《志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)》2023屆高考數(shù)學(xué)人教A版理科一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案：第二章函數(shù)2．3函數(shù)的奇偶性與周期性

第頁2.3函數(shù)的奇偶性與周期性eq\a\vs4\al(考綱要求)1．結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義．2．會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性．3．了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性．1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有________，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于____對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有________，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于______對(duì)稱2．周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝______，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中____________的正數(shù)，那么這個(gè)____正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．3．對(duì)稱性假設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，那么函數(shù)f(x)關(guān)于直線__________對(duì)稱1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)－x的圖象關(guān)于()．A．y軸對(duì)稱 B．直線y＝－x對(duì)稱C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線y＝x對(duì)稱2．假設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,2x＋1x－a)為奇函數(shù)，那么a＝()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3) C.eq\f(3,4) D．13．函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3為偶函數(shù)，那么f(x)在區(qū)間(－5，－3)上()．A．先減后增 B．先增后減 C．單調(diào)遞減 D．單調(diào)遞增4．假設(shè)f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)＝1，f(2)＝2，那么f(3)－f(4)＝()．A．－1 B．1 C．－2 D5．假設(shè)偶函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)，f(x)在區(qū)間[－6，－4]上是減函數(shù)，那么f(x)在[0,2]上的單調(diào)性是__________．一、函數(shù)奇偶性的判定【例1】判斷以下函數(shù)的奇偶性．(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；(2)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(3)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3).方法提煉判定函數(shù)奇偶性的常用方法及思路：1．定義法2．圖象法3．性質(zhì)法：(1)“奇＋奇〞是奇，“奇－奇〞是奇，“奇·奇〞是偶，“奇÷奇〞是偶；(2)“偶＋偶〞是偶，“偶－偶〞是偶，“偶·偶〞是偶，“偶÷偶〞是偶；(3)“奇·偶〞是奇，“奇÷偶〞是奇．提醒：(1)分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內(nèi)x取值的任意性，應(yīng)分段討論，討論時(shí)可依據(jù)x的范圍取相應(yīng)地化簡(jiǎn)解析式，判斷f(x)與f(－x)的關(guān)系，得出結(jié)論，也可以利用圖象作判斷．(2)“性質(zhì)法〞中的結(jié)論是在兩個(gè)函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的．(3)性質(zhì)法在選擇題和填空題中可直接運(yùn)用，但在解答題中應(yīng)給出性質(zhì)推導(dǎo)的過程．請(qǐng)做演練穩(wěn)固提升1二、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【例2－1】設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝x3－8(x≥0)，那么{x|f(x－2)＞0}＝()．A．{x|x＜－2，或x＞0} B．{x|x＜0，或x＞4}C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}【例2－2】設(shè)a，b∈R，且a≠2，假設(shè)定義在區(qū)間(－b，b)內(nèi)的函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1＋ax,1＋2x)是奇函數(shù)，那么a＋b的取值范圍為__________．【例2－3】設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函數(shù)．(1)求b，c的值；(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．方法提煉函數(shù)奇偶性的應(yīng)用：1．函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，往往要抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性產(chǎn)生關(guān)于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式．2．帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性求參數(shù)，常常采用待定系數(shù)法：利用f(x)±f(－x)＝0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性可得知字母的值．3．奇偶性與單調(diào)性綜合時(shí)要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反．4．假設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且在x＝0處有定義，那么f(0)＝0.這一結(jié)論在解決問題中十分便捷，但假設(shè)f(x)是偶函數(shù)且在x＝0處有定義，就不一定有f(0)＝0，如f(x)＝x2＋1是偶函數(shù)，而f(0)＝1.請(qǐng)做演練穩(wěn)固提升3,4三、函數(shù)的周期性及其應(yīng)用【例3－1】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，且f(1)＝3，那么f(2014)＝__________.【例3－2】函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝eq\f(1＋fx,1－fx)，假設(shè)f(1)＝2014，那么f(103)＝__________.方法提煉抽象函數(shù)的周期需要根據(jù)給出的函數(shù)式子求出，常見的有以下幾種情形：(1)假設(shè)函數(shù)滿足f(x＋T)＝f(x)，由函數(shù)周期性的定義可知T是函數(shù)的一個(gè)周期；(2)假設(shè)滿足f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a(3)假設(shè)滿足f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，那么f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝eq\f(1,fx＋a)＝f(x)，所以2a是函數(shù)的一個(gè)周期；(4)假設(shè)函數(shù)滿足f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，同理可得2a是函數(shù)的一個(gè)周期；(5)如果T是函數(shù)y＝f(x)的周期，那么①kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；②假設(shè)區(qū)間[m，n](m＜n)的圖象，那么可畫出區(qū)間[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的圖象．請(qǐng)做演練穩(wěn)固提升5沒有等價(jià)變形而致誤【典例】函數(shù)f(x)的定義域D＝{x|x≠0}，且滿足對(duì)于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性，并證明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍．錯(cuò)解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)為偶函數(shù)，證明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)為偶函數(shù)．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，得f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴(3x＋1)(2x－6)≤64.∴－eq\f(7,3)≤x≤5.分析：(1)從f(1)聯(lián)想自變量的值為1，進(jìn)而想到賦值x1＝x2＝1.(2)判斷f(x)的奇偶性，就是研究f(x)，f(－x)的關(guān)系，從而想到賦值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出現(xiàn)f(M)＜f(N)的形式，再結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為M＜N或M＞N的形式求解．正解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)為偶函數(shù)，證明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)為偶函數(shù)．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，變形為f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*)∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式(*)等價(jià)于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.解得－eq\f(7,3)≤x＜－eq\f(1,3)或－eq\f(1,3)＜x＜3或3＜x≤5.∴x的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)≤x<－\f(1,3)，或－\f(1,3)<x<3，或3<x≤5)))).答題指導(dǎo)：等價(jià)轉(zhuǎn)化要做到標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)要有明確的語言表示．如“M〞等價(jià)于“N〞、“M〞變形為“N〞．(2)要寫明轉(zhuǎn)化的條件．如本例中：∵f(x)為偶函數(shù)，∴不等式(*)等價(jià)于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．(3)轉(zhuǎn)化的結(jié)果要等價(jià)．如本例：由于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.假設(shè)漏掉(3x＋1)(2x－6)≠0，那么這個(gè)轉(zhuǎn)化就不等價(jià)了．1．以下函數(shù)中既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)的是()．A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋eq\r(x2＋1))C．y＝2x＋2－x D．y＝lgeq\f(1,x＋1)2．函數(shù)f(x)對(duì)一切x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，那么f(x)為()．A．偶函數(shù) B．奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)3．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足：f(x)是偶函數(shù)，f(x－1)是奇函數(shù)，假設(shè)f(0.5)＝9，那么f(8.5)等于()．A．－9 B．9 C．－3 D．4．設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，那么不等式f(x－2)＞0的解集為()．A．{x|x＜－2，或x＞4} B．{x|x＜0，或x＞4}C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}5．定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，f(－1)＝1，那么f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＋f(2012)＋f(2013)＝__________.

