高考數學專題復習講練測-專題直線與次曲線專題復習講練參數討論

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參數討論一、復習要點1

本節(jié)的主要內容是與解析幾何有關的參數討論問題中包括兩個方面①由已知含參數的方程討論方程所表示曲線的類型及幾何性質②由曲線的幾何性質確定曲線方程中參數的取值范圍這個方面的問題是本節(jié)的重點，其中參數討論中分類標準的確定及求參數范圍中構建參數所滿足的不等式是難點．2

與解析幾何有關的參數討論問題所涉及的知識范圍廣、變量多綜性強解答這類題對同學們的能力要求較高，故這類問題在高考試題中頻繁出現，成為高考命題熱點之一．3

在本節(jié)的復習中，應重點掌握解決以下兩方面問題的方法和能力：（1由給定含參數的方程討論方程表示何種曲線，實質就是對參數進行分類討論．對某參數m進行分類討論，應注意按如下步驟進行：①確定ｍ的全體集P②根據題設條件及曲線的方程的特點確定分類的標準（即分界點）；③把集P按分類標準劃分為若干個真子集ｉ＝12…n，且使其同時滿足Ｐ∪Ｐ∪Ｐ∪…∪Ｐ＝Ｐ，Ｐ∩Ｐ＝（ｉ≠ｊ，1≤ｉ，ｊ≤ｎ）；④按Ｐ逐一討論求解．（2對于求曲線方程中參數的取值范圍問題，應根據題設條件及曲線的幾何性質（曲線的范圍、對稱性、位置關系等）構造參數滿足的不等式，通過求解不等式（組）求得參數的取值范圍；或建立關于參數的目標函數，轉化為求函數的值域求解．二、例題講解例1

當ｍ變化時，討論方程ｍｘ＋（2ｍ）ｙ

＝表示的曲線形，并畫出簡圖．講解：據題意，ｍ∈Ｒ，對全集R怎樣類，分類的標準是什么，必須從方程入手．已知方程是不含xy項二元二次方程，這樣的二元二次方程一般情況下表示的是圓錐曲線，又注意到方程中不含一次項ｘ、ｙ，故方程表示的曲線不會是拋物線．先考慮特殊情況：若ｍ＝或ｍ＝2時，方程表示兩條直線；當ｍ＝1，方程表示圓；當ｍ且ｍ≠1，ｍ時，、項系數可能同號，也可能異號，故又需按ｍ（2ｍ）＞0及ｍ（ｍ）＜類，至此分類的標準已基本確定．將各分界點標在數軸上，如圖8-14按從左到右依次討論．圖8-14（1當ｍ＜0時，方程表示焦點在ｙ軸上的雙曲線ｙ

／（1／（ｍ））－（ｘ

／－ｍ）＝（2當ｍ＝0時，方程表示兩條平行于x軸的直線?ｙ＝±（

／2；（3當0＜ｍ＜，方程表示焦點在x軸上的橢圓（ｘ

／（1ｍ））＋（ｙ

／／（2ｍ））＝1（4當ｍ＝1時，方程表示圓ｘ

＋ｙ

＝1（5當1＜ｍ＜，方程表示焦點在ｙ軸上的橢圓（ｙ＝1

／1（2ｍ））＋（ｘ（1ｍ））（6當ｍ＝2時，方程表示兩條平行于ｙ軸的直線ｘ＝±（

／2）；（7當ｍ＞，方程表示焦點在x軸上的雙曲線（／（1／ｍ））－（／1（ｍ2）＝1其簡圖如圖8-15．1/6

ｍ＜0ｍ＝00＜1ｍ＝11ｍ＜2ｍ＝2ｍ＞2圖8-15例2

已知橢圓C的方程為（ｘ

／4＋（

／1，試確定ｍ取值范圍，使得對于直線ｙ4ｘ＋ｍ，橢圓C上有不同的兩個點關該直線對稱．講解思路若設所求ｍ的取值范圍是則由題意可知ｍ∈Ｍ等價于直線ｌ′ｙ＝（ｘ／＋ｂ，使得直線ｌ′與橢圓兩個不同的交點P、Q且、Q于直線ｙ＝4ｘ＋ｍ對稱．故可根據直線ｌ′與橢圓C有兩個不同的交點確ｂ的范圍，再根據P、于直線ｙ＝＋ｍ對稱及P、Q在橢圓上的條件求得ｂ與ｍ的關系，ｂ＝ｆ（ｍ），進而由ｂ的范圍確定ｍ的范圍．設P（ｘ，ｙ）Ｑ（ｘｙ）是橢圓C上于直線ｌ：ｙ＝＋ｍ對稱的兩點，如圖，則過PQ的直線ｌ′的方程為ｙ＝－（1／ｘ＋ｂ，將ｌ′的方程代入C，整理得圖8-1613ｘ

