定積分講義與例題解析

定積分及其用積分學的另一個基本概念是定積分．本章我們將闡明定積分的定義，它的基本性質(zhì)以及它的應用．此外，我們要重點講述溝通微分法與積分法之間關(guān)系的微積分學基本定理，它把過去一直分開研究的微分和積分彼此互逆地聯(lián)系起來，成為一個有機的整體．最后，我們把定積分的概念加以推廣，簡要討論兩類廣義積分．定分概與質(zhì)1.

定積分定義我們先來研究兩個實際問題．例1

計算曲邊梯形的面積設(shè)yfx)為閉區(qū)間[]上的連續(xù)函數(shù)，且

f(x．由曲線f()，直線x,及x所圍成的平面圖形(圖6稱為f)[a,b]上的曲邊梯形，試求這曲邊梯形的面積．)o

x

i

i

x

i

x

b

圖6—1我們先來分析計算會遇到的困難．由于曲邊梯形的高f()是隨x變化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面積公式去計算它的面積．但我們可以用平行于y的直線將曲邊梯形細分為許多小曲邊梯形如圖—所示在每個小曲邊梯形以其底邊一點的函數(shù)值為高，得到相應的小矩形，把所有這些小矩形的面積加起來，就得到原曲邊梯形面積的近似值．容易想象，把曲邊梯形分得越細，所得到的近似值就愈接近原曲邊梯形的面積，從而運用極限的思想就為曲邊梯形面積的計算提供了一種方法．下面我們分三步進行具體討論：1

nn(1)分割nn

[a,b]中任意插分點x02

x

n

xn把[a,b]成n間[][]?[x01

n

,]為nii

i

i,

．(2)近似求和

在每個子區(qū)[xx](i,)上任取一，作和式iii

f

i

ii(3)取極限

當上述分割越來越(分點越來越多，同時各個子區(qū)間的長度越來越小)時和式1.1)的值就越來越接曲邊梯形的面積(記因此當最長的子區(qū)間的長度趨于零時，就有

f

i

．i例2

i求變速直線運動的路程設(shè)某物體作直線運動，其速度時間t的連續(xù)函數(shù)t試求該物體從時刻到時t段時間內(nèi)所經(jīng)過的路．因v(變量，我們不能直接用時間乘速度來計算路程．但我們?nèi)钥梢杂妙愃朴谟嬎闱吿菪蚊娣e的方法與步驟來解決所述問題．(1)用分點012

n

bn把時間區(qū)[,]任意分n子區(qū)間(圖—：[t,][t,]，?t012

n

,t]．n每個子區(qū)間的長度ii

i

(i)o

at

t

t

t

t

b

t圖—(2)在每個子區(qū)[t,](i)上任取一，作和式iii2

nnnbnnnnbn

v

i

．ii(3)當分點的個數(shù)無限地增加，最長的子區(qū)間的長度趨于零時就有

v

i

i

si以上兩個問題分別來自于幾何與物理中，兩者的性質(zhì)截然不同，但是確定它們的量所使用的數(shù)學方法是一樣的，即歸結(jié)為對某個量進行“分割、近似求和、取極限或者說都轉(zhuǎn)化為具有特定結(jié)構(gòu)的和式(1.1)的極限問題，在自然科學和工程技術(shù)中有很多問題，如變力沿直線作功，物質(zhì)曲線的質(zhì)量、平均值、弧長等，都需要用類似的方法去解決，從而促使人們對這種和式的極限問題加以抽象的研究，由此產(chǎn)生了定積分的概念．定義6.1.1

