高考題型專題沖刺精講數(shù)學(xué)專題六數(shù)列教師版

nn2011年考型題刺講數(shù)）題

數(shù)【命題特點(diǎn)】數(shù)列是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，分析2010高考試題，從分值來(lái)看，數(shù)列部分約占總分的10%左。等差數(shù)列等數(shù)列的通項(xiàng)公式和式的應(yīng)用以及等差比數(shù)列的基本性質(zhì)一直是高考的重內(nèi)容，也會(huì)是今年高考的重點(diǎn)．對(duì)數(shù)列部分的考查一方面以小題考查數(shù)列的基本知識(shí)；另一方面以解題形式考查等差、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)公式．解答題作為壓軸題的可能性較大，與不等、數(shù)學(xué)歸納法、函數(shù)等一起綜合考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證、運(yùn)算等能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．近年來(lái)解析幾何題一般不再作壓軸題最后一道難度最大的壓軸題可能是數(shù)列和不等式數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合考查的題目，導(dǎo)數(shù)和向量已成為出題重點(diǎn)，探索性問(wèn)題必將融入大題中。高數(shù)列壓軸題綜合考查等價(jià)變換、抽象概括、歸納推理、猜想證明等能力。立意穎，是整份試卷中的“亮”。復(fù)習(xí)建議用質(zhì)、減少運(yùn)算量”在差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識(shí)什么，就求什么要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目標(biāo)，往往能取與“用性質(zhì)”解題相同的效果。．歸納——猜想——證明體現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無(wú)限的辯證思想．學(xué)習(xí)這分知識(shí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，計(jì)算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜、抽象、概括等思維能力，都有重大意義。．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題。．?dāng)?shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題解決的策略往往是把綜合問(wèn)題分解成幾部分，先利用解析幾何的知以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法求解?！驹囶}常見設(shè)計(jì)形式】有關(guān)數(shù)列題的命題趨勢(shì)：與

a

1.數(shù)中S與a的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見題目，要切實(shí)注意n的關(guān)系。從近兩年各地高考試題來(lái)看，加大了對(duì)“遞推公式”的考查。

n探索性問(wèn)題在數(shù)列中考查較多，試題沒(méi)有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以明探性問(wèn)題對(duì)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力有較高的要求。等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)必考。這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中題，也有難題。求和問(wèn)題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問(wèn)題應(yīng)掌握還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和。5．有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不式、數(shù)列與解析幾何等問(wèn)題既是考查的重點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn)?！就黄品椒记伞恐攸c(diǎn)知識(shí)1.使用等比數(shù)列的求和公式，要慮公比與q兩情況，切忌直接用

Sn

(11

n

)2.利用

a

與Sn

的關(guān)系：

a

(n1(nn

求解

a

，注意對(duì)首項(xiàng)的驗(yàn)證。nn3.數(shù)列求解通項(xiàng)公式的方法：A.等差等比（求解連續(xù)項(xiàng)的差或，比例出現(xiàn)字母的注意討論）B.利a與S的系n

(1(nnn歸納-猜想證明法可以轉(zhuǎn)化為等差和等比的數(shù)列（一般大多題有提示，會(huì)變成證明題）（）

n

pa；n

n

(n

；（）

pa

；“

a

q

邊以

q

）或“

a

af(n)

.（）

a

f)

；（）

a

p

.

令

a

)E.應(yīng)迭加（迭乘、迭代）法求數(shù)列的通項(xiàng)：①

a

n

af(n)n

；②

a

f(n).F.對(duì)于分式

aan

，取倒數(shù)，數(shù)列的倒數(shù)有可能構(gòu)成等差數(shù)列（對(duì)于分式形式的遞推關(guān)系）G．定的

f(ann

，形式的，可以結(jié)合

n

n

a

n

，寫成關(guān)于

,ann

的關(guān)系式，也可以寫成關(guān)于n

n

的關(guān)系式，關(guān)鍵就是那個(gè)關(guān)系式比較容易的求解出結(jié)果來(lái)4.數(shù)列求和公式法；性質(zhì)法；拆項(xiàng)分組法；裂項(xiàng)相消法；錯(cuò)位相減法；倒序相加.或轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列和等比數(shù)列利用公式求解解數(shù)的式子中有n結(jié)的注對(duì)n偶數(shù)與奇數(shù)的討論，往往分開奇數(shù)與偶數(shù)，式子將會(huì)變的簡(jiǎn)單5.不等式證明：（）明數(shù)列