－ｘ＋16ｂ－＝0∵ｌ′與C有個交點，∴

Δ＞0由Δ＞0解得－（／2＜ｂ＜（／2．①又∵ＰＱ的中點M在直線ｌ＝4＋ｍ上及ｘ＋ｘ（8／13ｂｙ＋＝（1／

＋ｘ）＋2＝（／13）ｂ，從而有（12（（24／13ｂ）＝4·1／）·（13）ｂ＋ｍ解得ｍ＝－（413），即ｂ＝－（4ｍ，代入①，解得－（2／13＜ｍ＜（2／13．思路3．因橢C存在不同的兩點關于直線ｌ：ｙ＝ｘ＋ｍ對稱，則兩對點PQ連線的斜率為－（／4），且中點在ｌ上，也必在橢圓C斜率為－1／的平行弦的中點的軌跡曲線上，故問題可轉化為求曲線C的斜率為14平行弦中點的軌跡與直線ｌ的交點在橢圓的內部時參數ｍ的取2/6

值范圍，這可由點在橢圓內的條件求之．設M（ｘ，ｙ）是橢圓的斜率為－（1／4）的平行弦中點軌跡上任一點，∵Ｐ（ｘ，ｙ）、Ｑ（ｘ，）都在橢圓（ｘ

／4＋（ｙ

／3）＝，即ｘ

＋4ｙ

＝12∴3＋

＝，①3＋＝12．②①－②，得3ｘ＋ｘ）（ｘ－＋4（＋ｙ）（ｙ－ｙ）＝0，即（ｙ－ｙ）／（ｘ－ｘ）＝（－4（ｘｘ／（ｙ＋ｙ）．又∵ｘ＋ｘ＝2，ｙ＋ｙ＝2，（ｙ－ｙ）／（ｘ－ｘ）ｋｌ′＝－（14，∴－（14＝（－／（ｘ／ｙ），即3－ｙ＝0故橢圓的斜率為－（1／4的平行弦的中點的軌跡是直線－ｙ＝0在橢圓C內的部分．3－ｙ＝0ｙ＝4＋ｍ，解得其交點坐標是（－ｍ，－3ｍ）．∵

交點（－ｍ，－3ｍ）在橢圓（ｘ

／4＋（ｙ

／3）＝，∴（（－ｍ）

／4＋（（－）

／3＜解得－（2／＜ｍ＜（／13）．思路3．同思路2，得PQ中點

M－ｍ，－3ｍ，由此可得直PQ的方程為ｙ＋＝－1／4（ｘ＋ｍ）．∵ＰＱ與橢圓有兩個不同的交點，故將方程代入橢方程消去ｙ，得到關于x的一元二次方程，由Δ＞解得－（過程）

／13）＜ｍ＜（／13．（請同學們自己寫出解題思路1中巧設中間參數ｂ先確定出ｂ的范圍再求出ｂ與ｍ的關系進而確定ｍ的范圍由不等關系，到相等關系，再到不等關系，這種引參、消參、不等與相等關系的相互轉化，是解答與解析幾何有關的求參數取值范圍的基本方法，同學們在解題后應很好的進行反思，從中體會這種思想方法．思路2中，利用平行弦中點的軌跡與直線ｌ的交點在橢圓內的條件確定參數的范圍，思路靈活，解法新穎，別具一格．思路3利直線PQ與圓有兩個不同交點建立參數ｍ的不等式，直接求得了ｍ的取值范圍．例3