設(shè)函數(shù)f(x)[a,b]有定義，(ab)內(nèi)任個分點x02

n

xn把[a,b]成n間[][]?[01

n

,]為nii

i

i,．在每個子區(qū)[xx](i,)上任取一稱為介iii點)，作和式

i

f

i

并i

[a,]樣劃分成子區(qū)間，也i1不論在子區(qū)[xx]上怎樣取介只要iii

0時和式(1.1)總趨于確定的I，則稱這極限值I為函數(shù)(x)在區(qū)[b]上的定積分，記作

f(x)，即a

f(xdxIlim

i

f

i

i

其中(x稱為被積函數(shù)x為積分變量[b]稱為積分區(qū)間分別稱為積分的下限和上限．關(guān)于定積分的定義，再強調(diào)說明幾點：(1)區(qū)[]劃分的細密程度不能僅由分點個數(shù)的多少或n大小來確定．因為盡管n很大，但每一個子區(qū)間的長度卻不一定很?。栽谇蠛褪降臉O限時，必須要求最長的子區(qū)間的長

0，這時必然．(2)定義中的兩“任取意味著這是一種具有特定結(jié)構(gòu)的極限，它不同于第二章3

f(t)f(x講述的函數(shù)極限．盡管和(1.1)著f(t)f(x但

0卻都以唯一確定的值為極限．只有這時，我們才說定積分存在．(3)從定義可以推出定積分(1.2)存的必要條件是被積函數(shù)

f(x)[a,b]有界．因為如果不然，當[,]任意劃分子區(qū)間后，f()至少在其中某一個子區(qū)間上無界．于是適當選取介點，能使i

i

)的絕對值任意地大，也就是能使和式1.1)的絕對值任意大，從而不可能趨于某個確定的值．(4)由定義可知，當fx)在區(qū)間[b]上的定積分存在時，它的值只與被積函數(shù)f(x以及積分區(qū)[a,]關(guān)，而與積分變量x無關(guān)，所以定積分的值不會因積分變量的改變而改變，即有

fx

f(u)．

(5)我們僅對的情形定義了積分

f(x，為了今后使用方便，對b與b的情況作如下補充規(guī)定：當b，規(guī)定

fx)0

；當時，規(guī)

a

f(x根據(jù)定積分的定義，我們說：1f()[ab]上的曲邊梯形的面積就是曲線的縱坐標(x從b的定積分A

f(x．積意若f(x)則由f

i

)及可知i

fx)0曲邊梯形位軸的下方就認為它的面積是負的當()在區(qū)間[b]上的值有正有負時，定積分

f(x的值就是各個曲邊梯形面積的代數(shù)和，如圖63所示．y

)

圖6—34

[(x)gdxbnnbbnnb例2中物體從時刻a到時所經(jīng)過的路程就是速(t)在[(x)gdxbnnbbnnb

vt)．對應于導數(shù)的力學意義，我們也說它是定積分的力學意義．當f(x)區(qū)[a,]上的定積分存在時，就稱(x)[b]上可積，說明(明：f(x[b]上可積的必要條件是f()[,]上有界．下面是函數(shù)可積的兩個充分條件，證明從略．定理6.1.1(1)若f(x)[b]上連續(xù)，則f()[ab]上可積．(2)若f(x)[b]上有界，且只有有限個間斷點，則(x)[b]上可積．2.定積分的本性質(zhì)定理6.1.2(積分線性性(1)若(x)[b]上可積為常數(shù)，(x[a,]上可積，且

kf(xdx()dx

(2)若(x)，(x)[b]上可積，則(x)g(x)[]上也可積，且

f(x

g(x．

證根據(jù)定義，有

a

kfxlimklimkiiiiii

a

f(xdx．所以(式成立．類似可證(式成立．定理更一般的結(jié)論是a

j

k

j

f()dxkjj

j

a

f()．j其中f()(j)[a,]可積k()(j)常數(shù)．jj定理6.1.3(積分對區(qū)間的加性)設(shè)f()是可積函數(shù)，則5

ffxn

fx())dx

c何順序都成立．

證

先考的情形由于f()[b]可積所以不論將區(qū)[ab]何劃分，介如何選取，和式的極限總是存在的．因此，我們始終作為一個分點，i并將和式分成兩部分：

fii

ff，iiii其,

分別為區(qū)[c][,b]上的和式最長的小區(qū)間的長

0上式兩邊取極限，即得(1.5)．對于其它順序，例c，有

fx

fx)dx，

所以

fx()()dx

f(x)

f(x)式仍成立．定理6.1.4(積分不等式質(zhì))若f)，(x)[ab]上可積，且f()g()則

f(x)

g(x)

