八年級(jí)升九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假銜接班講義(全面)

初三數(shù)學(xué)暑假班講義初三數(shù)學(xué)暑假班講義第第#頁共56頁15,求EF【例71如圖，等腰梯形ABCD中，AD//BC,M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)。(1)求證：四邊形MENF是菱形；(2)若四邊形MENF是正方形，請(qǐng)?zhí)剿鞯妊菪蜛BCD的高和底邊BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論?！眷柟獭咳鐖D，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC,AB=DC,AD=2,BC=4,延長BC至UE,使CE=AD.(1)寫出圖中所有與^DCE全等的三角形，并選擇其中一對(duì)說明全等的理由；(2)探究當(dāng)?shù)妊菪蜛BCD的高DF是多少時(shí)，對(duì)角線AC與BD互相垂直？請(qǐng)回答并說明理由.［例8］已知：如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,/A=60°,AD=BC=DC求證：AB2CD.【鞏固】如圖，四邊形ABCD中，AB//CD,/D=2/B,若AD=a,AB=b,則CD的長是【例9】如圖，梯形ABCD中，AB//CD,CE、BE分別平分/C和/B,E為AD的中點(diǎn)求證：AB+DC=BC.

第五講：中位線及其應(yīng)用【知識(shí)梳理】1、三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。2、中位線性質(zhì)定理的結(jié)論，兼有位置和大小關(guān)系，可以用它判定平行，計(jì)算線段的長度，確定線段的和、差、倍關(guān)系。3、運(yùn)用中位線性質(zhì)的關(guān)鍵是從出現(xiàn)的線段中點(diǎn)，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。4、中位線性質(zhì)定理，常與它的逆定理結(jié)合起來用。它的逆定理就是平行線截比例線段定理及推論，①一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等②經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)而平行于另一邊的直線，必平分第三邊③經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)而平行于兩底的直線，必平分另一腰5、有關(guān)線段中點(diǎn)的其他定理還有：①直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半②等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合③對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形④線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等因此如何發(fā)揮中點(diǎn)作用必須全面考慮?！纠}精講】【例1】已知△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC,AE^CD于E,F是BC的中點(diǎn)，試說明BD=2EF?！眷柟獭恳阎凇鰽BC中，/B=2/C,ADXBC于D,M為BC的中點(diǎn).…一1_求證：DM-AB2【例2】已知E、F、G、H是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)則①四邊形EFGH是形②當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是形③當(dāng)ACXBD時(shí)，四邊形EFGH是形④當(dāng)AC和BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形?！眷柟獭咳鐖D，等腰梯形ABCD中，AD//BC,M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)。

(1)求證：四邊形MENF是菱形；(2)若四邊形MENF是正方形，請(qǐng)?zhí)剿鞯妊菪蜛BCD的高和底邊BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。【例3】梯形ABCD中，AB//CD,M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)。求證:【鞏固】如圖，在四邊形ABCD中，AB>CD,E、F分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)?！?1， 、求證：EF>—(ABCD)21,【拓展】E、F為四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn)，若EF=—(ABCD)，問：四邊形ABCD為什么四邊形?2請(qǐng)說明理由。【例4】四邊形ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，AB=CD.BA、CD的延長線交HG的延長線于E、F。求證:/BEH=ZCFH.【例5】如圖，△ABC的三邊長分別為BC【例5】如圖，△ABC的三邊長分別為BC的中點(diǎn)，求PM的長。AB=14,BC=16,AC=26,P為/A的平分線AD上一點(diǎn)，且BPXAD,M為【鞏固】已知：△ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM和CAN,P是BC的中點(diǎn)。求證：PM=PN第六講：一元二次方程的解法【知識(shí)梳理】形如ax2bxc0a。的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法,而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

