平面向量的夾角

關(guān)于平面向量的夾角第1頁，共14頁，2023年，2月20日，星期三平面向量數(shù)量積的相關(guān)知識復(fù)習(xí)：

平面向量的夾角：AOBAB叫做向量a與b的夾角。

已知兩個非零向量a和b，在平面上取一點O，作OA=a,OB=b,則第2頁，共14頁，2023年，2月20日，星期三平面向量的數(shù)量積的定義：平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a,b，則|a||b|cos叫做向量a,b的數(shù)量積，記作即并規(guī)定0第3頁，共14頁，2023年，2月20日，星期三教學(xué)過程一、幾個概念1）兩個向量的夾角的定義OAB第4頁，共14頁，2023年，2月20日，星期三2）兩個向量的數(shù)量積注意：①兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.②零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。第5頁，共14頁，2023年，2月20日，星期三3)空間向量的數(shù)量積性質(zhì)注意：①性質(zhì)1）是證明兩向量垂直的依據(jù)；②性質(zhì)2）是求向量的長度（模）的依據(jù)；對于非零向量，有：第6頁，共14頁，2023年，2月20日，星期三4)空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律第7頁，共14頁，2023年，2月20日，星期三二、課堂練習(xí)第8頁，共14頁，2023年，2月20日，星期三三、典型例題

例1：已知m,n是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線l與的交點為B，且l⊥m，l⊥n，

求證：l⊥分析：由定義可知，只需證l與平面內(nèi)任意直線g垂直。nmggmnll要證l與g垂直，只需證l·g＝0而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y)使得g=xm+yn

要證l·g＝0,只需l·g=xl·m+yl·n=0而l·m＝0，l·n＝0故l·g＝0第9頁，共14頁，2023年，2月20日，星期三三、典型例題

例1：已知m,n是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線l與的交點為B，且l⊥m，l⊥n，求證：l⊥nmggmnll證明：在內(nèi)作不與m、n重合的任一條直線g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m與n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使

g=xm+yn,l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l(xiāng)·g=0∴l(xiāng)⊥g這就證明了直線l垂直于平面內(nèi)的任一條直線，所以l⊥第10頁，共14頁，2023年，2月20日，星期三例2：利用向量知識證明三垂線定理aAOP第11頁，共14頁，2023年，2月20日，星期三例3如圖，已知線段在平面內(nèi)，線段，線段，線段，，如果，求、之間的距離。解：由，可知.由知.

第12頁，共14頁，2023年，2月20日，星期三練1已知在平行六面體中，,

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