2021-2022學(xué)年吉林省乾安縣高二年級上冊學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年吉林省乾安縣高二上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)，則z的虛部為（

）A．4 B． C． D．【答案】A【解析】化簡復(fù)數(shù)，從而可得虛部.【詳解】復(fù)數(shù)，則z的虛部為4.故選：A.2．已知空間向量，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的坐標表示求參數(shù)n，再利用空間向量夾角的坐標表示求與的夾角.【詳解】由題設(shè)，，則，∴，則，又，∴.故選：C.3．若直線經(jīng)過兩點，且傾斜角為，則m的值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)直線的斜率公式，可得，求解即可.【詳解】由題意，可知直線的斜率存在，且，所以，解得.故選：B.4．△中，角所對的邊分別為，若，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理求，進而可求的大小.【詳解】由余弦定理知：，又，∴.故選：C5．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性表示，用、和表示出即可.【詳解】由題意知，故選：C.6．“”是“直線互相平行”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】試題分析：直線與互相平行的充要條件為，即或，因此“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件，選A.【解析】充要關(guān)系【名師點睛】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件．2．等價法：利用p?q與非q?非p，q?p與非p?非q，p?q與非q?非p的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．7．已知點兩點，直線過點且與線段AB相交，則直線的斜率k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系求解.【詳解】設(shè)的斜率為，所以的傾斜角為，的傾斜角為，因為直線過點且與線段AB相交，所以的傾斜角取值范圍為或所以直線的斜率k的取值范圍是，故選:D.8．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是上底棱的中點，AB1與平面B1D1EF所成的角的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【分析】以D1為坐標原點，D1A1，D1C1，D1D為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求得平面D1B1E的一個法向量和向量的坐標，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】以D1為坐標原點，D1A1，D1C1，D1D為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，所以,設(shè)平面D1B1E的法向量為，則，可取，又，設(shè)AB1與平面B1D1EF所成的角為，則，故AB1與平面B1D1EF所成的角為．故選：B．【點睛】本題考查了直線與平面所成角的求解，其中解答中建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求得平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．點與圓上任一點連線的中點的軌跡方程是A．B．C．D．【答案】A【詳解】試題分析：設(shè)圓上任一點為，中點為，根據(jù)中點坐標公式得，，因為在圓上，所以，即，化為，故選A.【解析】1、圓的標準方程；2、“逆代法”求軌跡方程.【方法點晴】本題主要考查圓的標準方程、“逆代法”求軌跡方程，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設(shè)出動點的坐標，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.本題就是利用方法④求的軌跡方程的.10．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：先求出A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．二、多選題11．已知直線l：，其中，下列說法正確的是（

）A．當時，直線l與直線垂直B．若直線l與直線平行，則C．直線l過定點D．當時，直線l在兩坐標軸上的截距相等【答案】AC【分析】對于A，代入，利用斜率之積為得知直線l與直線垂直；對于B，由兩平行線的一般式有求得，從而可判斷正誤；對于C，求定點只需令參數(shù)的系數(shù)為0即可，故直線l過定點；對于D，代入，分別求得直線l在兩坐標軸上的截距即可判斷正誤.【詳解】對于A，當時，直線l的方程為，故l的斜率為1，直線的斜率為，因為，所以兩直線垂直，所以A正確；對于B，若直線l與直線平行，則，解得或，所以B錯誤；對于C，當時，則，所以直線過定點，所以C正確；對于D，當時，直線l的方程為，易得在x軸、y軸上的截距分別是，所以D錯誤.故選：AC.12．在正三棱柱中，，，與交于點，點是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．存在點，使得C．三棱錐的體積為D．直線與平面所成角的余弦值為【答案】AC【分析】A.利用空間向量運算求解判斷；B.利用空間向量運算求解判斷；C.利用等體積法求解判斷；D.利用線面角的求解判斷.【詳解】由題意，畫出正三棱柱如圖所示，向量，故A正確；假設(shè)存在點，設(shè)，，所以.因為，所以.解得.故B錯誤；因為正三棱柱，所以，所以，所以，故C正確；設(shè)中點為，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即與平面所成的角，.故D錯誤.故選：AC.三、填空題13．已知圓C經(jīng)過兩點，圓心在軸上，則C的方程為__________．【答案】.【分析】由圓的幾何性質(zhì)得，圓心在的垂直平分線上,結(jié)合題意知，求出的垂直平分線方程，令，可得圓心坐標，從而可得圓的半徑，進而可得圓的方程.【詳解】由圓的幾何性質(zhì)得，圓心在的垂直平分線上,結(jié)合題意知，的垂直平分線為，令，得，故圓心坐標為，所以圓的半徑，故圓的方程為.