-2求根公式xb、b一4ac內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過的全部代數(shù)運(yùn)算； 它回答了一元二次方程的諸2a如怎樣求實(shí)根、實(shí)根的個(gè)數(shù)、何時(shí)有實(shí)根等基本問題；它展示了數(shù)學(xué)的簡潔美?！纠}精講】【例1】選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋ɑA(chǔ)題）：(1)x2-2x=0(2)x2-9=0(3)(1—3x)2=1；(4)(t-2)(t+1)=0(5)x2+8x=22(6)x7x602⑺x4x210(8)2 _ 一一x2x1502(9)4x12x902(10)a4a210(11)x211x18一 ，一、 20 (12)2xx30(13)x(x-6)=2(14)(2x+1)2=3(2x+1) (15)2b27b150(16)3a24a40(17)3b214b5(18)2.3x2x30(19)x4x22002(20)(3x5)5(3x5)60;【例2】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于X的方程(提高題)3x23x24x3 5；11x22x33270；325x25x3 1245x3；3x1x14x1x1；⑸2 <3x⑸2 <3x22V31x60?！眷柟獭坑眠m當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于x的方程:2 2x2 9x1 0；2 2 2x6axb9a；2x2 2^/2J3x2x2 2^/2J3x660。2x1x34x13x。【拓展】解方程： 6x723x4x1 6；【例3】解方程：x23x40?！眷柟獭拷夥匠蹋?1)x2x110； (2)xxx20?！纠?】解關(guān)于x的方程：m1x22m1xm30?！眷柟獭拷怅P(guān)于x的方程：x24px4p25x10p60?！纠?】已知方程x2kx70與x26xk10有公共根。(1)求k的值；(2)求二方程的所有公共根和所有相異根?！眷柟獭渴欠翊嬖谀硞€(gè)實(shí)數(shù)m,使得方程x2mx20和x22xm0有且只有一個(gè)公共的實(shí)根？如果存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)m及兩方程的公共實(shí)根；如果不存在，請(qǐng)說明理由。第七講：一元二次方程的判別式【知識(shí)梳理】一、一元二次方程ax2bxc0a0根的情況：令b24ac。 b.b24ac b b24ac1、若0,則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根： xi ,X2 2a 2ab2、右0,則萬程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根： X1X2 ——；2a3、若0,則方程無實(shí)根（不代表沒有解）。二、1、利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性；2、運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；3、通過判別式，證明與方程有關(guān)的代數(shù)問題；4、借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題、最值問題?！纠}精講】【例1】已知方程ax24x10；則①當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？②當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？③當(dāng) a取什么值時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根？【鞏固】1、已知關(guān)于x的方程x222mx36m0。求證：無論m取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；2、已知關(guān)于x的一元二次方程12kx22vk1x10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。

【拓展】關(guān)于x的方程kx2k1X10有有理根，求整數(shù)k的值?！纠?】已知關(guān)于x的方程x2k2x2k0。(1)求證：無論k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；。的兩根，則m(2)若等腰三角形ABC的一邊長a1,另兩邊長b、C恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求ABC。的兩根，則ma、b、c,已知a3,b和c是關(guān)于x的方程a、b、c,已知a3,b和c是關(guān)于x的方程2、在等腰三角形 ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為2 1xmx2-m0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求三角形ABC的周長。2【拓展】已知對(duì)于正數(shù)a、b、c,方程c2x20沒有實(shí)數(shù)根,求證：以長a、b、c的線段為邊能組成一個(gè)三角形?！纠?】設(shè)方程x2ax4有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的值和相應(yīng)的3個(gè)根。【鞏固】已知關(guān)于x的方程x3 1ax22axa20有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【例4】設(shè)a,b,c,d0,證明在方程—x2：/2abx.cd0；212 x .2bcx ad0；2—x2 .2cdx.ab0；212-x2daxbc0,2中，至少有兩個(gè)方程有不相等的實(shí)數(shù)根。第八講:元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【知識(shí)梳理】二次方程ax2bxc0a0的根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)b設(shè)萬程的兩個(gè)根x1，x2,則x1x2 -,x1x2a韋達(dá)定理用途比較廣泛，運(yùn)用時(shí)，常需要作下列變形：(1)2x12x2x1x22x1x2；(2)x2x12x12x22x1x2 2x1x2 ;x2x〔x2(3)3x13x2x1x2x12x2 3x1x2；(5)x12x2x1x24%x2；x1X2Vx12X22x〔 x24x1x2。【例(1)【例(1)(2)x2-9x+10=0;【例題精講】1】求下列方程的兩根之和，兩根之積。x2—2x+1=0;解:，x〔x2解：x〔x2，取2(3)2x2—9x+5=0；(4)4x2—7x+1=0;解：x1 x解：x1 x2,x1x2⑸2x2—5x=0;(xi+x2)2=(xi—x2)2=xi3+x23=解：xix2 ,x〔x2(6)x2—1=0牛：x1x2,x1x2 解：x1x2,x1x2【例2】設(shè)xi,x2是方程2x2+4x—3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：(1)(xi+1)(x2+1)=； (2)xi2x2+xix22=; (3)——=【例3】解答下列問題:(i(i)設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x24x2ki0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x「x2,問是否存在xi x2 xix2的情況?(2)已知：(2)已知：x「x2是關(guān)于x的方程x22aixa0的；兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x〔2x22ii,求a的值?！眷柟獭縄、已知關(guān)于x的方程x24xa0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且2x1x27,則a。TOC\o"1-5"\h\z2 2 22、已知、是方程x2x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式 2的值為一 ,,山、— 2 m2【例4】已知關(guān)于x的方程：x2m2x—— 0。4(1)求證：無論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根;