n

，可以利用函數(shù)的單調(diào)性，或是放縮（明續(xù)和是

n

，

2

ln(1

形式的項(xiàng)放縮成可以裂項(xiàng)相削形式

1122n（

12nn

者

22

2nn

者是

ln(1)（

ln(1)ln(

）（注意證明式子與對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小關(guān)系者是變形成等差或是等比數(shù)列求和（）明連續(xù)積，若有

n

，

2

的形式，每一項(xiàng)適當(dāng)?shù)姆趴s，變形成迭乘相削形式，或者錯(cuò)位相乘

2n2nnn（）者（）2n2n2利用函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)賦值的方法構(gòu)造最后就是：若是上述形式失敗，用數(shù)學(xué)歸納法比較法放縮通常有化歸等比數(shù)列和可裂項(xiàng)的形式對(duì)于證明存在問(wèn)題、唯一問(wèn)題、大小問(wèn)題等有時(shí)可以嘗試反證法數(shù)列問(wèn)題以其多變的形式和靈活的解題方法倍受高考考試命題者的青睞，歷年來(lái)都是高考命題“熱點(diǎn)”。對(duì)應(yīng)試考生來(lái)說(shuō)，數(shù)列既是重點(diǎn)，又是難點(diǎn)。近年來(lái)，高考中數(shù)列問(wèn)題已逐步轉(zhuǎn)向多元，命題中含有復(fù)合數(shù)列形式的屢見不鮮，從而，這類問(wèn)題成為學(xué)生應(yīng)試的新難點(diǎn)。本文試圖探索這類問(wèn)的求解方法和技巧。通項(xiàng)探求型該題型一般轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列或常見的簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列來(lái)實(shí)現(xiàn)求解，求解過(guò)直接化，求解技巧模式化。大小比較型比兩個(gè)數(shù)列的小關(guān)系型問(wèn)題，一般利用比差法和比商法來(lái)達(dá)到目的，借助于數(shù)的正負(fù)性質(zhì)來(lái)判斷，從而獲解。兩個(gè)數(shù)列的子數(shù)列性質(zhì)型探兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)的有關(guān)性質(zhì)，公共項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是兩個(gè)數(shù)列的子數(shù)列，所以，抓住它們的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵。存在性探索型該問(wèn)題一般是先設(shè)后證，然后反推探索，若滿足題設(shè)則存在，若不合題意或盾，則不存在，它是探索性命題中的一種極為典型的命題形式。參數(shù)范圍型在復(fù)合數(shù)列問(wèn)題中再引入?yún)?shù)，難度更大，探索參數(shù)的取值范圍對(duì)考生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，這類題主要是建立目標(biāo)函數(shù)或目標(biāo)不等式，轉(zhuǎn)化求函數(shù)量值和求解不等式?！镜湫屠}分析】數(shù)列的綜合題難度都很大，甚至很多都是試卷的壓軸題，它不僅考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸分類討論等重要思想，還涉及了配方法、換元法、待定系數(shù)法、放縮法等基本數(shù)學(xué)方法中的高考熱點(diǎn)——探索性問(wèn)題也出現(xiàn)在近年高考的數(shù)列解答題.考一等、比列概與質(zhì)【例1已知數(shù)列

aa常數(shù)1

a2

2n2數(shù)列

n

1

，

bn

（

（1證：

n

項(xiàng)起以2為公的等比數(shù)列；（）S為列n

n

項(xiàng)，且

列求實(shí)數(shù)a的）a>0時(shí)求數(shù)列

最小項(xiàng)。nn當(dāng)n≥時(shí)，

Sna3nS(2a(n∵

{}

是等比數(shù)列∴

SS

4(n≥2)是常數(shù)，∴3a+4=0，即a。3（當(dāng)2時(shí)bn

n

a1)2

n

以

2((an(n

以列

為2a+1，，8a-1，，32a+7，……顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng)。當(dāng)

