中考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)復(fù)習(xí)和鞏固練習(xí)考點(diǎn)07 一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用（基礎(chǔ)鞏固） (含詳解)

考向07一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用—基礎(chǔ)鞏固【知識(shí)梳理】考點(diǎn)一、一元二次方程1.一元二次方程的定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式為SKIPIF1<0(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接開(kāi)平方法：把方程變成SKIPIF1<0的形式，當(dāng)m＞0時(shí)，方程的解為SKIPIF1<0；當(dāng)m＝0時(shí)，方程的解SKIPIF1<0；當(dāng)m＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解．（2）配方法：通過(guò)配方把一元二次方程SKIPIF1<0變形為SKIPIF1<0的形式，再利用直接開(kāi)平方法求得方程的解．（3）公式法：對(duì)于一元二次方程SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，它的解為SKIPIF1<0．（4）因式分解法：把方程變形為一邊是零，而另一邊是兩個(gè)一次因式積的形式，使每一個(gè)因式等于零，就得到兩個(gè)一元一次方程，分別解這兩個(gè)方程，就得到原方程的解．方法指導(dǎo)：直接開(kāi)平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式為．△>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△＝0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△<0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．上述由左邊可推出右邊，反過(guò)來(lái)也可由右邊推出左邊．方法指導(dǎo)：△≥0方程有實(shí)數(shù)根.4．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程(a≠0)的兩個(gè)根是，那么．考點(diǎn)二、分式方程1.分式方程的定義分母中含有未知數(shù)的有理方程，叫做分式方程．方法指導(dǎo)：（1）分式方程的三個(gè)重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.

（2）分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù)(不是一般的字母系數(shù))，分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，不含有未知數(shù)的方程是整式方程，如：關(guān)于的方程和都是分式方程，而關(guān)于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，換元法．3.解分式方程的一般步驟

(1)去分母，即在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，把原方程化為整式方程；

(2)解這個(gè)整式方程；

(3)驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡(jiǎn)公分母等于零的根是原方程的增根.口訣：“一化二解三檢驗(yàn)”.方法指導(dǎo)：解分式方程時(shí)，有可能產(chǎn)生增根，增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不適合原方程，可使原方程的分母為零，因此必須驗(yàn)根．考點(diǎn)三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用1．應(yīng)用問(wèn)題中常用的數(shù)量關(guān)系及題型(1)數(shù)字問(wèn)題(包括日歷中的數(shù)字規(guī)律)關(guān)鍵會(huì)表示一個(gè)兩位數(shù)或三位數(shù)，對(duì)于日歷中的數(shù)字問(wèn)題關(guān)鍵是弄清日歷中的數(shù)字規(guī)律．(2)體積變化問(wèn)題關(guān)鍵是尋找其中的不變量作為等量關(guān)系.(3)打折銷(xiāo)售問(wèn)題其中的幾個(gè)關(guān)系式：利潤(rùn)＝售價(jià)-成本價(jià)(進(jìn)價(jià))，利潤(rùn)率＝SKIPIF1<0×100%．明確這幾個(gè)關(guān)系式是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．(4)關(guān)于兩個(gè)或多個(gè)未知量的問(wèn)題重點(diǎn)是尋找到多個(gè)等量關(guān)系，能夠設(shè)出未知數(shù)，并且能夠根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)列出方程.(5)行程問(wèn)題對(duì)于相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題是列方程解應(yīng)用題的重點(diǎn)問(wèn)題，也是易出錯(cuò)的問(wèn)題，一定要分析其中的特點(diǎn)，同向而行一般是追及問(wèn)題，相向而行一般是相遇問(wèn)題．注意：追及和相遇的綜合題目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分問(wèn)題增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率；現(xiàn)有量＝原有量+增長(zhǎng)量；現(xiàn)有量＝原有量-降低量．2．解應(yīng)用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．方法指導(dǎo)：方程的思想，轉(zhuǎn)化(化歸)思想，整體代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，數(shù)形結(jié)合的思想用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示與數(shù)量有關(guān)的語(yǔ)句的數(shù)學(xué)思想．注意：①設(shè)列必須統(tǒng)一，即設(shè)的未知量要與方程中出現(xiàn)的未知量相同；②未知數(shù)設(shè)出后不要漏棹單位；③列方程時(shí)，兩邊單位要統(tǒng)一；④求出解后要雙檢，既檢驗(yàn)是否適合方程，還要檢驗(yàn)是否符合題意．【基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練】一、選擇題

