（浙江專用）2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第五章平面向量、復(fù)數(shù)第4講數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)案

PAGE1-第4講數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入最新考綱1.理解復(fù)數(shù)的根本概念；2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；4.會進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運算；5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.知識梳理1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念內(nèi)容意義備注復(fù)數(shù)的概念形如a＋bi(a∈R，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中實部為a，虛部為b假設(shè)b＝0，那么a＋bi為實數(shù)；假設(shè)a＝0且b≠0，那么a＋bi為純虛數(shù)復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共軛復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)復(fù)平面建立平面直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫實軸，y軸叫虛軸實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示虛數(shù)復(fù)數(shù)的模設(shè)eq\o(OZ,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝a＋bi，那么向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的長度叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點組成的集合是一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點O為起點的向量組成的集合也是一一對應(yīng)的，即(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R).(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3.復(fù)數(shù)的運算設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，那么①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(〔a＋bi〕〔c－di〕,〔c＋di〕〔c－di〕)＝eq\f(ac＋bd＋〔bc－ad〕i,c2＋d2)(c＋di≠0).診斷自測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“√〞或“×〞)(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.()(2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比擬大小.()(3)原點是實軸與虛軸的交點.()(4)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.()解析(1)虛部為b；(2)虛數(shù)不可以比擬大小答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(2022·全國Ⅰ卷)設(shè)(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，那么a＝()A.－3 B.－2 C.2 D.3解析因為(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，所以a－2＝2a＋1，解得答案A3.(選修2－2P112A2改編)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對應(yīng)的點分別為A，B.假設(shè)C為線段AB的中點，那么點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.4＋8i B.8＋2i C.2＋4i D.4＋i解析∵A(6，5)，B(－2，3)，∴線段AB的中點C(2，4)，那么點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝2＋4i.答案C4.(2022·全國Ⅱ卷)假設(shè)a為實數(shù)，且eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，那么a等于()A.－4 B.－3 C.3 解析由eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因為a為實數(shù)，所以a＝4.應(yīng)選D.答案D5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.解析∵z＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(〔4＋3i〕〔1－2i〕,〔1＋2i〕〔1－2i〕)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i，∴z＝2＋i.答案2＋i6.(2022·溫州調(diào)研)設(shè)a∈R，假設(shè)復(fù)數(shù)eq\f(a＋i,1＋i)(i為虛數(shù)單位)的實部和虛部相等，那么a＝________，||＝________.解析復(fù)數(shù)eq\f(a＋i,1＋i)＝eq\f(〔a＋i〕〔1－i〕,〔1＋i〕〔1－i〕)＝eq\f(a＋1＋〔1－a〕i,2)，由于復(fù)數(shù)eq\f(a＋i,1＋i)(i為虛數(shù)單位)的實部和虛部相等，那么a＋1＝1－a，解得a＝0，那么z＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，那么|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2).答案0eq\f(\r(2),2)考點一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念【例1】(1)i為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為()A.i B.－i C.1 D.－1(2)(2022·東陽中學(xué)期末)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(a＋i,2－i)是純虛數(shù)，那么實數(shù)a＝()A.2 B.eq\f(1,2) C.－eq\f(1,2) D.－2解析(1)因為i607＝(i2)303·i＝－i，－i的共軛復(fù)數(shù)為i.所以應(yīng)選A.(2)∵eq\f(a＋i,2－i)＝eq\f(〔a＋i〕〔2＋i〕,5)＝eq\f(〔2a－1〕＋〔a＋2〕i,5)是純虛數(shù)，∴2a－1＝0且a＋2≠0，∴a＝eq\f(1,2)，應(yīng)選B.答案(1)A(2)B規(guī)律方法(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(2)解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部.【訓(xùn)練1】(1)(2022·河南六市聯(lián)考)如果復(fù)數(shù)eq\f(2－bi,1＋2i)(其中i為虛數(shù)單位，b為實數(shù))的實部和虛部互為相反數(shù)，那么b等于()A.－6 B.eq\f(2,3) C.－eq\f(2,3) D.2(2)設(shè)復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)的模為eq\r(3)，那么(a＋bi)(a－bi)＝________.解析(1)由eq\f(2－bi,1＋2i)＝eq\f(〔2－bi〕〔1－2i〕,5)＝eq\f(2－2b－〔b＋4〕i,5)，由2－2b＝b＋4，得b＝－eq\f(2,3).(2)因為復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)的模為eq\r(3)，即eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3)，所以(a＋bi)(a－bi)＝a2－b2i2＝a2＋b2＝3.答案(1)C(2)3考點二復(fù)數(shù)的幾何意義【例2】(1)(2022·全國Ⅱ卷)設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，z1＝2＋i，那么z1z2＝()A.－5 B.5 C.－4＋i (2)(2022·全國Ⅱ卷)z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，那么實數(shù)m的取值范圍是()A.(－3，1) B.(－1，3)C.(1，＋∞) D.(－∞，－3)解析(1)由題意得z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，應(yīng)選A.(2)由復(fù)數(shù)z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋3>0，,m－1<0，))解得－3<m<1，應(yīng)選A.答案(1)A(2)A規(guī)律方法因為復(fù)平面內(nèi)的點、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)時，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可.【訓(xùn)練2】(1)(2022·邯鄲一中月考)復(fù)數(shù)z＝i(1＋i)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點的坐標為()A.(1，1) B.(－1，－1) C.(1，－1) D.(－1，1)(2)(2022·北京卷)設(shè)a∈R，假設(shè)復(fù)數(shù)(1＋i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，那么a＝________.解析(1)因為z＝i(1＋i)＝－1＋i，故復(fù)數(shù)z＝i(1＋i)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點的坐標為(－1，1)，應(yīng)選D.(2)(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由得a＋1＝0，解得a＝－1.答案(1)D(2)－1考點三復(fù)數(shù)的運算【例3】(1)(2022·全國Ⅲ卷)假設(shè)z＝1＋2i，那么eq\f(4i,z－1)＝()A.1 B.－1 C.i (2)(2022·全國Ⅱ卷)假設(shè)a為實數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，那么a＝()A.－1 B.0 C.1 解析(1)eq\f(4i,zz－1)＝eq\f(4i,〔1＋2i〕〔1－2i〕－1)＝i.(2)因為a為實數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得答案(1)C(2)B規(guī)律方法(1)復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式.(2)記住以下結(jié)論，可提高運算速度：①(1±i)2＝±2i；②eq\f(1＋i,1－i)＝i；③eq\f(1－i,1＋i)＝－i；④eq\f(a＋bi,i)＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).【訓(xùn)練3】(1)(2022·北京卷)復(fù)數(shù)eq\f(1＋2i,2－i)＝()A.i B.1＋i C.－i D.1－i(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(6)＋eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝________.解析(1)eq\f(1＋2i,2－i)＝eq\f(〔1＋2i〕〔2＋i〕,〔2－i〕〔2＋i〕)＝eq\f(2＋i＋4i＋2i2,4－i2)＝eq\f(5i,5)＝i，應(yīng)選A.(2)原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(〔1＋i〕2,2)))eq\s\up12(6)＋eq\f(〔\r(2)＋\r(3)i〕〔\r(3)＋\r(2)i〕,〔\r(3)〕2＋〔\r(2)〕2)＝i6＋eq\f(\r(6)＋2i＋3i－\r(6),5)＝－1＋i.答案(1)A(2)－1＋i[思想方法]1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實