數(shù)學(xué)競賽（提升篇）·函數(shù)·函數(shù)的性質(zhì)課

中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（提升篇）函數(shù)——函數(shù)的性質(zhì)桐城市第八中學(xué)數(shù)學(xué)競賽組原創(chuàng)旺仔數(shù)學(xué)修訂江淮名師高考工作室出品2019.8函數(shù)的基本性質(zhì)1，

函數(shù)的奇偶性（1）

函數(shù)的奇偶性的定義。（2）

函數(shù)的奇偶性的判斷與證明。（3）

奇、偶函數(shù)圖象的特征。例1．已知

（a、b為實(shí)數(shù)）且

，則

的值是（）（1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）（A）-5

（B）-3

（C）3（D）隨a、b取不同值而取不同值奇函數(shù)解：

是奇函數(shù)的和，為奇函數(shù)，從而

即

，

選（C）。2，

函數(shù)的單調(diào)性（1）

函數(shù)的單調(diào)性的定義。（2）

函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（3）

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

例2

如果不等式x2－＜0

在區(qū)間上恒成立，那么實(shí)數(shù)a

的取值范圍是___________．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想【講解】設(shè)y＝x2①

y＝②當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)②在上取負(fù)值，因此不可能有x2＜成立．在上函數(shù)①的最大值是，在上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，②的最小值是，在上，x2＜恒成立當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由，得∴例3、解不等式

的一切實(shí)數(shù)m都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.例4設(shè)關(guān)于x的一元二次不等式

對滿足

析解：為單調(diào)函數(shù)解得

3.函數(shù)的周期性

(1)定義:設(shè)函數(shù)的定義域是D，若存在非零常數(shù)T，使得對任何x∈D，都有x+T

∈D且f(x+T)=f(x)，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，T為f(x)的一個(gè)周期。

定理:設(shè)函數(shù)的定義域是D，a,b為不相等的常數(shù)，若對任何x∈D，都有x+a∈D,x+b∈D,且f(x+a)=f(x+b)，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，a-b為f(x)的一個(gè)周期。

(2)最小正周期:(3)定理:若T是函數(shù)f(X)的一個(gè)周期,則nT也是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.(n為非零整數(shù).)4.函數(shù)圖象的對稱性一·中心對稱：(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；一般地，如果方程f(x,y)=0滿足f(x,y)=f(-x,-y)，則曲線f(x,y)=0關(guān)于原點(diǎn)對稱（2）函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（a,b）對稱的充要條件為：對函數(shù)定義域中的任意x均滿足2b-y=f(2a-x)

(3)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱的充要條件為:f(x)=-f(2a-x)f(a+x)=-f(a-x)(4)設(shè)函數(shù)f(x)對其定義域中的任意值x均滿足f(a+x)=-f(b-x),則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)((a+b)/2,0)成中心對稱.二·軸對稱：

（1）偶函數(shù)的圖象關(guān)于Y軸對稱；

一般地，如果方程f(x,y)=0滿足f(x,y)=f(-x,y)，則曲線f(x,y)=0關(guān)于Y軸對稱

（2）設(shè)a是非零常數(shù)，如果對函數(shù)定義域中的任意值x均滿足f(x)=f(2a-x)

f(a+x)=f(a-x)則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱。（３）設(shè)函數(shù)f(x)對其定義域中的任意值x均滿足f(a+x)=f(b-x),則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝（a+b)/2對稱.一般地，如果方程f(x,y)=0滿足

f(x,y)=f(2a-x,y)，

則曲線f(x,y)=0關(guān)于直線x=a對稱

函數(shù)圖象的對稱性與函數(shù)的周期性有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，我們有下面的結(jié)論：命題1：如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=a和直線x=b(a≠b)對稱，那么函數(shù)是以2(a-b)為周期的周期函數(shù)。命題2：如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x=b(a≠b)對稱，那么函數(shù)是周期函數(shù)，4(a-b)為函數(shù)的一個(gè)周期。命題：如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,m)和直線x=b對稱，那么函數(shù)是周期函數(shù)，4(a-b)為函數(shù)的一個(gè)周期。命題3：如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對稱，那么函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，2(a-b)為函數(shù)的一個(gè)周期。(a>b)命題：如果函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)(a,b)和(c,d)對稱，那么：當(dāng)a≠

c，b=d時(shí)，f(x)是周期函數(shù)，2(a-c)為函數(shù)的一個(gè)周期。當(dāng)a≠c，b≠d時(shí)，f(x)不是周期函數(shù)。

例5已知函數(shù)f(x)，對任意實(shí)數(shù)x，有下面四個(gè)關(guān)系式成立：（1）f(x)=－f(x+a)（a為非零常數(shù)）；（2）f(x)=f(a－x)（a為非零常數(shù)）；（3）f(a－x)=f(b－x)（a,b為常數(shù)且a2+b2≠0）

（4）f(a－x)=－f(b－x)(a,b為常數(shù)且a2+b2≠0）其中使f(x)是周期函數(shù)的關(guān)系式是_______．

【解】考查（1），f(x)=－f(x+a)說明“兩個(gè)自變量相差a，則函數(shù)值互為相反數(shù)”，于是相差2a時(shí)，函數(shù)值相等：

f(x)=－f(x+a)=f(x+2a)∴等式（1）使f(x)是周期函數(shù)，且2a是周期；

考查（2），f(x)=f(a－x)表明函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線對稱，這不一定能使其為周期函數(shù)；考查（3），f(a－x)=f(b－x)表明自變量相差a－b時(shí)，函數(shù)值相等，即f(x)=f(a－b+x)∴等式（3）使f(x)是周期函數(shù)，且a－b是周期．