證

g(x

f(x

[x)(x)]dx

lim[g()f．iiii由假設(shè)知g)f()0ii從而有

，且

(in)，所以上式右邊的極限值為非負，i

g(x)()式成立．從定理刻推出

6

f(x)dx推論6.1.1f(x)dx

若(x)[a,b]上可積，且()，則

fx)0．推論6.1.2(積分估值)x[a,]f(x)M，則

若f(x)[a,]上可積，且存在常數(shù)mM，使對一切m(b)

f(xM()．推論6.1.3

若f()[,b]上可積，則f(x)[b]上也可積，且

b

f(dx．這里f)[a,b]上的可積性可由f()的可積性推出，其證明省略．推論(嚴格等式)f(x0則

設(shè)(x)[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，若[,]上f(x)0且

fx)0．證

由假設(shè)知，存在x(,)使f(x)根據(jù)(x)的連續(xù)性，必存在x的鄰000(0

,x0

)[]，使在其中f(x

f(x)0

，從而有

b

x)dx

x

x)dx

x

(x)dx

b

(x)dxa

a

x

x

xx

f(x)dx

f(x)0

)00

，所以結(jié)論成立．定理6.1.5(積分中值定理若(x)[b]連續(xù)，則[b]至少存在一使得

f(x

)(b．

證

因為f(x)[a,]上連續(xù)，所以()[,]上可積，且有小和最大值M．于是[,]上，m(b)

f(x)M()，7

b或bm

ba

ba

M．根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，上至少存在一點，使ba

b

所以(成立．積分中值定理的幾何意義如圖—4所示．yyf(x)

a

b

圖6—4若上續(xù)且非負，則上的曲邊梯形面積等于與該曲邊梯形同底

ba

b

為高的矩形面積常把

ba

ba

稱為函數(shù)上的積分均值，而這正是算術(shù)平均值概念的推廣．定理的積分中定理)若上連續(xù)g(x)上不變號，則上至少存在一點，使得ba

a

(1.8)證

不妨設(shè)上0，則

b

，且上amgMg，其m分別為的最小值與最大值．由此推出m

bbbaaa

．若

ba

則由上式知8

bbbbxbbbbx

f(xx)dx0從而[,]上任取一點作式都成立．若

(x)，則得m

a

f()gxdx)

M．a(chǎn)按連續(xù)函數(shù)的介值定理推出，[a,]上至少存在一使a

f()(x)dx)

(

)a所以(式也成立．微分的本理基公若已知(x)[b]的定積分存在怎樣計算這個積分值呢？如果利用定積分的定義，由于需要計算一個和式的極限，可以想象，即使是很簡單的被積函數(shù)，那也是十分困難的．本節(jié)將通過揭示微分和積分的關(guān)系，引出一個簡捷的定積分的計算公式．

微積分基本定理1.設(shè)函數(shù)(x)在區(qū)[b]上可積，則[a]的每個x，f(x)[a]上的定積分ft)dx存在，也就是說有唯一確定的積分值與x對應，從而[,b]上定義了一個新的函數(shù)，它是上限x的函數(shù)，記(，即)()，[]．這個積分通常稱為變上限積分．定理6.2.1

設(shè)(x)[a]上可積，x)

f(t)[,]的連續(xù)函數(shù)．證

任取xa,]，使a]．根據(jù)積分對區(qū)間的可加性，x)

f(t)f(t

f(t)于f(x)在[a,]而有在M0對一切x[a,]有f(x，于是9

(x)

f()dt．故當0時有)0．所以(x在連續(xù)，由x[a,]的任意性即知x)[a,b]上的連續(xù)函數(shù)．定理6.2.2(原函存在定)設(shè)(x)[,b]上連續(xù)，)(t[,b]上可導，且f(x)，x,]，也就是(x)是()[,b]的一個原函數(shù)．證