1a)4

時(shí)，最小項(xiàng)為8a-1；當(dāng)

a

111時(shí)，最小項(xiàng)為4a或8a-1；a)時(shí)，最小項(xiàng)為4a當(dāng)422

時(shí)，最小項(xiàng)為4a或2a+1；當(dāng)

1a(2

時(shí)，最小項(xiàng)為2a+1。點(diǎn)評(píng)：本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性?！纠?已知數(shù)列

1

，

a

a2)

，

（Ⅰ）求

式）若數(shù)列

b1

，

bn

3bn2bn

，

n證明：

2

，

n

(≤24

(a

k

2

．n也就是說(shuō)，當(dāng)根據(jù)（?。┖停áⅲ┲?/p>

時(shí)，結(jié)論成立．2

，

n【點(diǎn)】本考查等差、比數(shù)列的基本運(yùn)算和錯(cuò)位相減法求和的技巧以及方程意識(shí)在解題中的作用屬于中檔題，是高考中常見類.在數(shù)列求和中常見的方法有公式法、分組法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)消法、倒序相加法等，方法的選擇由數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)來(lái)決.考二求列通與和【例32010寧、設(shè)列

1

2,

n

n

2n

（Ⅰ）求數(shù)列

）Sb，求數(shù)列的前n項(xiàng)nn解）由已知，當(dāng)n≥時(shí)

a

n

a

n

a)]nn213(2

2n

。而

a2,1

所以數(shù)列

a

}的通項(xiàng)公式為

n

2

。（Ⅱ）由

n

2

知

n

2n

①?gòu)亩?/p>

2

n

3

5

7

2n

②nn①②

(1)n

3

5

2

2n

。即

Sn

19

[(3nn

2]【例4】2010山、已知等差數(shù)列

3

，265

，

項(xiàng)為．（Ⅰ）求

a

及Sn

1）令b(an

N，求數(shù)列

項(xiàng)和

Tn

．【解析）等差數(shù)列

d，因?yàn)?/p>

3

，

a5

，所以有

a121

，解得所以；=1nn

n(n-1)=2（Ⅱ）由（Ⅰ）知

2n+1n

，所以b

n

1111===-)2（4

，所以Tn

111++42

11n+-)=n44(n+1)

，即數(shù)列

項(xiàng)和

Tn

=

n4(n+1)

?！久}意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵?？既龜?shù)與等的系【例5】2010大全國(guó)I、已知數(shù)列

1

n

n

.（Ⅰ）設(shè)

1c,n

，求數(shù)列）使不等

n

n

成立的

的取值范圍.【命題意圖】本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的定義、遞推數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知和基本技能，同時(shí)考查分析、歸納、探究和推理論證問(wèn)題的能力在題過(guò)程中也滲透了對(duì)函數(shù)與方程思、化歸與轉(zhuǎn)化思想的考.2121（Ⅱ）

aa由得2.12用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)

c

時(shí)

n

n

.（ⅰ）當(dāng)

n

時(shí)，

1aa1

，命題成立；【點(diǎn)】考數(shù)的相關(guān)知識(shí)，具有一定難度，與不等式的證明相結(jié)合，帶有一定技巧.【例6】2010.重慶、在數(shù)列

{}

中，

a1

，

n

can(2n

（

nN

中數(shù)

c0

.（Ⅰ）求

{}

的通項(xiàng)公式）若對(duì)一切

kN

有

a

2k

a

2

，求

的取值范圍【題圖本題要查列定、數(shù)通公數(shù)學(xué)歸納法不式解法及程函思.本的質(zhì)：知推式

a

n

f(n)n

（

，

為數(shù)求項(xiàng)式【析Ⅰ解法一：由

aca1

2(22

，

，

15c

(4

，猜測(cè)

c

n,n

.

