北師版八年級數學上冊章節(jié)教案

2北師版八年級數學第1勾股定理2一．知識歸納１．勾定理內容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別ab，斜邊，那勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數學家商高就提出“勾三，股四，弦”形式的股定理，后來人們進一步發(fā)現并證明了直角三角形的三邊關系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方２.勾股定理的明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理常見方法如下：方法一：

4S

正形

正形ABCD

，

14abb)2

，化簡可證．D

b

a

Aa

DH

a

b

c

bE

Fb

a

b

a

c

EaA

B

a

b

B

方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為

大正方形面積為

Sa

a

ab

所以

a

方法三：

1(a)2

，

1abc

，化簡得證３.勾股定理的用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形４.勾股定理的用①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊ABC中cbc

②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數量關系1

③可運用勾股定理解決一些實際問題５.勾股定理的定理如果三角形三邊bc滿a

，那么這個三角形是直角三角形，其為斜邊①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和a

與較長邊的平方

作比較若它們相等時以

，b

，

為三邊的三角形是直角三角形若

a

時，以

，

，

為三邊的三角形是鈍角三角形；若

a

，時，以

，

，

為三邊的三角形是銳角三角形；②定理bca

只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長c滿足a

，那么以三邊的三角形是直角三角形，但b為斜邊③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形６.勾股數①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即

a

中，

，

，

為正整數時，稱

，

，

為一組勾股數②記住常見的勾股數可以提高解題速度，5,12,137,24,25等③用含字母的代數式表勾股數：n2

（

為正整數2nn,2n2n

（

為正整數）

mnm

（

,為正整數）７．勾定理的應用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關系的證明問題．在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進行計算，應設法添加輔助線（通常作垂線直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解．８.．勾股定理定理的用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結論．９.勾股定理及逆定理應用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體．通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決．常見圖形：

C

CA

B

AD

BD

A

BD

A題型一：直接考查勾股定理2

例１.

ABC

中，

．⑴已知

AC

，

BC

．求

的長⑵已知AB，，求BC的長分析：直接應用勾股定理解：⑴

ABAC

BC

⑵BCAC題型二：應用勾股定理建立方程例２.⑴ABC中90ABcm，BCcmCDD＝⑵已知直角三角形的兩直角邊長之比3:4，斜邊長5，則這三角形的面積為⑶已知直角三角形的周長為

cm

，斜邊長為

3

，則這個三角形的面積為分析解直角三角形時想到勾股定理直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積時可根據勾股定理列方程求解解：⑴

ACAB

BC

，

CD

ACAB

A

CD

B

C

A

B⑵設兩直角邊的長分別為

，

k(3k)

k)

，

，

⑶設兩直角邊分別為

，

，則

，

a

，可得160S2

例３.ABCCCD，BD2.5求AC的長分析：此題將勾股定理與全等三角形的知識結合起來解：作

DEAB

于

，

，

DECD90BEBD

DE

RtACDRtAEDAE在

RtABC

中，

AB(AEEBAC例4.如答案：6

,別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積3

②，1325題型三：實際問題中應用勾股定理②，1325例如圖有兩棵樹，一棵高

cm

，另一棵高

cm

，兩樹相距

cm

，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數的樹梢，至少飛了

D分析：根據題意建立數學模型，如圖

AB

，

CDm

，

BC

，過點

D

作

DEAB

，垂足為

，則

AEm

，

DE在

Rt

中，由勾股定理得

ADAE

DE

答案：

m題型四：應用勾股定理逆定理，判定一個三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三邊長為

，

，

，判定

ABC

是否為

①

1.5

，

，

②

a

54

，

，

c

23解：①ac2.5

是直角三角形且

Cba916

不是直角三角形例7.三邊長ac滿a的三角形是什么形狀？解：此三角形是直角三角形理由：

)

，且

64a

所以此三角形是直角三角形題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應用例8.已中cmBCcm，BC邊上的中線

AD

，求證：

ABACABD證明：AD為中線，BDABD中，BD169，AD

，ADB

，

，

ACcm

，

AC4

2222A′DC′第8題一、選擇題1-5DCACC6-8CBB9、10、2222A′DC′第8題1、在Rt△ABC中，∠C=90°，三邊長分別a、b、，則下列結論中恒成立的是()A、2ab<c

2

B、2ab≥c

C、2ab>c

2

D、≤2、已xy為正數，且x-4│y-32

=0，如果xy的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（）A5、25C、7D153、直角三角形的一直角邊長為12另外兩邊之長為自然數，則滿足要求的直角三角形共有（）A、4個、5個C、個D8個4、下列命題①如果a、、c為一組勾股數，那么、4b、4c仍是勾股數；②如果直角三角形的兩邊是3、4，那么斜邊是5；③如果一個三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形④一個等腰直角三角形的三邊是c

2

∶b

2

∶c

2

=2∶1∶1。其中正確的是（）A、①②B、①③C、①④D、②④5、若△ABC的三邊a、b、滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，則此△為（）A、銳角三角形B、鈍角三角形C、直角三角形D、不能確定6、已知等腰三角形的腰長為，一腰上的高為6，則以底邊為邊長的正方形的面積為（）A、40B、、40或360D、80或3607、如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，DAC上一點，且，又△DAB的面積為10，那么DC的長是（）A、4B、C、5D4.5

ADD

CA

E

B

CD′CBAB第7題圖B′第題圖8、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊㎝，㎝。現將直角邊AC沿直AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與重合，則CD等于（）A、2㎝B、3㎝C、4㎝D、5㎝9.一只螞蟻從長、寬都是3，高是8的長方體紙箱的點沿紙箱爬到，那么它所行的最短路線的長是_____________10.在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為米，問這里水深是________m。二.解答題1.如圖，某沿海開放城市到臺風警報，在該市正南方向260km的B處有一臺風中心沿BC方向以15km/h的速度向移動已知城市A到BC的距離AD=100km那么臺風中心經過多長時間從點移到D點？如果在距臺風中心30km的圓形區(qū)域內都將有受到臺風的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內撤離才可脫離危險？A

CDB

第1題圖5

2、數組、4、5；5、、13；7、24、25；9、40、41；……都是勾股數，若奇數為直角三角形的一直角邊，用含n代數式表示斜邊和另一直角邊。并寫出接下來的兩組勾股數。3、一架方梯長25，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米）這個梯子的頂距地面有多高2果梯子的