(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根 (2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根 x1、x2滿足x2x1 2,求m的值及相應(yīng)的x1、x2?！眷柟獭恳阎P(guān)于x的方程x22k3xk21 0。(1)當(dāng)k為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根；(2)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 (2)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1、x2滿足x1x2 3,求k的值。6x40的兩根，則4ABC的面積是多少?【例4】CD是RtAABC斜邊上的高線，AD6x40的兩根，則4ABC的面積是多少?【鞏固】已知△ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x二次方程x22k3xk23k20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5。k為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長。第九講：一元二次方程的應(yīng)用【知識(shí)梳理】方程是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，許多實(shí)際問題可轉(zhuǎn)化為解一元二次方程、研究一元二次方程根的性質(zhì)而獲解。列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟基本相同，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、分析數(shù)量關(guān)系，將實(shí)際問題中內(nèi)在、本質(zhì)的聯(lián)系抽象為數(shù)學(xué)問題，建立二次方程模型解決問題?！纠}精講】【例1】要建一個(gè)面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場(chǎng)，為了節(jié)省材料，雞場(chǎng)的一邊靠著原有的一條墻，墻長am,另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長為 35m。(1)求雞場(chǎng)的長和寬各為多少？(2)題中墻的長度am對(duì)題目的解起著怎樣的作用？【例2】某博物館每周都吸引大量中外游客參觀， 如果游客過多，對(duì)館中的珍貴文物會(huì)產(chǎn)生不利影響； 但同時(shí)考慮文物的修繕和保存費(fèi)用問題，還要保證一定的門票收入，因此博物館采用了漲浮門票的價(jià)格來控制參觀人數(shù)，在該方法實(shí)施過程中發(fā)現(xiàn)：每周參觀人數(shù)與票價(jià)之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，在這樣的情況下，如果確保每周 4萬元的門票收入，那么每周應(yīng)限定參觀人數(shù)是多少？門票價(jià)格應(yīng)是多少元？【例3】將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，就能賣出500個(gè)，1因知這種商品每個(gè)漲俅彳11tW,其銷售量就減少10個(gè)，問為了賺得8000元的利潤，售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？【例4】甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)相背而行， 1小時(shí)后分別到達(dá)各自的終點(diǎn) A與B,若讓他們?nèi)詮脑爻霭l(fā)，互換彼此到達(dá)的目的地，則甲將在乙到達(dá)A之后35分鐘到達(dá)B,求甲與乙的速度之比。