下用數(shù)學(xué)歸納法證明nn當(dāng)

時(shí)，等式成立；假設(shè)當(dāng)

時(shí)，等式成立，即

k

c

k

k

，則當(dāng)

時(shí)，

k

cak

k`

(2k[(kk]k(2(2k)ck

，綜上，

n

c

對(duì)任何立解法二：由原式得

aann(2n.令b

nn

1b,

此對(duì)

n

有bn

n

b

n

n

211n(2nncc

，因此

n

，

2

.又

時(shí)上式成立因此

c

n,n

.（Ⅱ）解法一：由

a

2k

a

2

，得

[(2k)

2

2

2

[(2k

2

2

2

，nnnn解法二：由

a

2k

a

2

，得

[(2

2

2

2

[(2k

2

2

2

，因

c

k

，所以

4(2)k20

對(duì)

k

恒成立記

f()4(c2

，下分三種情況討論（?。┊?dāng)

c20

即

或

時(shí)，代入驗(yàn)證可知只有

滿足要.（ⅱ）當(dāng)

c

時(shí)，拋物線

yf(x)

開口向下，因此當(dāng)正整數(shù)

充分大時(shí)，

f()不符合題意，此時(shí)無(wú).（ⅲ）當(dāng)

c

即0或，拋物線

yf(x)

開口向上，其對(duì)稱軸

(1)

必在直線x的邊因，

f(x在

上是增函數(shù)所以要使

f(k

對(duì)

k

恒成立，只需

f(1)

即可.由

f(1)c解得

13或6

.

結(jié)合

或

得

16

或

.綜合以上三種情況，c的值范圍為

(

16

)

.點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意考四數(shù)與數(shù)向等聯(lián)【例72010湖南、列

*

)

中a1

，

n

是函數(shù)

1f(x)xa3

2

)

2

n

2

axn

的極小值點(diǎn)（Ⅰ）當(dāng)a時(shí)，通項(xiàng)a）是否存在，使數(shù)列范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

列？若存在，求a的值解：易知

f

n

()x

2

x=()(令fnn

n

得xa，x12

2

.（）

則

xa

n

時(shí)，

f

n

，

f

單調(diào)遞增；當(dāng)3axnn

2

時(shí)，

f

n

，

f單調(diào)遞減；當(dāng)

x

2

時(shí)，

f

，

fn

單調(diào)遞增.故

fn

在

x

2

時(shí)取得極小.（）

，仿（）得，

f在xn

時(shí)取得極小.（）

a

，則

f

n

，

fn

無(wú)極值231231（Ⅰ當(dāng)=0時(shí)a1

則

1

（知，2

.因

2

2

則1知3

2

4

.因?yàn)?/p>

33

2

則2aa43

.又因?yàn)?/p>

364

2

則2aa5

.由此猜測(cè)：當(dāng)n≥時(shí)，

4n

n

.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥時(shí)

.事實(shí)上，當(dāng)=3時(shí)，前面的討論知結(jié)論成.假設(shè)當(dāng)n=（≥），

成立，則由2）知，

k

ak

2

，從而

k

2k

=

2(k2)

>0.所以

3a

k

2

.故當(dāng)≥時(shí)，an

成立.于是由（2）知，當(dāng)n3時(shí)，a

，a，此3

n

.綜上所述，當(dāng)=0時(shí)，

1

，

a2

，a4n

n

（≥3.（Ⅱ）存在，使數(shù)列

{}n

是等比數(shù)列事上，由（2）知對(duì)任意的，都有nn

2

，則

n

a

n

.即數(shù)列

{}n

是首項(xiàng)為a公比3的等比數(shù)列且

n

n

.而要使an

，即

an2

對(duì)一切n*都立，只需

nn

對(duì)一切n*都立記

n3

，則

b1

1，，3

，….令

則

1y23

<

13

2)

.因x≥時(shí)，

2從而函數(shù)在[x上為單調(diào)遞減.故當(dāng)≥2，數(shù)列

n

單調(diào)遞減，即數(shù)列

n

中最大的項(xiàng)為

.于是當(dāng)a

時(shí)，必有a

n3

.這說(shuō)明，當(dāng)