1.用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為（）A．B．C．D．2．關(guān)于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（）A．1 B．12 C．13 D．253．關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠04．若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則m的值等于（）A．1 B．2C．1或2D．05．在一幅長(zhǎng)為80cm，寬為50cm的矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條相同寬度的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為SKIPIF1<0cm，那么SKIPIF1<0滿(mǎn)足的方程是（）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．甲、乙兩地相距S千米，某人從甲地出發(fā)，以v千米/小時(shí)的速度步行，走了a小時(shí)后改乘汽車(chē)，又過(guò)b小時(shí)到達(dá)乙地，則汽車(chē)的速度（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0二、填空題7．方程﹣=0的解是．8．如果方程ax2＋2x＋1＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．9．某種商品原價(jià)是120元，經(jīng)兩次降價(jià)后的價(jià)格是100元，求平均每次降價(jià)的百分率．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為SKIPIF1<0，可列方程為_(kāi)_．10．當(dāng)SKIPIF1<0為時(shí)，關(guān)于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；此時(shí)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根是.11．如果分式方程SKIPIF1<0=SKIPIF1<0無(wú)解,則m=.12．已知關(guān)于x的方程SKIPIF1<0－SKIPIF1<0=m有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是.三、解答題13.（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.14．一列火車(chē)從車(chē)站開(kāi)出，預(yù)計(jì)行程450千米，當(dāng)它開(kāi)出3小時(shí)后，因特殊任務(wù)多停一站，耽誤30分鐘，后來(lái)把速度提高了0.2倍，結(jié)果準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的地，求這列火車(chē)的速度.15．已知關(guān)于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有實(shí)數(shù)根，（1）求m的取值范圍；（2）若方程的一個(gè)根為1，求m的值；（3）設(shè)α、β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在實(shí)數(shù)m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，請(qǐng)求出來(lái)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．如圖，利用一面墻，用80米長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地（1）怎樣圍才能使矩形場(chǎng)地的面積為750平方米？（2）能否使所圍的矩形場(chǎng)地面積為810平方米，為什么？ 答案與解析一、選擇題

1.【答案】B；【解析】根據(jù)配方法的步驟可知在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，整理即可得到B項(xiàng)是正確的.2.【答案】C；【解析】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得m=5（此時(shí)不滿(mǎn)足根的判別式舍去）或m=－1.原方程化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<03.【答案】D；【解析】依題意列方程組，解得k＜1且k≠0．故選D．4.【答案】B；【解析】有題意SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.5.【答案】B；【解析】（80+2x）（50+2x）=5400，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0.6.【答案】B；【解析】由已知，此人步行的路程為av千米，所以乘車(chē)的路程為SKIPIF1<0千米。又已知乘車(chē)的時(shí)間為b小時(shí)，故汽車(chē)的速度為SKIPIF1<0二、填空題7．【答案】x=6；【解析】去分母得：3（x﹣2）﹣2x=0，去括號(hào)得：3x﹣6﹣2x=0，整理得：x=6，經(jīng)檢驗(yàn)得x=6是方程的根．故答案為：x=6．8．【答案】a＜1且a≠0；【解析】△＞0且a≠0.9．【答案】SKIPIF1<0；【解析】平均降低率公式為SKIPIF1<0(a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)10．【答案】m=SKIPIF1<0；x1=x2=2．【解析】由題意得，△=(－4)2－4(m－SKIPIF1<0)=0即16－4m+2=0，m=SKIPIF1<0．當(dāng)m=SKIPIF1<0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=2．11．【答案】-1；【解析】原方程可化為：ｘ＝ｍ．∵原分式方程無(wú)解∴ｘ=－1，故代入一次方程有ｍ＝－１．所以，當(dāng)ｍ＝－１時(shí)，原分式方程無(wú)解.12．【答案】當(dāng)ｍ≤SKIPIF1<0且ｍ≠０時(shí)；【解析】原方程可化為：ｍｘ２－ｘ＋１＝０當(dāng)ｍ＝０時(shí)，得ｘ＝１，原分式方程無(wú)解，不符合題意舍去．當(dāng)ｍ≠０時(shí),⊿=１２－４ｍ≥０，解之ｍ≤SKIPIF1<0所以，當(dāng)ｍ≤SKIPIF1<0且ｍ≠０時(shí)，原分式方程有實(shí)數(shù)根．三、解答題13.【答案與解析】（1）部分移項(xiàng)得： SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 ∴x＝2 經(jīng)檢驗(yàn)：x＝2是原分式方程的根. （2）原方程可化為： SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<014.【答案與解析】設(shè)這列火車(chē)的速度為x千米/時(shí)根據(jù)題意，得SKIPIF1<0方程兩邊都乘以12x，得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0經(jīng)檢驗(yàn)，SKIPIF1<0是原方程的根答：這列火車(chē)原來(lái)的速度為75千米/時(shí).15.【答案與解析】解：（1）根據(jù)題意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤；（2）把x=1代入方程得1+2m﹣1+m2=0，解得m1=0，m2=﹣2，即m的值為0或﹣2；（3）存在．根據(jù)題意得α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，∵α2+β2﹣αβ=6，∴（α+β）2﹣3αβ=6，即（2m﹣1）2﹣3m2=6，整理得m2﹣4m﹣5=0，解得m1=5，m2=﹣1，∵m≤；∴m的值為﹣1．16.【答案與解析】設(shè)AD=BC=xm，則AB=（80－2x）m（1）由題意得：x（80－2x）=750解得：x1