任取xa,]使ab]應用積分對區(qū)間的可加性及積分中值定理，有x)

ft)(

，或

f(x

)，

(0

．

由于(x[,]上續(xù)，limf0故在(中0極限，得

f()．f()．所(x[ab]上可導f()由a,]任意性推x是()在[a,b]上的一個原函數(shù)．本定理回答了我們自第五章以來一直關(guān)心的原函數(shù)的存在問題．它明確地告訴我們：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)，并以變上限積分的形式具體地給出了連續(xù)函數(shù)fx)一個原函數(shù)．回顧微分與不定積分先后作用的結(jié)果可能相差一個常數(shù)這里若f(x)寫成ddx

a

ft)dtf)或從dx)()推得10

t)(t)x，

就明顯看出微分和變上限積分確為一對互逆的運算．從而使得微分和積分這兩個看似互不相干的概念彼此互逆地聯(lián)系起來，組成一個有機的整體．因此定6.2.2也被稱為微積分學基本定理．推論6.2.1設(shè)()為續(xù)函數(shù)，且存在復合f[皆為可導函數(shù)，則

()]與f[()]，其x，)ddx

x)()

f(t)dtf[x[x)]

證加性，有

x)f(t)dt，a為f(x)連續(xù)區(qū)間內(nèi)取定的點．根據(jù)積分對區(qū)間的可

()

dt

x

)

x)

(t)x)

a

ax)])]由于f(x)續(xù)，所為可導函數(shù)，x)和)皆可導，故按復合函數(shù)導數(shù)的鏈式法則，就有ddx

x)()

f(t)dtf[x)][x．所以(式成立．例

證明：若(x)(續(xù)，且滿足(x)

ft)dt，則f()．證由假設(shè)知()

ft)dt(，且

f(x)．令F)fx)e，x則F

f()e

．所以F()(由于F(0)f可得F(x)0從而有f)F()

x

0，(11

11例

lim

cosxx

．解應用洛比達法則，原limx0

x(cosx)2

sin1limexx0x2

．2.牛頓——布尼茲式定理6.2.3設(shè)()[a,]上連續(xù)，F(xiàn)()(x)[,b]上的一個原函數(shù)，則

fxF(bF(a)

證

根據(jù)微積分學基本定理，(t)dt是(x)[,b]上的一個原函數(shù)因為兩個原函數(shù)之差是一個常數(shù)，所以

f(t)dtF(C

，

xa,b]．上式中令()，于是

ft)Fx)F(a)

．再令xb，即得(式．在使用上，公式(2.3)也常寫作

f(x(x)]b，或

fxF(x

．公式(就是著名的牛頓——萊布尼茲公式簡稱N—L公式它進一步揭示了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系：f(x)[a,]上的定積分等于它的任一原函數(shù)(x)[,]上的增量，從而為我們計算定積分開辟了一條新的途徑．它把定積分的計算轉(zhuǎn)化為求它的被積函數(shù)(x的任意一個原函數(shù)，或者說轉(zhuǎn)化為求(x)的不定積分．在這之前，我們只會從定積分的定義去求定積分的值，那是十分困難的，甚至是不可能的．因此N—L公式也被稱為微積分學基本公式．例3

計算下列定積分(1)

x4

；

(2)

0

3a

dxa2

(a；(3)

2dx；

(4)

2

．

12

3131解

(1)原(4)

20

．1x(2)原式arctana

0

1arctana

3

a

．x(3)原式2ln(1221[2ln(12)]．2

2

0(4)原

2

(x)

x

x

2

．00例4設(shè)f(x)31x

，

f(x)解

f(x

(

dx

(3)

x1x)．0231定分換積法部積法有了牛頓——萊布尼茲公式，使人感到有關(guān)定積分的計算問題已經(jīng)完全解決．但是能計算與計算是否簡便相比，后者則提出更高的要求．在定積分的計算中，除了應用N—L公式，我們還可以利用它的一些特有性質(zhì)，如定積分的值與積分變量無關(guān)，積分對區(qū)間的可加性等，所以與不定積分相比，使用定積分的換元積分法與分布積分法會更加方便．1.