4a,9

時(shí)，數(shù)列

{}n

是等比數(shù)列當(dāng)

a

4時(shí)，可得a，a992

.而

3a2

=

，由（）

f)2

無(wú)極值，不合題.當(dāng)

1439

時(shí)，可得

1

，

a

，

a

，

a

，…，數(shù)列

{}n

不是等比數(shù)列.當(dāng)時(shí)，可得

，由（）知

f()1

無(wú)極值，不合題.當(dāng)

時(shí)，可得

aa，，a12

，…，數(shù)列

{}n

不是等比數(shù).nnnn綜上所述，存在a，使數(shù)列

{}n

是等比數(shù)列，且a的值范圍為(

.【例8已知數(shù)列

a1

，n

2()12（）

,2

4

）數(shù)列

a；n（）數(shù)列

滿足bn1

1,b2a

，求證：

bnn分析：條件中有類似于前n項(xiàng)的形式出現(xiàn)，提示我們應(yīng)該考慮a＝－(n≥2)因此：

1111))bbb1所以

b

kk

，所bnn點(diǎn)評(píng)：與數(shù)列相關(guān)的不等式證明通常需要“放縮縮的“度”尤為關(guān)鍵，本題中1111))bbbbbbk1考五數(shù)與析何聯(lián)

，這拆分方法是數(shù)學(xué)中較高要求的變【例92010安設(shè)

C

,

C

2

,…,

C

n

,…是坐標(biāo)平面上的一列圓它的圓心都在

軸的正半軸上且2nnnn2nnnn與直線

33

相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n,都與圓Cn

n

相互外切，以r表的徑，已知nn

{}n

為遞增數(shù)列(Ⅰ證明：

{}n

為等比數(shù)列；(Ⅱ)設(shè)

r1

，求數(shù)列

n{}rn

的前

n

項(xiàng)和.本題考查等比數(shù)列的基本知識(shí)，利用錯(cuò)位相減法求和等基本方法，考查抽象能力以及推理論證解：(Ⅰ)將直線

的斜角記為，則有，.設(shè)的心為(n

,0)n

，則由題意知

r1n，rnn

；同理

2rnn

.從而

n

nn

rn

，將

rn

代入，解得

rn

rn

.故

{}n

為公比

q

等比數(shù)列.(Ⅱ)由于

r1

，

，故

rn

n

，從而

nrn

，記

12rrr1

，①Sn3

②①②得

S

n

13n)22∴

9139S()42

.【例10】廣、已知曲線

:,點(diǎn)x,)(0)是線C上的點(diǎn)nn（

n

寫出曲線

C

在點(diǎn)

P

處的切線

l

n

的方程，并求出

l

n

與

軸的交點(diǎn)

的坐標(biāo)；（）原點(diǎn)

O

到

l

n

的距離與線段

的長(zhǎng)度之比取得最大值，試求點(diǎn)

P

的坐標(biāo)

x)n

；（）與k為兩個(gè)給定的不同的正整數(shù)，x與y是足（）中條件的點(diǎn)P的標(biāo)．證明：

sn

(xn(y||s)nnnnnsnnnnnnsn【命題意圖】考查拋物線、切線方程、不等式、點(diǎn)到直線的距離和導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力和數(shù)學(xué)探究能力【解析∵

nx

，∴曲線過(guò)ynnn

的切線l的方程為n

2

nx

，即nxxyn

2n

．令

x

，得

y

2n

，∴點(diǎn)

的坐標(biāo)為

n（）點(diǎn)

O的離n

dn

2n1n

2

x2n

，

Qnn

xn

2

x4n

．n1

1d，∴n，即x時(shí)取得最大值．2nPQ4nn故所求點(diǎn)

n

的坐標(biāo)為

11,2n4

．11（）（），y，是24nn

(mxn(y2

n

2

n

mm

k

n

m

mk

n

現(xiàn)證明

n

n

s()

