中考復習之四邊形之類比探究學案

中考復習之四邊形之類比探究學案知識梳理：解決類比探究問題的一般方法：若屬于類比探究常見的結(jié)構(gòu)類型，調(diào)用結(jié)構(gòu)類比解決．類比探究結(jié)構(gòu)舉例：旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)、中點結(jié)構(gòu)．若不屬于常見結(jié)構(gòu)類型①根據(jù)題干條件，結(jié)合分支條件先解決第一問．②類比解決下一問．如果不能，分析條件變化，尋找不變特征．結(jié)合所求目標，依據(jù)不變特征，大膽猜測、嘗試、驗證．例：已知等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，點E在AC的延長線上，且∠DEC=45°，M，N分別是DE，AE的中點，連接MN，交直線BE于點F．當點D在CB的延長線上時，如圖1所示，易證．（1）如圖2，當點D在CB邊上時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出你的猜想，并說明理由．（2）當點D在BC的延長線上時，如圖3所示，請直接寫出線段MF，F(xiàn)N，BE之間的數(shù)量關系（不需要證明）．【思路分析】里面有多個中點，考慮中位線，先證明易證的思路．連接AD，由中位線定理可知，由題意可證△ACD≌△BCE，得到AD=BE，即，所以．照搬易證的思路解決第一問．連接AD，由中位線定理可知，由題意可證△ACD≌△BCE，得到AD=BE，即，所以．照搬易證的思路解決第二問．連接AD，由中位線定理可知，由題意可證△ACD≌△BCE，得到AD=BE，即，所以．【過程書寫】證明：（1）不成立，理由如下：連接AD，在△AED中，M是DE的中點，N是AE的中點，∴MN是中位線∴在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°∴AC=CB，∵∠ACB=90°，∠DEC=45°∴CD=CE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE∴∴（2）練習題已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D為直線BC上一動點（不與點B，C重合），以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：BC=CF+CD．（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出BC，CD，CF三條線段之間的數(shù)量關系．（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變．①請直接寫出BC，CD，CF三條線段之間的數(shù)量關系；②若正方形ADEF的邊長為，對角線AE，DF相交于點O，連接OC，求OC的長．如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，連接EF并延長，與BA，CD的延長線分別交于點M，N，則∠BME=∠CNE．（1）如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點O，AB=CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，連接EF，與CD，AB分別交于點M，N，判斷OM，ON之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．如圖3，在△ABC中，，點D在AC邊上，且AB=CD．E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，連接EF并延長，與BA的延長線交于點G，連接DG，若∠EFC=60°，判斷△ADG的形狀，并證明你的結(jié)論．已知，在正方形ABCD中，△BEF是以BF為斜邊的等腰直角三角形，取DF的中點G，連接EG，CG．（1）如圖1，若△BEF的斜邊BF在BC上，猜想EG，CG之間的數(shù)量關系和位置關系，并證明．（2）將圖1中的△BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖2所示，則（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）將圖1中的△BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，則（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，P是DF的中點，連接PE，PC．如圖1，當點E在BC邊上時，易證：（不必證明）．（1）如圖2，當點F在AB的延長線上時，線段PC，PE有怎樣的數(shù)量關系？寫出你的猜想，并給予證明；（2）如圖3，當點F在CB的延長線上時，線段PC，PE又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想（不必證明）．如圖1，點E為正方形ABCD邊CB延長線上一點，在△BEF中，∠BEF=90°，EF=BE，連接DF．取DF的中點G，連接CG，EG，易證CG=EG且CG⊥EG．（1）如圖2，將△BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使BE落在AB邊上，此時點F恰好落在BD上，其他條件不變，則線段CG，EG有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？請寫出你的猜想，并加以證明．（2）如圖3，將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，其他條件不變．若AB=3，BE=1，請直接寫出CG的長．圖1圖2圖3已知△ABC是等邊三角形，D是直線BC上一動點（不與點B，C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A，D，E，F(xiàn)按逆時針排列），使∠DAF=60°，連接CF．（1）如圖1，當點D在BC邊上時，求證：①BD=CF；②．（2）如圖2，當點D在BC的延長線上時，其他條件不變，結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出AC，CD，CF之間的數(shù)量關系，并說明理由．（3）如圖3，當點D在CB的延長線上時，其他條件不變，探究AC，CD，CF之間的數(shù)量關系．圖1圖2圖3如圖1，C是線段BG上一點，分別以BC，CG為邊，向外作正方形BCDA和正方形CGEF，使點D落在線段CF上，M是AE的中點，連接DM，F(xiàn)M．（1）求證：DM=FM，DM⊥FM．（2）如圖2，將正方形CGEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°，其他條件不變，探究線段DM，F(xiàn)M之間的關系，并加以證明．（3）如圖3，將正方形CGEF繞點C旋轉(zhuǎn)任意角度，其他條件不變，探究線段DM，F(xiàn)M之間的關系，并加以證明．圖1圖2圖3（1）如圖1，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，AB⊥AC，BD⊥DE，點D在AB邊上．取CE的中點F，連接AF，DF，猜想AF，DF之間的數(shù)量關系和位置關系，并加以證明．（2）將△BDE旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，使點E在AB的延長線上，點D在CB的延長線上，其他條件不變，判斷（1）中AF，DF之間的數(shù)量關系和位置關系是否發(fā)生變化，并加以證明．圖1圖2【參考答案】1．提示：題目中有旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)，證明△ABD≌△ACF（SAS），得到BD=CF，進而得證．（2）．（3）①；②．2．（1）提示：取BD的中點H，連接EH，F(xiàn)H．則FH∥AB，，EH∥CD，；由得，進而可得．（2）△ADG是含30°角的直角三角形，提示：連接BD，取BD的中點H，連接EH，F(xiàn)H．3．（1），EG⊥CG，提示：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半．（2）（1）中的結(jié)論仍成立，提示：延長EG，交CD于點H．證明△EFG≌△HDG（ASA），得到，；再由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可得證．（3）（1）中的結(jié)論仍成立；提示：過點D作DH∥EF，交EG的延長線于點H，連接CE，CH．4．（1），提示：延長EP，交AD于點G．證明△DGP≌△FEP（ASA），得到，DG=FE；證明△CGD≌△CEB（SAS），得到，由三線合一得，PE⊥PC，進而可得．（2）．5.（1）CG=EG且CG⊥EG，（2）．6.（1）提示：證明△ABD≌△ACF，得到BD=CF，進而得到．（2），（3）．7.（1）提示：延長DM，交EF于點H．證明△ADM≌△EHM（ASA），得到AD=EH，DM=HM，進而得到△DFH是等腰直角三角形，所以DM=FM，DM⊥FM．（2）DM=FM，DM⊥FM，提示：延長DM，交CE于點H，連接DF，HF．證明△ADM≌△EHM（ASA），得到AD=EH，DM=HM，再證明△CDF≌△EHF（SAS），得到DF=HF，∠CFD=∠EFH，進而得到△DFH是等腰直角三角形，則可得證．（3）DM=FM，DM⊥FM提示：過點E作EH