定積分換元積分法定理6.3.1

設(shè)函數(shù)(x)[a]上連續(xù)

(t)在I(I

[

)上有連續(xù)的導數(shù)，并

a

(t)(I)則

f(x[

證

由于(x)ft)]皆為連續(xù)數(shù)所以它們存在原函數(shù)F()是f(x)數(shù)，由復合函數(shù)導數(shù)的鏈式法則有13

01sint301sint3([t)])

(x)f[，可見F

()]是t)]一個原函數(shù)．利用N—L公式，即得

f[)])]

F[

(bF)

f(x)所以(式成立．公式(稱為定積分的換元公式若從左到右使用公式(代入換元)換元時應注意同時換積分限．還要求換

(t)在單調(diào)區(qū)間上進行．當找到新變量的原函數(shù)后不必代回原變量而直接用—L公式，這正是定積分換元法的簡便之處．若從右到左使用公式(湊微分換元)，則如同不定積分第一換元法可以不必換元，當然也就不必換積分限．例1

計算下列定積分(1)

1

dx1

；

(2)

x1

dx(3)

cos5sindx；

(4)

sinxdx．解

0(1)令1則

1，dt，且t0變到時，從1減23到．于是4原

tt

2

0

(1)dtt2t

ln2．(2)令xsint則t，且t從變到

1時，從增到．于是2原0

sintcost

ttdt0．120(3)原式

cos0

5

d

cos6

1．60(4)原

xdx

x(cosx)dx0

xdsin

xdsin

14

fx)afx)a例2

224．5設(shè)(x)[]上連續(xù)，證明：

f(x

f(x)．

特別當(x為奇函數(shù)時

f(x；當(x為偶函數(shù)時，

f(x(x．

證：因為

fx)

a

fx)，

fx中得

f(x))．

0所以

f(x)

[fx)f)]dx．

當(x)為奇函數(shù)時，()(，故f(xf()從而有

f(x．當(x)為偶函數(shù)時，()f()故(xf()f()，從而有

f(x

f(x)．

例3設(shè)fx)[0,1]的連續(xù)函數(shù)，證明：(1)

f(sindxdx；0

0(2)

f(sin2

fxdx0

0(3)

xf(sindx

f0

0證：(1)令

2

，且t從變到

時，x從2

減到．于是

f(sindx[(sin)]

f(cost)dt

f(cosdx．015

(2)

f(sinx)

f(sinx)

f(sin)，在

fx中，令x

，得

fx)

f[(sin

)](sint)dt

fx)．0所以0

f(sinf(sin)．0(3)令x則

xf(sinxdx

)f)]

)f(sint)

))

．所以0

xdx

2

0

fxdx

(sinx)dx(利用(2)的結(jié)果)．0例2例3的結(jié)果今后經(jīng)常作為公式使用．例如我們可以直接寫出

x

cod，

xsinxdx

0

02.定積分的部積分定理6.3.2(x(x)[ab]上連續(xù)的導數(shù)，則

u(x)

dx((x)

v()．

證

因為[u()v()]x)

v()，所(x(x)u(x)v

v()[ab]上的一個原函數(shù)，應用N—L公式，得

[u()vv(x)]()vx

，利用積分的線性性質(zhì)并移項即得(3.2)式．公式(稱為定積分的分部積分公式，且簡單地寫作

udv

v

16

1e例4計算下列定積分：1e(1)

arcsinxdx；

(2)

e

lnxdx；0

(3)

exxdx；

(4)

edx．0

解

(1)原式xx

0

0

x1

2

dx1arcsin122

2

0

12

32

(2)原式

e

(x)

e

lnxdx

1ln12(1)．e

ln

e1

1

(3)