．

n

12nn

1nn

n

n

n

2

s

，故問(wèn)題得證．【破練1、重慶文、已

19，公差-2的差列，

S

為

項(xiàng)（）求通項(xiàng)

a

及S；（Ⅱ）設(shè)

1，比為3的比列，求數(shù)列

式及其前n項(xiàng).n【解析為

a191

，公差為

的等差數(shù)列所以

a19nnn

，S

n2

(n（Ⅱ）由題意得

nn

n

所以

n

n

n則

Tn1

2

n

0n

n

1n3220n12

2

201211111211112、全國(guó)I文記等差數(shù)列

的前

n

項(xiàng)和為

S

，設(shè)

3

，且

2,a12

成等比數(shù)列，求

S

.解設(shè)數(shù)列

(2的公差為d，題設(shè)有a13

即

a1a1解

a或adS11

n(3n或S2(5)n3、課標(biāo)全國(guó)Ⅰ、設(shè)等差數(shù)

3

，

10

）求

式（）求

n和及使得最的序號(hào)值。n【解析=a+（n-1）=5，a10=-9得

aa解得ad1數(shù)列{

a

}的通項(xiàng)公式為a=11-2n。(2)由1)知

S

=na

n2

d=10n-n

因?yàn)?/p>

S

=-(n-5)+25.所以n=5時(shí)

S

取得最大值。4北文已知

列且

，a3

求

式若等差數(shù)列

滿足

b1

，

ba213

，求

項(xiàng)公式解）設(shè)等差數(shù)列

{}n

的公差

。為aa36

所以解得

a21所以

annn（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列

n

的公比為q

因?yàn)?/p>

b23

所以

即

=3所

n

的前

項(xiàng)和公式為

Sn

n)1

4(1n)5、山東文、已等差數(shù)列

滿足：a3

a26.57

的前n項(xiàng)為S

n

.（）求a

n

及S；n（Ⅱ）令b（求數(shù)列項(xiàng)T.a2【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵。

項(xiàng)和公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)【解析）等差數(shù)列

d，因?yàn)?/p>

3

，

a5

d，所以有，213n3311213n331121解得

a1

，所以

a1)=2n+1n

；

S

=

n(n-1)2

=

+2n

。（Ⅱ）由（Ⅰ）知

2n+1n

，所以b

an

11111===-)22n+1)2n(n+1)4n

，所以

Tn

=

111++42

11n+-)=n44(n+1)

，即數(shù)列

項(xiàng)和

Tn

n=。4(n+1)6、福建文、數(shù)列{

a

}中

1＝，n項(xiàng)3

S

滿足

-Sn

＝

n

（

*

）(I)求數(shù)列

a

}的通項(xiàng)公式以前n項(xiàng)S）若t(S+S),3(S+S)成等數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值本小題主要考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程想、化歸與轉(zhuǎn)化思想滿12分解：(Ⅰ)由Sn+1－n=（）+1得a

1)3

(n∈*)；11又，a)(nN*)從而3

1)]1[1)123

]

(n∈*).1413(Ⅱ)由Ⅰ可S，S，S.從而由S1，（1+S（2+S）成等差數(shù)列可得：3927114)t，得t=2.3937、2010四文、已知等差數(shù)列

{}n

的前3項(xiàng)為6，8項(xiàng)和-。（Ⅰ）求數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)公式）設(shè)

)n(0,N*)n

，求數(shù)列

n

的前n項(xiàng)

nd解：設(shè)}的公差為d由已知得d1

解得a＝＝－1故a＝－n－1)(－1)＝－5(2)由1)的解答得b＝·，是S＝·＋·＋3·＋……＋(n－1)·＋·.n若q≠，上式兩邊同乘以q，得qS＝·q＋q＋·＋…(－1)＋·.將上面兩式相減得到q－＝－(1＋q

