f(3,4)，sin67.5°≈eq\f(12,13)，tan67.5°≈eq\f(12,5))分析：過點(diǎn)P作PC⊥AB，構(gòu)造直角三角形，設(shè)PC＝x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，從而求出x的值，再根據(jù)三角函數(shù)值求出BP的值即可解答．解：過點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，設(shè)PC＝x海里．在Rt△APC中，∵tanA＝eq\f(PC,AC)，∴AC＝eq\f(PC,tan67.5°)＝eq\f(5x,12)在Rt△PCB中，∵tanB＝eq\f(PC,BC)，∴BC＝eq\f(x,tan36.9°)＝eq\f(4x,3)∵從上午9時到下午2時要經(jīng)過五個小時，∴AC＋BC＝AB＝21×5，∴eq\f(5x,12)＋eq\f(4x,3)＝21×5，解得x＝60.∵sin∠B＝eq\f(PC,PB)，∴PB＝eq\f(PC,sinB)＝eq\f(60,sin36.9°)＝60×eq\f(5,3)＝100(海里)∴海檢船所在B處與城市P的距離為100海里．【教學(xué)說明】通過練習(xí)，穩(wěn)固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容．四、師生互動、課堂小結(jié)先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié)．教師作以補(bǔ)充．課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習(xí)題4.1〞中第1、6、7題．教學(xué)反思通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知識解決與坡度、坡角有關(guān)的實(shí)際問題，特別是與梯形有關(guān)的實(shí)際問題，懂得通過添加輔助線把梯形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決．[來源:學(xué)#科#網(wǎng)Z#X#X#K]復(fù)習(xí)與提升教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】1．了解銳角三角函數(shù)的概念，熟記30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函數(shù)值．2．能夠正確地使用計(jì)算器，由銳角的度數(shù)求出它的三角函數(shù)值，由三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角的度數(shù)．3．會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實(shí)際問題．【過程與方法】通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)，體會函數(shù)的變化與對應(yīng)的思想．【情感態(tài)度】通過解直角三角形的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用．【教學(xué)重點(diǎn)】會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實(shí)際問題．【教學(xué)難點(diǎn)】會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實(shí)際問題．教學(xué)過程一、知識結(jié)構(gòu)【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生回憶本章知識點(diǎn)，使學(xué)生系統(tǒng)地了解本章知識及它們之間的關(guān)系．二、釋疑解惑，加深理解1．正弦的概念：在直角三角形中，我們把銳角α的對邊與斜邊的比叫作角α的正弦．記作sinα，即：sinα＝eq\f(角α的對邊,斜邊).2．余弦的概念：在直角三角形中，我們把銳角α的鄰邊與斜邊的比叫作角α的余弦．記作cosα.即cosα＝eq\f(角α的鄰邊,斜邊).3．正切的概念：在直角三角形中，我們把銳角α的對邊與鄰邊的比叫作角α的正切．記作tanα，即：tanα＝eq\f(角α的對邊,角α的鄰邊)4．特殊角的三角函數(shù)值：三角函數(shù)αsinαcosαtanα30°eq\f(1,2)eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),3)45°eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2),2)160°eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)eq\r(3)5.三角函數(shù)的概念：我們把銳角α的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱為角α的銳角三角函數(shù)．6．解直角三角形的概念：在直角三角形中，利用元素求其余未知元素的過程，叫作解直角三角形．7．仰角、俯角的概念：當(dāng)我們進(jìn)行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫作仰角，在水平線下方的角叫作俯角．8．坡度的概念：坡面的鉛垂線高度與水平前進(jìn)的距離的比叫作坡度(或坡比)；記作i，坡度通常用l∶m的形式；坡面與水平面的夾角叫作坡角，記作α.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生回憶本章所學(xué)的有關(guān)概念，知識點(diǎn)．加深學(xué)生的印象．三、運(yùn)用新知，深化理解1．，如圖，D是△ABC中BC邊的中點(diǎn)，∠BAD＝90°，tanB＝eq\f(2,3)，求sin∠DAC.解：過D作DE∥AB交AC于E，那么∠ADE＝∠BAD＝90°，由tanB＝eq\f(2,3)，得eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，設(shè)AD＝2k，AB＝3k，∵D是△ABC中BC邊的中點(diǎn)，∴DE＝eq\f(3,2)k∴在Rt△ADE中，AE＝eq\f(5,2)k，∴sin∠DAC＝eq\f(DE,AE)＝eq\f(\f(3,2)k,\f(5,2)k)＝eq\f(3,5).2．計(jì)算：tan230°＋cos230°－sin245°tan45°解：原式＝(eq\f(\r(3),3))2＋(eq\f(\r(3),2))2－(eq\f(\r(2),2))2×1＝eq\f(1,3)＋eq\f(3,4)－eq\f(1,2)＝eq\f(7,12)3．如下圖，菱形ABCD的周長為20cm，DE⊥AB，垂足為E，sinA＝eq\f(3,5)，那么以下結(jié)論正確的個數(shù)為()①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面積為15cm2；④BD＝2eq\r(10)cm.A．1個B．2個C．3個D．4個分析：由菱形的周長為20cm知菱形邊長是5cm.在Rt△ADE中，∵AD＝5cm，sinA＝eq\f(3,5)，∴DE＝AD·sinA＝5×eq\f(3,5)＝3(cm)．∴AE＝eq\r(AD2－DE2)＝4(cm)．∴BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)．菱形的面積為AB·DE＝5×3＝15(cm2)．在Rt△DEB中，BD＝eq\r(DE2＋BE2)＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)(cm)．綜上所述①②③正確．【答案】C[來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K]4．如下圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，求此時輪船所在的B處與燈塔P的距離(結(jié)果保存根號)．[來源:學(xué)§科§網(wǎng)]分析：由題意知，在△ABP中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°聯(lián)想到兩個三角板拼成的三角形．因此很自然作PC⊥AB交AB于C.解：過點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，那么∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80，在Rt△APC中，cos∠APC＝eq\f(PC,PA).∴PC＝PA·cos∠APC＝40eq\r(3)，在Rt△PCB中，cos∠BPC＝eq\f(PC,PB)，∴PB＝eq\f(PC,cos∠BPC)＝eq\f(40\r(3),cos45°)＝40eq\r(6)∴當(dāng)輪船位于燈塔P南偏東45°方向時，輪船與燈塔P的距離是40eq\r(6)海里．【教學(xué)說明】通過上面的解題分析，再對整個學(xué)習(xí)過程進(jìn)行總結(jié)，能夠促進(jìn)理解，提高認(rèn)知水平，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的形成和開展．四、復(fù)習(xí)訓(xùn)練，穩(wěn)固提高1．如圖，△ABC是等邊三角形，P是∠ABC的平分線BD上一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，線段BP的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)Q.假設(shè)BF＝2，那么PE的長為()A．2B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．3分析：∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P是∠ABC的平分線上一點(diǎn)，∴∠EBP＝∠QBF＝30°，∵BF＝2，F(xiàn)Q⊥BP，∴BQ＝BF·cos30°＝eq\f(2×\r(3),2)＝eq\r(3).∵FQ是BP的垂直平分線，∴BP＝2BQ＝2eq\r(3).在Rt△BEP中，∵∠EBP＝30°，∴PE＝eq\f(1,2)BP＝eq\r(3).【答案】C2．如圖，為了測量某山