【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)和圓的方程的求解,意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14．求過點M(－2，1)且與A(－1，2)，B(3，0)兩點距離相等的直線的方程__________．【答案】或【分析】確定所求直線斜率存在，設(shè)方程為，由點到直線的距離公式列方程求得即可得．【詳解】若直線斜率不存在，則直線與A(－1，2)，B(3，0)兩點距離不相等，不滿足題意；故直線斜率存在，設(shè)所求直線方程為，即因為與點，距離相等，所以,，解得或,即或．故答案為：或15．已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別是的中點，則點A到直線EF的距離為________．【答案】##【分析】利用空間向量的坐標運算，求解點到直線的距離.【詳解】建系如圖，,的單位向量為，所以點A到直線EF的距離為，故答案為:.16．直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)b的取值范圍為________．【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】由的為如圖所示的半圓，當直線與半圓相切時，解得或（舍），要使直線與曲線有兩個交點，則，故答案為:.四、解答題17．已知直線過點．(1)若直線過點，求直線的方程；(2)若直線在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)，求直線的方程．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）利用直線的兩點式方程求解即可；（2）利用直線的截距式方程求解即可，注意討論截距為0的情況；【詳解】（1）因為直線過，，所以直線方程為，整理得.（2）當直線經(jīng)過原點時，可設(shè)直線方程為，將點代入可得，解得，所以直線方程為；當直線不經(jīng)過原點時，可設(shè)直線方程為，將點代入可得，解得，所以直線方程為，綜上所述，直線方程為或.18．在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點O是面A1B1C1D1的中心．(1)求證：OC平面A1BD；(2)求點C到平面A1BD的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）先證明，然后利用直線與平面平行的判定定理證明／／平面.（2）由，利用等體積法，得C到平面的距離.【詳解】（1）證明：連接，，，，設(shè)交與點P，連接，因為幾何體為正方體，所以，，所以四邊形為平行四邊形，又因為O為的中心，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面,所以／／平面.（2）因為正方體棱長為1，所以是邊長為的正三角形，面積為，為等腰直角三角形，面積為，點到平面的距離為1，設(shè)C到平面的距離為d，由，得，解得，C到平面的距離為.19．已知直線：，點A．求：(1)點A關(guān)于直線的對稱點的坐標；(2)直線關(guān)于點A的對稱直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點關(guān)于線對稱列式求解；（2）根據(jù)相關(guān)點法分析運算.【詳解】（1）設(shè)，由題意可得，解得，故.（2）在直線上任取一點，設(shè)關(guān)于點A的對稱點為，則，可得，由于在直線：上，則，即，故直線關(guān)于點A的對稱直線的方程為.20．如圖，四棱錐中，平面，底面是正方形，，為中點．(1)求證：平面；(2)求平面和平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理求解即可；（2）以為原點，為軸，為軸，為軸建立坐標系，利用空間向量法求解即可.【詳解】（1）因為平面，平面，所以，因為底面是正方形，所以，又因為，平面，所以平面,因為平面，所以，因為為中點，，所以，又因為，平面，所以平面.（2）因為平面，平面，且平面為正方形，所以兩兩垂直，以為原點，為軸，為軸，為軸建立如圖所示坐標系，由題意可知，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，令得，設(shè)平面的法向量，則，令得，所以，所以平面和平面夾角的余弦值為.21．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，若為的中點．(1)求異面直線和所成角；(2)設(shè)線段上有一點，當與平面所成角的正弦值為時，求長．【答案】(1)；(2).【分析】（1）連接OA，以點O為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求出異面直線夾角作答.（2）利用（1）中空間直角坐標系，求出平面的法向量，再借助線面角求解作答.【詳解】（1）連接，因為，為的中點，則，而平面平面，平面平面，平面，則有平面，而平面，則，又，于是得，因此射線兩兩垂直，以點O為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，而，則，，令異面直線和所成的角為，因此，又，解得，所以異面直線和所成角為.（2）由（1）知，，設(shè)點，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，因為與平面所成角的正弦值為，因此，整理得，而，解得，所以長為.22．已知圓O：x2＋y2＝r2(r>0)與直線3x－4y＋15＝0相切．(1)若直線l：y＝－2x＋5與圓O交于M，N兩點，求|MN|；(2)設(shè)圓O與x軸的負半軸的交點為A，過點A作兩條斜率分別為k1，k2的直線交圓O于B，C兩點，且k1k2＝－3，試證明直線BC恒過一點，并求出該點的坐標．【答案】(1)4(2)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)圓O：x2＋y2＝r2(r>0)與直線3x－4y＋15＝0相切，求得半徑，再利用弦長公式求解；(2)易知A(－3，0)，設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，直線AB：y＝k1(x＋3)，聯(lián)立，利用韋達定理求得，再結(jié)合k1k2＝－3，進而得到B，C的坐標，分直線BC的斜率存在與不存在，寫出直線方程求解.【詳解】（1）解：因為圓O：x2＋y2＝r2(r>0)與直線3x－