)w＝nq－

n于是S＝

n

n(

n

若＝，則＝＋＋＋……＋＝

n2nnn((q2所以，……分(n(82010江西文、正實(shí)數(shù)數(shù)列{}中,a,且{2

2n

}

成等差數(shù)列.(1)證數(shù)列

{}

中有無(wú)窮多項(xiàng)為無(wú)理數(shù)；(2)當(dāng)

為何值時(shí)，

為整數(shù)，并求出使

a200n

的所有整數(shù)項(xiàng)的和.【解析】考查等差數(shù)列及數(shù)列分組求和知識(shí)證明）已知有：a224(n

，從而

a1n

，方法一：取24

，則

（N

*

）用反證法證明這些都無(wú)理數(shù).假a1

為有理數(shù)，則必為正整數(shù)，且a24n

，故k.n

kn

,與(akn

矛盾，所以

（

*

）都是無(wú)理數(shù)，即數(shù)列

{}

中有無(wú)窮多項(xiàng)為無(wú)理;方法二：因?yàn)閍

2n

n()

，當(dāng)

的末位數(shù)字是

時(shí)，

1n

的末位數(shù)字是

和

7

，它不是整數(shù)的平方，也不是既約分?jǐn)?shù)的平方，故此種無(wú)理項(xiàng)也有無(wú)窮多．

24

不是有理數(shù)，因這種

有無(wú)窮多，故這(2)要為整數(shù)，由

(a24(可：nnn

同為偶數(shù)，且其中一個(gè)必為3的數(shù)，所以有

a6n

或

a6mn

當(dāng)

amn

時(shí)，有

22mmn（

必為偶數(shù)以

ammN足n

24(n

即

m(3

（為數(shù)理

N*)有n

2n

2

m(3m（mN*）也滿足

2n

24(

，即

mm

（

mN

*

）時(shí)，

為整數(shù)；顯然

mmn

*

)

和am（N）數(shù)列中的不同項(xiàng)；所以當(dāng)n

m(3m（mN）n2

（mN*a為數(shù)

am（Nn

amn

（m*22nnn131333322nnn1313333有

.設(shè)

中滿足

a200n

的所有整數(shù)項(xiàng)的和為

67339、2010陜、已知

是公差不為零的等差數(shù)列,

成等比數(shù)列解

求數(shù)列的通項(xiàng)由題設(shè)知公差

求數(shù)列

的前項(xiàng)和由解得

成等比數(shù)列得(舍去)故

的通項(xiàng),由等比數(shù)列前n項(xiàng)和式得10、2010湖、已知數(shù)列

{}n

滿足:

1

,

321

,

；數(shù)列

n

滿足：

n

=

a

-

a

（≥）Ⅰ求列

{}n

，

n

的通項(xiàng)公式(Ⅱ)證明:數(shù)列

n

中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.本題要查差列等數(shù)等礎(chǔ)識(shí)及證，時(shí)考推論能（滿13分）解Ⅰ）由題意知，

12n

則c3又

c1

33，則數(shù)c是項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即4

n

n故

1n

n

a2n

n

又

1a2

，

aann

，故

an

1

n（Ⅱ）假設(shè)數(shù)列

三

brt

（

r

）按某種順序成等差數(shù)列.，于數(shù)列

為

b1

1，公比為的比數(shù)列，于是有4

brt

，則只可能有

sr

成立?！?/p>

2

14

14

r

14

t

兩邊同乘

t2

，化簡(jiǎn)得

2tt由于

r

，所以上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故上式不能成立，導(dǎo)致矛盾。三不可能成等差數(shù)故數(shù)列11、2010浙文設(shè)a，為數(shù)，首項(xiàng)為a，差為d的差數(shù)a}的前n項(xiàng)為，滿足

s5

6

＋15＝0.（Ⅰ）若S＝求及a;（）求d的值范圍【解析(Ⅰ解由題意知

s

=

-15S

=-3,

a

=s

=-8所

5ad5ad

,解a=7所

s

=-3,a=7(Ⅱ)解：因?yàn)?/p>

s5

6

+15=0,所以5a+10d)(6a+15d)+15=0,即2a+9da+10d+1=0.故4a+9d)=d-8.以≥8.d的取值范圍為d≤2或d≥.【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列概念、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同考查運(yùn)算求解能力及分析題解決問(wèn)題的能力12、2010陜文、已{是公差不為零的等差數(shù)列＝，且a，成比數(shù)列（Ⅰ）求數(shù){}n的通項(xiàng)（）求數(shù){2}的前n和.1d解（Ⅰ）由題設(shè)知公差d≠，由a＝，，成等比數(shù)列＝，1d解得d＝1，＝（舍去