0

xxdxxx0

0

xdx0

x

e

x

xdx．0所以

e0

1sixd(．2(4)令x則

ex

e

t

e

0

42．e例

(1)證明

n

(

；0

0(2)求I

n

0

n

(

)值．0解

由例3(1)即知成立．(2)當I

n

0

n

xdx

n

xxn0

0

n

x

2

xdx17

1212n(1sindx0I

n

nI

n所以In

(n

I．n于是為奇數(shù)時有In

n4；n5為偶數(shù)時有In

nn．nn4容易得出I2

sin，I102xdx．0440所以為正奇數(shù)；nnIn,n為正偶數(shù)．n44公式(稱為沃利斯(積分公式，它在定積分的計算中經(jīng)常被應用．

例6

求

xsin

的值．解

J

10

0

10

xdx

9104

35260

．

廣積我們在前面討論定積分時，總假定積分區(qū)間是有限的，被積函數(shù)是有界的．但在理論上或?qū)嶋H問題中往往需要討論積分區(qū)間無限或被積函數(shù)為無界函數(shù)的情形．因此我們有必要把積分概念就這兩種情形加以推廣，這種推廣后的積分稱為廣義積分．18

b1b111.b1b11

無窮限廣義積分定義6.4.1可積，則稱形式

設(shè)函數(shù)f(x)[a上有定義且對任何實bf()[,b]上

f(x)

為函數(shù)(x[,上的廣義積分．若極限lim

b

f(x)dx

()

b存在，則稱廣義積分(4.1)收斂，并以這極限值為(的值，即

f(x)dxlim

b

fx)．a(chǎn)

b若極限(4.2)不存在，則稱廣義積分發(fā)散．由定義可知，我們討論廣義積分4.1)的斂散性，其含義就是考察變上限積分F(b)

fx)

(b)b極限是否存在．例1討論廣義積2解任，有

1的斂散性．xxF()sinx1cos，xb因為F(blimcosbb所以這廣義積分收斂，且

1b

，

11．x若(x)[上非負，且廣義積分(4.1)收斂，則積(值從幾何上解釋為由曲線yf()與x及x軸所圍向右無限延伸區(qū)域的面積(圖65陰影部分)．

a圖—19

dxdx00btde1類似地利dxdx00btde1lim

b

f(x)dx

(a)定義廣義積

af(x)dx的斂散性．廣義積分f()定義為

f(x

f(x

f(x)

其中a為任一有限實數(shù)．它當且僅當右邊的兩廣義積分皆收斂時才收斂，否則是發(fā)散的．根據(jù)積分對區(qū)間的可加性，易知(4.3)左邊的廣義積分的斂散及收斂時積分的值都與實a的選取無關(guān)．例2計算廣義積分

2

的值．解

2

dx11

2

lima

dx1

2

limb0

dx1

2limarctana(arctan))ab2為了書寫的統(tǒng)一與簡便，以后在廣義積分的討論中，我們也引用定積分也稱常義積分)—L公式的記法．如例可寫成

2

arctanx例3

計算廣義積tedt(p解0

tedt

t0

0

e01ep

0

1p2例4證

證明廣義積分1當p時，

dxx

當時收斂，當時發(fā)散．dxdxln1xp1x1當，

1

1xx1p

1

1

pp

．20

baaabaaa所以此廣義積分當p收斂，其值為無界函的廣義積分2.

p

；當時發(fā)散．定理6.4.2

設(shè)(x)(,b]有定義，而的右鄰域內(nèi)無界．若對任何正f(x[

b]上可，則稱形式

f(x)．

為(x(ab]上廣義積分．若極限lim

b

f(x)dx，

a存在，則稱廣義積分(4.4)收斂，并以這極限值為它的值，即

b

f(x)dxlim

b

f(x)dx．a(chǎn)