已知雙曲線的方程為ｘ

－（ｙ

／2＝1.（1過點A（0，1作斜率為k（k≠0）的直線雙曲線于點P、Ｐ，使線段PＰ的中點在線ｘ＝（12上，求k的值；（2若過點B（1，能作斜率為k≠0）的直線m交雙曲線于點Q、，使線段Q的中點在直線x=12上，求b的取值范圍．講解（1考慮由PP的中點在直線（）上構造關k的方程，并l雙曲線相交于兩點的條件確定k的．設l:y-1=kx,由

y-1=kx，ｘ－（ｙ／2＝，

得（2-k）x-2kx-3=0.題意，有3/6

2-k≠0，Δ=4k-4（2-k）（-3）＞0

解得-＜k，且≠±．∵PP的中點在x=（12）上，∴（x+x／）（-k／-2）（2）．解得k=-，又-＜k，且k≠±，∴k=-1+．（2可先由直線m與雙曲線交于兩點條件得關于k、的不等式，再由QQ的中點在直線（1／2上，尋求k與b的關系，進而確b范圍．設直線m的程為（x-1入xy／2=1（x（k-bx+2bk-b-k-2=0.據題意

2-k≠0，Δ＞0

得b-2bk+2＞0①且k≠±．又QQ的中點在直線x=（2上，∴[ｋ（ｋ－ｂ）／（ｋ－＝（1／2），即b=（k+2）／2k.②將②代入①，得3k-4k-4＜0,解得

＜k

且k≠0.以下求b范圍，有兩種方法：（i可證函數b=fk）=k+2／2k）（2）+（1／在-

，）及0，）單調遞減（略），由此得b∈（－∞，－

）∪（，＋∞）；（ii）0＜＜

時，b=（2）（1／≥

,且僅當（2）（1／）即

時等號成立，但k≠

,∴b∈（

，＋∞）;當-

＜ｋ＜0-k／）≤－

，當且僅當k=-

時等號成立k≠-，∴b∈（－∞，－

）．綜上知b∈（－∞，－

）∪（，＋∞）．本題（2的解中，先由直線與雙曲線有兩個交點的幾何性質得到k不等關系①，再由QQ的中點在直線x=12的幾何性質得函數關系式②，將問題轉化為求函數b=f（k的值域（要特別注意定義域的確定）．這里既蘊含著方程思想，又蘊含著函數思想．三、專題訓練1

若方程ｙ－ｘｌｇａ13ａ表示焦點在ｘ軸上的橢圓實數取值范圍Ａ．0ａ＜（13Ｂ．ａ＞（134/6

Ｃ．0ａ＜（110Ｄ．（110）＜ａ（132如果直線l將曲線ｘ＋2ｙ的取值范圍是（）．Ａ．［0（12）Ｂ．［0（12］Ｃ．［01Ｄ．［02

-2x-8y=0分成長度相等的兩段，且l過第四象限，那么l的斜率3

對于雙曲線（ｘ／16－（／91與（

／16）－（／）＝（λ＞0，且λ≠1），有下列結論：①有相同的頂點；②有相同的焦點；③有相同的離心率；④有相同的漸近線；⑤有相同的準線．其中正確的是（）．Ａ．①④Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．④⑤4

若曲線（ｘ／25）（ｙ

／9＝曲線ｘ

／（ｋ）＋ｙ

／（ｋ）＝1有相等的焦距，則ｋ的取值范圍是（）．Ａ．ｋ＜25且≠9Ｂ．9ｋ＜25Ｃ．ｋ＜25Ｄ．ｋ＞255

若方程（－ｋ）＋（｜ｋ｜－ｙ＝5－ｋ）（ｋ｜2表示雙曲線，則實數ｋ的取值范圍是____________6若方程間表示）

=k（x-2+3有兩個不同實數解，則實k的取值范圍是___________（用區(qū)7

已知拋物線ｙ＝ｘ

＋ｍｘ＋以A01B23）為端點的線段（包含端點）有兩個不同的交點，則實數ｍ的取值范圍是____________．8

圓錐曲線Ｃ的一個焦點是Ｆ（2），相應的準線方程是ｙ＝－94，離心率ｅ滿足條件：23，ｅ，43成等比數列．問：是否存在一條直線ｌ，使ｌ與曲線Ｃ相交于不同的點Ｍ、Ｎ，且線段ＭＮ恰好被直線ｘ＝－（12）平分存在，求出直線ｌ的傾斜角的取值范圍；若不存在，說明理由．9如圖8-17所示，已知直線ｌ：ｙ