考查（4），f(a－x)=－f(b－x)表明自變量相差a－b時(shí)，函數(shù)值互為相反數(shù)，于是相差2（a－b）時(shí)，函數(shù)值相等．故（4）同（1），能使f(x)為周期函數(shù)，且2（a－b）是周期．綜上所述，應(yīng)填（1），（3），（4）．例6設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x＋3)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤

時(shí)，f(x)＝x，則f(2003)＝()

A.－1 B.0 C.1 D.2003

解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)

∴f(x)的周期為6

f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1

選AA小結(jié):關(guān)于函數(shù)關(guān)系式f(a+x)=f(bx)所表示的函數(shù)性質(zhì),我們用下面的歌謠來幫助記憶:(f可念虎,X可念司)f,x同號(hào)呈周期,周期恰是a,b差;f同x異軸對稱,f異x異有中心.方程坐標(biāo)和折半,符號(hào)一定要小心.雙重對稱周期現(xiàn);2倍4倍要分清.f(a+x)=±f(b±x)高考題例

例7.

已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的減

函數(shù)，則a的取值范圍是（

）

(A)(0,1)

(B)(1,2)

(C)(0,2)

(D)

[2,+∞)B2-ax>0恒成立例8、設(shè)0<a<1，

（1）求f(x);

（2）求證f(x)是奇函數(shù)；（3）求證f(x)在R上的增函數(shù)；解：（1）設(shè)t=logax(t∈R)則x=at(x>0)

于是

因此

（2）

∴f(x)為奇函數(shù)

（3）設(shè)—∞<x1<x2<+∞則

∵0<a<1；x1<x2-x1>-x2∴

又∵a2-1<0,a>0

∴f(x2)-f(x1)>0即f(x2)>f(x1)

因此f(x)在R上為增函數(shù)

例9、定義在R的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)；偶函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,+∞)的圖象與f(x)的圖象重合。設(shè)a>b>0，給出下列不等式：①

f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)

②

f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)

③

f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)

④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中成立的是（

）(A)①④

(B)②③

(C)①③

(D)②④由函數(shù)的奇偶性可知：f(-a)=-f(a)、f(-b)=-f(b)g(-a)=g(a)、g(-b)=g(b)而f(a)=g(a)、f(b)=g(b)故選Cg(x)f(x)例10設(shè)函數(shù)f(x),對任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，若x>0時(shí)，f(x)<0且f(1)=－2.

（1）證明：f(x)是奇函數(shù)；

（2）求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值.

（3）當(dāng)t>2時(shí)，

不等式

恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【思路分析】因?yàn)閤∈R，由區(qū)間的特殊點(diǎn)，即x=0入手，是解題的出發(fā)點(diǎn).【略解】（1）令x=y=0,則有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.再令y=－x，得f(0)=f(x)+f(－x),∵f(0)=0,∴f(－x)=－f(x),∴f(x)是奇函數(shù).（2）設(shè)x1,x2∈R，且x1<x2,則

f(x2)=f[x1+(x2－x1)]=f(x1)+f(x2－x1),∵x2>x1,∴x2－x1>0.由已知得f(x2－x1)<0,∴f(x2)<f(x1).故f(x)在R上是減函數(shù).∴f(x)在[－3，3]上的最大值[f(x)]最大值=f(－3),最小值[f(x)]最小值=f(3).又∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=－6,f(－3)=－f(3)=6.故f(x)在[－3，3]上的最大值為6，最小值為－6.（3）∵f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù).又f(x)是奇函數(shù).由得即,恒成立∴(k+1)2－8<0,∴－2<k+1<2,∴－1－2<k<－1+2.故使不等式恒成立的實(shí)數(shù)k的范圍是（－1－2，2－1）.競賽試題例11．（第九屆希望杯）f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，方程f(x)=0的解集為M，且M中有有限個(gè)元素，則M（

）(A)可能是

Φ

(B)元素的個(gè)數(shù)是偶數(shù)(C)元素的個(gè)數(shù)是奇數(shù)

(D)元素的個(gè)數(shù)可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)5.（第十屆希望杯）已知f(x)=2x-2-x-2，f(a)=0，則f(-a)的值為（

）(A)

-a-4

(B)-2

(C)-4

(D)-2aCC例12．（92全國聯(lián)賽）設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系：

f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x)。

則f(x)是（

）

(A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù)

(B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

(D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)C故f(-x)=f(40-x)=f[20+(20-x)]=-f[20-(20-x)]=-f(x)由f(10+x)=f(10-x),f(x)有對稱軸x=10由f(20-x)=-f(20+x),f(x)有對稱中心(20,0)故函數(shù)的周期為4(20-10).例13.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镹，且對任意正整數(shù)x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)

若f(0)＝2004，求f(2004)

解：因?yàn)閒(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)

所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)

兩式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)

即：f(x＋3)＝－f(x)

∴f(x＋6)＝f(x)

f(x)是以6為周期的周期函數(shù)

2004＝6×334

∴f(2004)＝f(0)＝2004例14.定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對一切實(shí)數(shù)x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0僅有101個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么所有實(shí)數(shù)根的和為()

A.150 B. C.152D.

解：由已知，函數(shù)f(x)的圖象有對稱軸x＝

于是這101個(gè)根的分布也關(guān)于該對稱軸對稱.

即有一個(gè)根就是3/2，其余100個(gè)根可分為50對，每一對的兩根關(guān)于x＝3/2對稱

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，這100個(gè)根的和等于

×100＝150

B例15．設(shè)

略解：由其對稱性，f(x)+f(1-x）=1采用倒序相加法可知原式=500例16．(山東)已知

，則

的值等于

．故原式=（4×1+233）+（4×2+233）+…+(4×8+233)=2008例17.已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0，求4x＋y的值.

所以