1200米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速【例5】一支士兵隊(duì)伍長1200米，在行軍途中，隊(duì)伍正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊(duì)伍的排頭兵，并在到達(dá)排頭后立即回到末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任務(wù)時(shí)，隊(duì)伍已經(jīng)前進(jìn)了1200米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速【例6】象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分，如果平局，兩個(gè)選手各記1分，今有4個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了比賽中全部選手的得分總數(shù)，分別是1980、1981、1993、1994,經(jīng)核實(shí)確實(shí)有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無誤，試計(jì)算這次比賽中共有多少名選手參加?！眷柟獭?、在青島市開展的創(chuàng)城活動(dòng)中，某居民小區(qū)要在一塊靠墻(墻長 15m)的空地上修建一個(gè)矩形花園ABCD,花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成(如圖所示)，若設(shè)花園的BC邊長為xm,花園的面積為ym2。(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；(2)滿足條件的花園面積能達(dá)到200m2嗎？若能，求出此時(shí)x的值；若不能，說明理由；(3)當(dāng)x取何值時(shí)，花園的面積最大？最大面積為多大？2、某水果批發(fā)商場(chǎng)有一種高檔水果，如果每千克盈利 10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利 6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？3、甲乙兩條船分別從河的兩岸同時(shí)出發(fā)，它們的速度是固定的。第一次相遇距河的一岸 700米處，然后繼續(xù)前進(jìn)，都到達(dá)對(duì)岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸 400米處，如果認(rèn)為船到岸調(diào)轉(zhuǎn)方向時(shí)不耽誤時(shí)間，問河有多寬？4、一支士兵隊(duì)伍長100米，在行軍途中，隊(duì)伍正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊(duì)伍排頭，并在到達(dá)排頭后立即回到隊(duì)伍的末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任務(wù)時(shí)，隊(duì)伍已前進(jìn)了 100米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？5、象棋比賽共有奇數(shù)個(gè)選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤，記分辦法是勝一盤得 1分，和一盤各得0.5分,負(fù)一盤得0分，已知其中兩名選手共得8分，其他人的平均分為整數(shù)，求參加此次比賽的選手共有多少人？

第十講：專題復(fù)習(xí)：因式分解、分式和根式【知識(shí)梳理】一、因式分解:1、常用的公式：平方差公式:完全平方公式：a2完全平方公式：a22a2a2a立方和(差)公式：一 2 22abbab；b2c22ab2bcb2c22ab2bcb2c22ab2bc3 .3 2a b aba3 .3 2a b aba22caabc；22ca abc；c , 22ca abc；abb2；abb2；2、許多多項(xiàng)式分解因式后的結(jié)果在解題中經(jīng)常用到，我們應(yīng)熟悉以下的常用結(jié)果：(1)abba1a1b1;⑵abab1a1b1；a44a22a2a22a2；4a412a22a12a22a1；,2 .2 2 2a b c 2ab2bc2acabc；a3 b3 c3 3abcabca2b2c2 abbcaco二、分式：A1、分式的意義：形如一(A、B為整式)，其中B中含有字母的式子叫分式。B當(dāng)分子為零且分母不為零時(shí)，分式的值為零，而當(dāng)分母為零時(shí)，分式?jīng)]有意義。2、分式的性質(zhì)AAMAM(1)分式的基本性質(zhì)： A 土旦(其中M是不為零的整式)。BBMBM(2)分式的符號(hào)法則：分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變。/nTOC\o"1-5"\h\z1 1 1 n1 一(3)倒數(shù)的性質(zhì)：a—1a0*a—尸1a0；若a—1,則a— 1(a0,n是整數(shù))；a .a a a1 - -a-2a0。a3、分式的運(yùn)算