0若極限(4.5)不存在，則稱廣義積分發(fā)散．與無窮限廣義積分一樣，記號4.4)的含義是指考察變下限積分F

)

fx，

b

0

時的極限情形．這里a稱為函數(shù)f()瑕點，因此無界函數(shù)的廣義積分也稱為瑕積分．同樣也利用極限lim

b

fx)dx

0

a來定b為瑕點的廣義積分的斂散性．若(x)的瑕c在閉區(qū)[]的內(nèi)部，ac，則廣義積

f(x)定義為

fx)()dx(x)

c它當且僅當右邊兩個積分都收斂時才收斂，否則左邊的廣義積分發(fā)散．例5

計算廣義積分0

dxa2

(a0)．解

xa為函數(shù)

a

122

的瑕點．0

dxa22

lim

dxa

xlim[arcsin]a

a021

111111f()f(a111111f()f(a)arcsinarcsin1．a(chǎn)2例6

討論廣義積

dxx

的斂散性．解

x為函數(shù)

1x

的瑕點．由于lim

2

11limx所以廣義積分

dxx

發(fā)散，從而推出廣義積分

dxx

發(fā)散．注意，如果我們疏忽了是瑕點，就會得出錯誤的結(jié)果：

2

1

例7證

證明廣義積q，

dxxq

當收斂，發(fā)散．0

dxdxlnxxqx0時，

1dx1,q

．所以這廣義積分q時收斂，其值為

11

，當q時發(fā)散．3.兩種廣義分的聯(lián)任何無界函數(shù)的廣義積分都可以化為無窮限廣義積分．設(shè)(x)(ab]內(nèi)任何閉區(qū)間上都可積瑕點，則

b

fx)lim

b

f(x)．a(chǎn)

a若u

1x

，就有其)

bau2111f()k．于是u2ub

b

(x)dxlim

)

)du，a

kk這時上式右邊是無窮限廣義積分．22

bb111同樣，對于無窮限廣義積bb111a

fx)limba

f(x)，只要

ax

，就有a

f()

1

aaf()duuu

du，于是

f()

du．其中(u

aaaf()u0是它的瑕點，即上式右邊為無界函數(shù)的廣義積分．uu6.5定分應定積分是具有特定結(jié)構(gòu)的和式的極限．如果從實際問題中產(chǎn)生的量幾何量或物理量)在某區(qū)[a,b]上確定，當[,]分成若干個子區(qū)間后，[b]上的量Q等于各個子區(qū)間上所對應的部分和(稱量對區(qū)間具有可加性們就可以采分割、近似求和、取極限”的方法，通過定積分將量求出．現(xiàn)在我們來簡化這個過程在區(qū)[a,]上任取一有增(等于它的微分dx)，相應地量()就有增，它是Q分布在子區(qū)[,x]上的部分量．的近似表達式為f(x)dxdQ，則以()dx為被積表達式求ab的定積分．即得所求量Q

f(x)這里dQ(x)稱為量的微元元素這種方法稱為微元法雖然不夠嚴密，但具有直觀單便等特點結(jié)論正確此在實際問題的討論中常常被采用節(jié)我們將講述微元法在幾何與物理兩方面的應用．1.平面圖形面積1)直角坐標的面積公式根據(jù)定積分的幾何意義f)是區(qū)[b]上的非負連續(xù)函數(shù)(x)[b]上的曲邊梯形(圖6—1)的面積為23

A()若(x)[b]不都是非負的(圖6，則所圍面積為

A

f(xdx．

一般地，若函數(shù)(x)和()[a,]連續(xù)且總有(x)f(x)，則由兩條連續(xù)2曲線yf(x)，f(x)與兩條直線，圍的平面圖(6—6)的面積元素為f(x)(x)]．所以A