故}的通項(xiàng)＝1+（n－）×＝n(Ⅱ由Ⅰ）知2=2，等比數(shù)列前n項(xiàng)公式得S+2++2=

1

)

=2-2.13、2010上市文、已知數(shù)列

項(xiàng)為S，且Sn，nN*(1)證：

等比數(shù)列；(2)求列

n

公式，并求出使得

n

n

成立的最小正整數(shù)

.【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和公式、不等式的解法以及方程和函數(shù)思.本題的實(shí)質(zhì)是：已知遞推公式

a

n

pan

（

，

為常數(shù)）求通項(xiàng)公式【解析）由已知得

，，當(dāng)n時(shí)a11nn

，65456nn65456nn14、2010天津文數(shù)列

中a=0對(duì)任意kN*1

2k

,a,a2k

2k+1

成等差數(shù)列公為（Ⅰ明

4

6成等比數(shù)列列

n

2aa2

證明2n【命題意圖】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前項(xiàng)公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力及分類討論的思想方法?！窘馕觯┳C明：由題設(shè)可知，

a，，，a2

，aaa。而5，以，a，a成比數(shù)列。a254（II）解：由題設(shè)可得

a

2k

2

,N*所以

2

k

k

k

k

.由

1

，得

，從而

2kk

k2k

2

.所以數(shù)列

n奇為an偶2

或?qū)憺?/p>

n

24

，

N*

。（III）證明：由（II）可知

，

2k

2

，以下分兩種情況進(jìn)行討論：（）當(dāng)n為數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m

*則2n

nkk

，k22nnn2nk22nnn2n若

，則

mm4kkka222kkkk

k

22k

m112112m1

.所以

nk233nkn，而n4,6,8,....nk（）當(dāng)n為數(shù)時(shí)，設(shè)

n*k

ka

mk23maam2kk2m13mn所n22n

nk2nk2，而n2,nakkn

綜合（）（）知，對(duì)任意n2,nN*,

有

n15、2010江、明以下命題）任一正整數(shù)，都存在正整數(shù)

b,c)

，使得

a2b2,

2

成等差數(shù)列）在無(wú)窮多個(gè)互不相似的三角形

n

,其長(zhǎng)

,cnnn

為正整數(shù)且

a,,c2n

成等差數(shù)列證明）知

12,5,7

成等差數(shù)列，故

a,(52,(72

也成等差數(shù)列，所以對(duì)任一正整數(shù)

a

，都存在正整數(shù)

ba,ab)

，使得

a

22,c

成等差數(shù)列．（）

a,2c2n

成等差數(shù)列，則有

2nnn

，即

c)nnnn

①選取關(guān)于

n

的一個(gè)多項(xiàng)式，例如

(n

，使得它可按兩種方式分解因式，由于4n

2

(2n

2

n)n2)(2

2

nn因此令

n，可得2nn

(4)

②易驗(yàn)證

abc

滿足①，因此

a

b

,c

成

等差數(shù)列，當(dāng)n4時(shí)，有

an

且nn

2

0

因此

,cnnn

為邊可以構(gòu)成三角形．1q2kk所以,1q2kk所以,其次，任取正整數(shù)

m,n(n)

，假若三角形

m

與

n

相似，則有：

22

mm

22

mn

，據(jù)比例性質(zhì)有：m(m222(n2nnmm(m2(2n2n所以

mnn

，由此可得

，與假設(shè)

m

矛盾，即任兩個(gè)三角形

與(,n4,)m互不相似，所以存在無(wú)窮多個(gè)互不相似的三角形其邊長(zhǎng),,cn