2006年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)105二項式定理

10.5二項式定理●知識梳理1.二項睜開式的通項公式是解決與二項式定理相關(guān)問題的基礎(chǔ).2.二項睜開式的性質(zhì)是解題的重點.3.利用二項式睜開式能夠證明整除性問題，議論項的相關(guān)性質(zhì)，證明組合數(shù)恒等式，進行近似計算等.●點擊雙基1.已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2++a9x9，則｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜等于A.29B.49C.39D.1分析：x的奇數(shù)次方的系數(shù)都是負值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜=a0－a1+a2－a3+－a9.∴已知條件中只需賦值x=－1即可.答案：B2.（2004年江蘇，7）（2x+x）4的睜開式中x3的系數(shù)是A.6B.12C.24D.48分析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系數(shù)為C42·22=24.答案：C3.（2004年全國Ⅰ，5）（2x3－1）7的睜開式中常數(shù)項是xA.14B.－14C.42D.－42分析：設(shè)（2x3－1）7的睜開式中的第r+1項是Trr7r1rr27r·x1=C7（2x3）（－x）=C7r3(7x)（－1）r·x2，當(dāng)－r+3（7－r）=0，即r=6時，它為常數(shù)項，∴C76（－1）6·21=14.2答案：A314.（2004年湖北，文14）已知（x2+x3）n的睜開式中各項系數(shù)的和是128，則睜開式中x5的系數(shù)是_____________.（以數(shù)字作答）31分析：∵（x2+x3）n的睜開式中各項系數(shù)和為128，∴令x=1，即得全部項系數(shù)和為2n=128.316311r∴n=7.設(shè)該二項睜開式中的r+1項為Tr1=C7r（x2）7r·（x3）r=C7r·x6，令6311r=5即r=3時，x5項的系數(shù)為C73=35.6答案：355.若（x+1）n=xn++ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=_____________.分析：a∶b=C3n∶C2n=3∶1，n=11.答案：11●典例分析【例1】假如在（x+1）n的睜開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求睜開式中的24x有理項.解：睜開式中前三項的系數(shù)分別為1，n，n(n1)，28由題意得2×n=1+n(n1)，得n=8.281163r設(shè)第r+1項為有理項，r··x4Tr1=C82r

，則r是4的倍數(shù)，因此r=0，4，8.有理項為T1=x4，T5=3518x，T9=256x2.評論：求睜開式中某一特定的項的問題常用通項公式，用待定系數(shù)法確立r.【例2】求式子（｜x｜+1－2）3的睜開式中的常數(shù)項.|x|解法一：（｜x｜+1－2）3=（｜x｜+1－2）（｜x｜+1－2）（｜x｜+1－2）得|x||x||x||x|到常數(shù)項的狀況有：①三個括號中全?。?，得（－2）3；②一個括號取｜x｜，一個括號取1，一個括號?。?，得C13C12（－2）=－12，|x|∴常數(shù)項為（－2）3+（－12）=－20.解法二：（|x|+1－2）3=（|x|－1）6.|x||x|設(shè)第r+1項為常數(shù)項，則Tr1=C6r·（－1）r·（1）r·|x|6r=（－1）6·C6r·|x|62r，得6－2r=0，r=3.|x|T3+1=（－1）3·C36=－20.思慮議論1）求（1+x+x2+x3）（1－x）7的睜開式中x4的系數(shù)；2）求（x+4－4）4的睜開式中的常數(shù)項；x（3）求（1+x）3+（1+x）4++（1+x）50的睜開式中x3的系數(shù).解：（1）原式=1x4（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，睜開式中x4的系數(shù)為（－1）4C641x－1=14.44(x24x4)4(2x)8444（2）（x+=，睜開式中的常數(shù)項為C82x－4）=x4x4·（－1）=1120.（3）方法一：原式=(1x)3[(1x)481]=(1x)51(1x)3.(1x)1x睜開式中x3的系數(shù)為C451.方法二：原睜開式中x3的系數(shù)為C33+C34+C35++C350=C44+C34++C350=C45+C35++C350==C451.評論：把所給式子轉(zhuǎn)變?yōu)槎棻犻_式形式是解決此類問題的重點.【例3】設(shè)an2n1（n∈N*，q≠±1），An1122nn=1+q+q++q=Cna+Cna++Cna.（1）用q和n表示An；（2）（理）當(dāng)－3<q<1時，求limnAn.2n解：（1）由于q≠1，因此an=1+q+q2++qn1=1qn.1q1q11q221qnn于是An=Cn+Cn++Cn1q1q1q1=q1=q1=q2）

［（C1n+C2n++Cnn）－（C1nq+C2nq2++Cnnqn）］{（2n－1）－［（1+q）n－1］}2n－（1+q）n］.An=11［1－（1q）n］.2nq2由于－3<q<1，且q≠－1，因此1q0<|2|<1.limAn1因此n=.2n1q●闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.一串裝修彩燈由燈泡串連而成，每串有

20個燈泡，只需有一只燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡破壞以致一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為A.20