nnab aba c adbc ac acac ad a a分式的運(yùn)算法則有： 一一 — ； ，一一——，一一(n是正整數(shù))。cc cb dbd bd bdbd bc b bn4、分式的變形設(shè)參法（主要用于連比式或連等式）分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論根據(jù)之一，分式變形的常用方法有:法（即分離變形），因式分解法，分組通分法和換元法等。設(shè)參法（主要用于連比式或連等式）二、二次根式:1、當(dāng)a0時(shí)，稱后為二次根式，顯然2、二次根式具有如下性質(zhì):(1)"a2aa0；a,a,當(dāng)(1)"a2aa0；a,a,當(dāng)a0時(shí),，當(dāng)a0寸;VobVaJba0,b0;0,b3、二次根式的運(yùn)算法則如下:auWbjca..an4、設(shè)a,b,c,d,mQ,且auWbjca..an4、設(shè)a,b,c,d,mQ,且m不是完全平方數(shù),則當(dāng)且僅當(dāng)ac,bd時(shí),cdJm?！纠}精講】[例1]分解因式:[例1]分解因式:xy6y2x13y6分解因式:( 2xxy2y2x5y2；3x25xy2y2x9y4;【例2】已知a、( 2xxy2y2x5y2；3x25xy2y2x9y4;【例2】已知a、b、c是一個(gè)三角形的三邊，則a4b4-2122ab2b2c2 -22ca2,?，一的值是（A.恒正B.恒負(fù)C.可正可負(fù)D.非負(fù)3、3、k為何值時(shí)，多項(xiàng)式x22xyky23x5y2能分解成兩個(gè)一次因式的積?【例【例3】已知a、b是實(shí)數(shù)，且3a2av1b2b1,問a、b之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)推導(dǎo)。【專題訓(xùn)練】1、已知abab113,求ab的值為；4一.2 .2_ _ ... 2、多項(xiàng)式xaxyby5xy6的一個(gè)因式是xy2,試確定ab的值為3、設(shè)3ba2c,求a29b24c24ac的值。若abcabb0,且設(shè) 則abbcca

abc已知1xyx已知a19911992,c1993,且abc24,貝Ubccac

ab當(dāng)x變化時(shí),分式3x若abcabb0,且設(shè) 則abbcca

abc已知1xyx已知a19911992,c1993,且abc24,貝Ubccac

ab當(dāng)x變化時(shí),分式3x2

丁

-x

26x56x5的最小值為2x11,則mx13

x―6 3~3 ~xmx1已知實(shí)數(shù)a滿足1992a1993a,則a19922TOC\o"1-5"\h\z… 2610、化簡2、3 5— 1 211、已知vx Ja,則，4xxa12、設(shè)v'39v1432的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為12、設(shè)v'39v1432的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為11b,則——ab11

a4b13、設(shè)等式Caxa Jaya 7xa、；ay在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a,x,y兩兩不同，則2 23xxyy2 2xxyy14、使等式xqy、’99成立的整數(shù)對(duì)x,y14、使等式xqy、’99成立的整數(shù)對(duì)x,y的個(gè)數(shù)為15、設(shè)正整數(shù)a,m,n滿足a242 .myin,則這樣的a,m,n的取值有組;12222n16、求和：12222n16、求和：S1x1x21x41 x2n17、已知abc0,化簡— 2 2- 2 2bcacab18、若ababc0,計(jì)算2 21b1c

bc2 2 2 21a1c1a1bac ab的值。19、計(jì)算:1494747v491 1 119、計(jì)算:1494747v493 .35”3357v55.720、設(shè)M42V33,它的小數(shù)部分為P,求M1P的值。第一講：分式的運(yùn)算【知識(shí)梳理】一、分式的意義A形如一（A、B為整式），其中B中含有子母的式子叫分式。B當(dāng)分子為零且分母不為零時(shí)，分式的值為零，而當(dāng)分母為零時(shí)，分式?jīng)]有意義。二、分式的性質(zhì)