參考答案根底梳理自測(cè)知識(shí)梳理1．f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點(diǎn)2．(1)f(x)(2)存在一個(gè)最小最小3．x＝a根底自測(cè)1．C解析：判斷f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，應(yīng)選C.2．A解析：∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)，即：eq\f(x,(2x＋1)(x－a))＝eq\f(x,(－2x＋1)(－x－a))恒成立，整理得：a＝eq\f(1,2).應(yīng)選A.3．D解析：當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝2x＋3不是偶函數(shù)，當(dāng)m≠1時(shí)，f(x)為二次函數(shù)，要使其為偶函數(shù)，那么其對(duì)稱軸應(yīng)為y軸，故需m＝0，此時(shí)f(x)＝－x2＋3，其圖象的開口向下，所以函數(shù)f(x)在(－5，－3)上單調(diào)遞增．4．A解析：∵f(3)＝f(5－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(5－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－1，應(yīng)選A.5．單調(diào)遞增解析：∵T＝4，且在[－6，－4]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在[－2,0]上也單調(diào)遞減．又f(x)為偶函數(shù)，故f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，由對(duì)稱性知f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增．考點(diǎn)探究突破【例1】解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x＝－eq\r(3)或x＝eq\r(3).∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－eq\r(3)，eq\r(3)}．∵對(duì)任意的x∈{－eq\r(3)，eq\r(3)}，－x∈{－eq\r(3)，eq\r(3)}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．(2)要使f(x)有意義，那么eq\f(1－x,1＋x)≥0，解得－1＜x≤1，顯然f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(3)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,|x＋3|≠3，))∴－2≤x≤2且x≠0.∴函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又f(x)＝eq\f(\r(4－x2),x＋3－3)＝eq\f(\r(4－x2),x)，f(－x)＝eq\f(\r(4－(－x)2),－x)＝－eq\f(\r(4－x2),x)，∴f(－x)＝－f(x)，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．【例2－1】B解析：當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x3－8.又f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)＝－x3－8.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3－8，x≥0，,－x3－8，x<0.))∴f(x－2)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x－2)3－8，x≥2，,－(x－2)3－8，x<2.))由f(x－2)＞0得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,(x－2)3－8>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2，,－(x－2)3－8>0.))解得x＞4或x＜0，應(yīng)選B.【例2－2】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(3,2)))解析：∵f(x)在(－b，b)上是奇函數(shù)，∴f(－x)＝lgeq\f(1－ax,1－2x)＝－f(x)＝－lgeq\f(1＋ax,1＋2x)＝lgeq\f(1＋2x,1＋ax)，∴eq\f(1＋2x,1＋ax)＝eq\f(1－ax,1－2x)對(duì)x∈(－b，b)成立，可得a＝－2(a＝2舍去)．∴f(x)＝lgeq\f(1－2x,1＋2x).由eq\f(1－2x,1＋2x)＞0，得－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(1,2).又f(x)定義區(qū)間為(－b，b)，∴0＜b≤eq\f(1,2)，－2＜a＋b≤－eq\f(3,2).【例2－3】解：(1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.∵g(x)是一個(gè)奇函數(shù)，∴g(0)＝0，得c＝0，由奇函數(shù)定義g(－x)＝－g(x)得b＝3.(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，從而g′(x)＝3x2－6，由此可知，(－∞，－eq\r(2))和(eq\r(2)，＋∞)是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(－eq\r(2)，eq\r(2))是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．g(x)在x＝－eq\r(2)時(shí)，取得極大值，極大值為4eq\r(2)；g(x)在x＝eq\r(2)時(shí)，取得極小值，極小值為－4eq\r(2).【例3－1】3解析：∵f(x)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，∴f(x＋3)＝feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＋\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)．∴f(x)是以3為周期的周期函數(shù)．那么f(2014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝3.【例3－2】－eq\f(1,2014)解析：∵f(x＋1)＝eq\f(1＋f(x),1－f(x))，∴f(x＋2)＝eq\f(1＋f(x＋1),1－f(x＋1))＝eq\f(1＋\f(1＋f(x),1－f(x)),1－\f(1＋f(x),1－f(x)))＝－eq\f(1,f(x)).∴f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為4.∵f(1)＝2014，∴