B.219

C.220

D.220－1分析：C120+C220++C2020=220－1.答案：D2.（2004年福建，文

9）已知（

x－

a

）8睜開式中常數(shù)項為

1120，此中實數(shù)

a是常數(shù)，x則睜開式中各項系數(shù)的和是A.28

B.38

C.1或

38

D.1

或28分析：Tr1=Cr8·x8－r·（－ax－1）r=（－a）rC8r·x8－2r.令8－2r=0，∴r=4.∴（－a）4C4=1120.∴a=±2.8當(dāng)a=2時，令x=1，則（1－2）8=1.當(dāng)a=－2時，令x=－1，則（－1－2）8=38.答案：C3.（2004年全國Ⅳ，13）（x－1）8睜開式中x5的系數(shù)為_____________.x1=C8rx8－r·（－1）r=（－1）rC8r83r分析：設(shè)睜開式的第r+1項為Trx2.x令8－3r=5得r=2時，x5的系數(shù)為（－1）2·C28=28.2答案：284（.31n84，則n=_____________.2004年湖南，理15）若（x+）的睜開式中的常數(shù)項為xx33n9分析：Tr1=Cnr（x3）n－r·（x2）r=Cnrr·x2.9令3n－r=0，∴2n=3r.2∴n必為3的倍數(shù)，r為偶數(shù).試驗可知n=9，r=6時，Crn=C69=84.答案：95.已知（xlgxn22，二項式系數(shù)最大項為20000，+1）睜開式中，末三項的二項式系數(shù)和等于求x的值.解：由題意Cnn2＋Cnn1＋Cnn=22，即C2n＋C1n＋C0n=22，∴n=6.∴第4項的二項式系數(shù)最大.C36（xlgx）3=20000，即x3lgx=1000.x=10或x=1.10培育能力6.若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11.求：（1）a1+a2+a3++a11；（2）a0+a2+a4++a10.解：（1）（1+x）6（1－2x）501221111，得=a+ax+ax++ax.令x=1a0+a1+a2++a11=－26，①又a0=1，因此a1+a2++a11=－26－1=－65.（2）再令x=－1，得a0－a1+a2－a3+－a11=0.②+②得a0+a2++a10=1（－26+0）=－32.2評論：在解決此類奇數(shù)項系數(shù)的和、偶數(shù)項系數(shù)的和的問題中常用賦值法，令此中的字母等于1或－1.7.在二項式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，假如它的睜開式里最大系數(shù)項正是常數(shù)項.1）求它是第幾項；（2）求a的范圍.br（axm）12－r·（bxn）rr－（－）+nr為常數(shù)項，則有m（12解：（1）設(shè)Tr1=C12=C12a12rbrxm12rr）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5項.2）∵第5項又是系數(shù)最大的項，C124a8b4≥C123a9b3，①∴有C124a8b4≥C125a7b5.②由①得12111098412111093432ab≥32ab，∵a＞0，b＞0，∴9b≥a，即a≤9.4b4由②得a≥8，∴8≤a≤9.b55b48.在二項式（x+1）n的睜開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求睜開式中的有理項.42x分析：依據(jù)題意列出前三項系數(shù)關(guān)系式，先確立n，再分別求出相應(yīng)的有理項.解：前三項系數(shù)為Cn0，1C1n，1Cn2，由已知C1n=Cn0+1Cn2，即n2－9n+8=0，244解得n=8或n=1（舍去）.Tr1=C8r（x）8－r（24x）－r=C8r·13r4·x4.2r4－3r∈Z且0≤r≤8，r∈Z，4∴r=0，r=4，r=8.∴睜開式中x的有理項為T14，T53591－2=x=8x，T=256x.評論：睜開式中有理項的特色是字母x的指數(shù)4－3r∈Z即可，而不需要指數(shù)4－3r∈44N.研究創(chuàng)新9.有點難度喲！求證：2<（1+1）n<3（n≥2，n∈N*）.n證明：（1+1）n=Cn0+C1n×1+Cn2（1）2++Cnn（1）n=1+1+Cn2×1+Cn3×1+nnnnn2n3+Cn×1=2+1×n(n1)1×n(n1)(n2)+1×nnn2!n2+n3+3!n!n(n1)2111nn<2+2!+3!1111+111[1(1)n1]1）n1<3.明顯（1+1）n=1+1+Cn2+++<2++++=2+22=3－（4!n!222232n112n12×1+Cn3×1++Cnn×1>2.因此2<（1+1）n<3.n2n3nnn●思悟小結(jié)1.在使用通項公式Tr1=Cnranrbr時，要注意：（1）通項公式是表示第r＋1項，而不是第r項.（2）睜開式中第r+1項的二項式系數(shù)Cnr與第r+1項的系數(shù)不一樣.（3）通項公式中含有a，b，n，r，Tr1五個元素，只需知道此中的四個元素，就能夠求出第五個元素.在相關(guān)二項式定理的問題中，經(jīng)常碰到已知這五個元素中的若干個，求另外幾個元素的問題，這種問題一般是利用通項公式，把問題概括為解方程（或方程組）.這里一定注意n是正整數(shù)，r是非負整數(shù)且r≤n.2.證明組合恒等式常用賦值法.●教師下載中心教課點睛1.要正確理解二項式定理，正確地寫出二項式的睜開式.2.要注意劃分項的系數(shù)與項的二項式系數(shù).3.要注意二項式定理在近似計算及證明整除性中的應(yīng)用.4.通項公式及其應(yīng)用是二項式定理的基本問題，要嫻熟掌握.拓展題例