（1）分式的基本性質(zhì):AAMAM （其中M是不為零的整式）。BBMBM（2）分式的符號(hào)法則：分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變。（3）倒數(shù)的性質(zhì):11aa0,Va則an11aa0,Va則an0,n是整數(shù)）；3、a三、分式的運(yùn)算分式的運(yùn)算法則有:aca一,一bdba'badaca一,一bdba'badadbdbc，bc一;na-（n是正整數(shù)）。bn四、分式的變形分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論根據(jù)之一，分式變形的常用方法有：設(shè)參法（主要用于連比式或連等式）法（即分離變形），因式分解法，分組通分法和換元法等。【例題精講】【例1【例1】（1）當(dāng)m時(shí)，分式m21m3的值為零;m3m2思路點(diǎn)撥:1思路點(diǎn)撥:1、若分式，…， 1 ，… ，，一……（2）要使分式 有意義，則x的取值范圍是當(dāng)分式的分母不為零時(shí)，分式有意義；當(dāng)分子為零，分母不為零時(shí)，分式的值為零。3x212 …等——的值為0,則x的值為x4x4a242、若使分式113a沒有意義,則a的值為2a【拓展】當(dāng)x取何值時(shí),分式【例2］化簡下列分式:(1)2x~2~x(3)【鞏固】化簡:5x有意義?⑵————x1x12

x214x41x99x100，、/nm(1)1 m2n2

mi"~"2 ~~m4mn4n21

a25a612a27a12x x1【例3】已知2xy0,A—,B ，試比較A與B的大小;y y2【鞏固】比較兩數(shù)5678901234人 與67890123455678901235佑+, 的大小。6789012347【例4】化簡：2yz2zx2xyxyxzyxyzzxzy【鞏固】化簡:yxzx zyxyx2yzxy2zxy2zyz2xxzyz

yz2xx2yz第二講：分式的化簡求值【知識(shí)梳理】1、先化簡后求值是解代數(shù)式化簡求值問題的基本策略，分式的化簡求值通常分為有條件和無條件兩類。給出一定的條件并在此條件下求分式的值的問題稱為有條件的分式化簡求值，解這類問題，既要瞄準(zhǔn)目標(biāo)，又要抓住條件，既要依據(jù)條件逼近目標(biāo)，又要能根據(jù)目標(biāo)變換條件。常常用到如下策略：(1)適當(dāng)引入?yún)?shù)；(2)拆項(xiàng)變形或拆分變形；(3)整體代入；(4)取倒數(shù)或利用倒數(shù)關(guān)系等。2、基本思路由繁到簡，即從比較復(fù)雜的一邊入手進(jìn)行恒等變形推到另一邊；兩邊同時(shí)變形為同一代數(shù)式；(3)證明：左邊右邊0,或普_1,此時(shí)右邊0。右邊3、基本方法在恒等變形的過程中所用的方法有配方法、消元法、拆項(xiàng)法、綜合法、分析法、比較法、換元法、待定系數(shù)法、設(shè)參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法?！纠}精講】【例1】(【例1】(1)已知x2y0,求2x3xyc2 c22xxy3y(2)已知115,則2x5xy2y xy x2xyy⑶若abc,則3a2bc345a2b3c【例2】若xa—bb—cJa,求x的值?cab【例3【例3】已知abc0,且ab3a2bcM 的值？a2b3c【鞏固】若a b - d ,則abcd的值是b c d aabcd1【例4】已知：x2x10,求x4F的值。x

【鞏固】3(1)已知a23a10,則代數(shù)式Y(jié)—的值為a1⑵若x2x4⑵若x25

x【例5】已知a、b、c【例5】已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且abab1bccaca-,那么——abc一的值是多少?5abbcca【例6】已知abc1,求證:a baba1bcb1cacc1思路點(diǎn)撥：由繁到簡，化簡左邊，使左邊等于右邊。【鞏固】已知：abc0,abc【鞏固】已知：abc0,abc0,求a(——)b(——)c(——)3的值。1.1.一的值。a…■一1..1.【例7】已知a—1,b-1,b c

TOC\o"1-5"\h\zab bc ca【例8】已知x ,y ,z ,求證：IxlylzIxlylz。\o"CurrentDocument"ab bc cacd2cd2\o"CurrentDocument"2 2\o"CurrentDocument"【鞏固】已知a-3,求證：a——bd ac第三講：分式方程及其應(yīng)用【知識(shí)梳理】.解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。.解分式方程的一般步驟：(1)在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程；(2)解這個(gè)整式方程；(3)驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是否等于零，使最簡公分母等于零的根是原方程的增根，必須舍去，但對(duì)于含有字母系數(shù)的分式方程，一般不要求檢驗(yàn)。.列分式方程解應(yīng)用題和列整式方程解應(yīng)用題步驟基本相同，但必須注意，要檢驗(yàn)求得的解是否為原方程的根，以及是否符合題意。下面我們來學(xué)習(xí)可化為一元一次方程的分式方程的解法及其應(yīng)用。.較為復(fù)雜的分式方程可以采用換元法、約分來簡化。【例題精講】x 3 x2【例1】解方程：(1)—1 3 (2)————1x1(x1)(x2) x1x12 , 2［例2］解方程：6y12 T—―T—oy4y4y4y4y4【例3】解方程：1x10(x11)(x2)(x12)(x3)(x9)(x10)【例4】【鞏固】解方程:12x4x323: 48x2428716x1945【例5】解方程:2x4x72x72【拓展】解方程:4x182x211x812x22x82x213x8[例6]m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程—x2~~2mx 會(huì)產(chǎn)生增根?x4x2【鞏固】若解分式方程2xA.B.1_ ，，…產(chǎn)生增根，則m的值是（ ）xD.D.C.【例7】甲、乙兩同學(xué)玩“托球賽跑”游戲，商定：用球拍托著乒乓球從起跑線l起跑，繞過點(diǎn)P跑回到起跑線（如圖所示）；途中乒乓球掉下時(shí)須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑，用時(shí)少者勝，結(jié)果：甲同學(xué)由于心急，掉了球，浪費(fèi)了 6秒鐘，乙同學(xué)則順利跑完，事后，乙同學(xué)說： “我倆所用的全部時(shí)間的和為 50秒，撿球過程不算在內(nèi)時(shí)，甲的速度是我的1.2倍”，根據(jù)圖文信息，請(qǐng)問哪位同學(xué)獲勝？p?二.30米【鞏固】輪船在一次航行中順流航行 80千米，逆流航行42千米，共用了7小時(shí)；在另一次航行中，用相同的時(shí)間,順流航行40千米，逆流航行70千米。求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度點(diǎn)撥：在航行問題中的等量關(guān)系是“船實(shí)際速度=水速+靜水速度”二次根式的運(yùn)算【知識(shí)梳理】1、當(dāng)a0時(shí)，稱a'a為二次根式，顯然JI0。2、二次根式具有如下性質(zhì):Jaaa0；TOC\o"1-5"\h\z⑵va2 a<abJaJba0,b0;/,、 a a?— — a 0, b0°\o"CurrentDocument"b b3、二次根式的運(yùn)算法則如下：(1)aVCbVCabVcc0;一n Va Vana0。4、設(shè)a,b,c,d,mQ,且m不是完全平方數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng) ac,bd時(shí),abVmcdVmo5、二次根式是代數(shù)式中應(yīng)掌握的非常復(fù)雜的內(nèi)容，其運(yùn)算常用到換元、拆項(xiàng)相消、分解相約等方法，還應(yīng)注意運(yùn)用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的結(jié)果一定要化成最簡二次根式的形式。6、最簡二次根式與同類二次根式(1)一個(gè)根式經(jīng)過化簡后滿足：被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；被開方數(shù)的每一個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)；被開方數(shù)不含分母。

適合上述這些條件的根式叫做最簡根式。(2)幾個(gè)根式化成最簡根式后，如果被開方數(shù)都相同，根指數(shù)也都相同，那么這幾個(gè)根式叫做同類根式?！纠}精講】2 2 2 2 cc【例1】已知yx-一2 x-一22,則x2y2 。,5x4 ,45x【鞏固一】若x,y為有理數(shù)，且J2x1<12xy4,則xy的值為?！眷柟潭菀阎獃JT~x 2009,則xy。【拓展】若m適合關(guān)系式43x5y2m%；2x3ymvx199yv199xy,求m的值。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2【例2】當(dāng)a2b【例2】當(dāng)a2b時(shí)，化簡二次根式a2bla1、化簡，4x24x1v2x32的結(jié)果是2、已知a0,則22aa2等于( )A.a B.a C.3a D.3a3、已知ba0c,化簡"Jca2vab2dbc2?！纠?】多重二次根式的化簡:(1)v(1)v42v13V4 2/3;⑵<108^320。［鞏固］化簡：(1)［鞏固］化簡：(1)%2710v2;(2),254,62喬;⑶Vx4^x~^~5Vx6%/X_7^0［拓展】化簡j996jl995,1994T199319911171。【例4】計(jì)算:.10.14.15 2110 14.15\21【鞏固】計(jì)算：J15病歷5325 7⑵斤57’74767 77 66、42【拓展】設(shè)MN1234 20072008,貝U—上）的值是M1二次根式的化簡求值【知識(shí)梳理】有條件的二次根式化簡求值問題是代數(shù)式的化簡求值的重點(diǎn)與難點(diǎn)，這類問題包容了有理式的眾多知識(shí)，又涉及最簡根式、同類根式、有理化等二次根式的重要概念，同時(shí)聯(lián)系著整體代入、分解變形、構(gòu)造關(guān)系式或圖形等重要的技巧與方法，解題的關(guān)鍵是，有時(shí)需把已知條件化簡，或把已知條件變形；有時(shí)需把待求式化簡或變形；有時(shí)需把已知條件和待求式同時(shí)變形?！纠}精講】【例1】設(shè)x<5J5,y55卮求x6y6的值。1、設(shè)x1、設(shè)x夕」，求x2xy.21y2的值。一一1 1 1一一1 1 12、已知x 廣,y f=,求 22 、3 2、3x1的值?！就卣埂恳阎獂【拓展】已知x2<13,求x45x36x25x的值?！纠?】已知【例2】已知Q32,那么J———x x23x1【鞏固】1、若x4a,則J4X―X2"的值為（1 1 1A.a— 【鞏固】1、若x4a,則J4X―X2"的值為（1 1 1A.a— B.-a C.a—a a aD.不能確定2、已知JX1=<5,求J2， ——的值。X .X2X1 .X2X1【例3】已知a、b是實(shí)數(shù)，且V1a2aV1b2b1,問a、b之間有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)推導(dǎo)。【鞏固】已知x.X22008y y2—20082008,求X23Xy4y26x6y58的值。【例4】已知a、b均為正數(shù)，且ab2,求Uva24Jb21的最小值?！眷柟獭壳蟠鷶?shù)式Jx24J12x29的最小值。第十一講：專題復(fù)習(xí)：代數(shù)式的恒等變形

【知識(shí)梳理】1、恒等式的意義兩個(gè)代數(shù)式，如果對(duì)于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個(gè)代數(shù)式恒等。2、代數(shù)式的恒等變形把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫做代數(shù)式的恒等變形。 恒等式的證明，就是通過恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等。3、基本思路(1)由繁到簡，即從比較復(fù)雜的一邊入手進(jìn)行恒等變形推到另一邊；(2)兩邊同時(shí)變形為同一代數(shù)式；(3)證明：左邊右邊0,或1,此時(shí)右邊0。右邊4、基本方法在恒等變形的過程中所用的方法有配方法、消元法、拆項(xiàng)法、綜合法、分析法、比較法、換元法、待定系數(shù)法、設(shè)參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法?！纠}精講】bcac【例1】已知abc1,求證：——a——bcacaba1思路點(diǎn)撥：由繁到簡，化簡左邊，使左邊等于右邊?！眷柟獭恳阎獂、v、z為三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且【拓展】若Xvz0,a【例2】證明：一J一匕「一Jaxaayaaza思路點(diǎn)撥：本題可采用比差法以及拆分法兩種方法進(jìn)行證明?！眷柟獭?、求證a【鞏固】1、求證a2ab-1ababab2、求證： aab［例［3］F1知yab\/b