[f(x)f(x．

f(x2o

x

如果連續(xù)曲線的方程為

f(x)1圖6—6(y)0)則由它與直線yc，yd(cd)y軸所圍成的平面圖形(圖—的面積元素為)dy．所以A

()dy．

y

x

(y)o圖6—724

844y3aa其它情形也容易寫出與公式(、844y3aa例1

求由兩條拋物線y

2

x，y

2

所圍圖形圖6—的面積．解

聯(lián)立

y2xy2

x

解得

y

xx及x．所圍的面積為(23．33

o

圖6—8

例2解

求由拋物線聯(lián)立

2

與直線yx所圍圖形(圖—9)的面積．

y2y

yx解得曲線與直線的交點(2,(8,4)．

o

以為積分變量，則所求面積為

2A

2x2x)dx

24)dx

圖6—92x

20

218．22若以y為積分變量，則A(yy．2從例2出，適當選取積分變量，會給計算帶來方便．例3解4．

2求橢圓的面積(圖6—．a(chǎn)b由于橢圓關(guān)于x軸與y軸都是對稱的它的面積是位于第一象限內(nèi)面積的0

ba

a2dx25

atat4bax2arcsin20在例3，若寫出橢圓的參數(shù)方程

．

xacsyi

)，

ax應用換元公式得A4sint(sint)dt4ab2tdt4

4

．

圖6—一般地，若曲線由參數(shù)方程x),)(給出，其中),t)

上連續(xù)，a,

，則由此曲線與兩直線x及軸圍圖形的面積為A

t)

．

例4

求由擺線xtsint),y(1cos的一(0橫軸所圍圖形(圖6—11)的面積．

解

Aa(1costt)

2

20

2i)(令2

t2

)

2aa

20

4

20

oxa

2

34

2

．圖6—2)極坐標的面積公式設(shè)圍成平面圖形的一條曲邊由極坐標方程r(

給出，其r(

)

上連續(xù)曲rr

)與兩條射線

所圍成的圖形稱為曲邊扇形(圖—．試求這曲邊扇形的面積．26

212212rr

)

d

圖6—應用微元法．取極角為積分變量，其變化區(qū)間為[

相應于任一子區(qū)間[

的小曲邊扇形面積近似于半徑為r

)，中心為d

的圓扇形面積．從而得曲邊扇形的面積元素dA

12

r(所求面積為

12

r

例

求心形ra(1

)所圍圖形(圖—的面積．解

利用對稱性，所求面積為A

a

2

0a

20

4si

2

d

令)2

o

a

20

tdta

2

33442

2

．例6

求由兩曲r

r

cos2

圖6—所圍圖形(圖6—14)的面積解

聯(lián)立i25解得，．66利用對稱性，所求面積為

r

sinr2cos2

圖6—27

(

2d

1cos2d2

i1si4

6

12

．2.立體體積1)已知平行截面面積的立體體積設(shè)空間某立體夾在垂直于軸的兩平面x，()之間(圖6—15)ox

x

圖6—15以Ax示(x)，且垂直于軸的截面面積．(x)已知的連續(xù)函數(shù)，則相應[a]的任一子區(qū)[x,]的薄片的體積近似于底面積為()，高dx的柱體體積．從而得這立體的體積元素A)所求體積為VA)dx．

例7

設(shè)有一截錐體高h下底均為橢圓圓的軸長分別為2，B，求這截錐體的體積．解取截錐體的中心線t軸圖6—，即t為積分變量，其

o

t變化區(qū)間[]．[]上任取一tt且垂直t軸的截面面積記．容易算出

圖6—28

hxah所以這截錐體的體積為

Bt，t．hh

0

(

Bt)(bt)dth

6

[ab)]．2)旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是一類特殊的已知平行截面面積的立體，容易導出它的計算公式．例如由連續(xù)曲線y)，x[a,]繞軸轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體(圖17)．由于過x),垂直于軸截面是半徑等于()的圓，截面面積為()

f

(x)所以這旋轉(zhuǎn)體的體積為V

f

(x)dx．

f()oax

類似地，由連續(xù)曲線

圖6—17(),y,]繞旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V

()．

例8求底面半徑r，高的正圓錐體的體積．r解這圓錐體可看作由直線x，xh]繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成圖6—18)，所h以體積

h0

r2xdx3

h0

r

2

．y

rh

x

圖—

29

a．243a．243例9求由橢圓

2繞x軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積．a(chǎn)b解這個旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由半個橢圓y

ba

a繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成．所以它的體積V

(2)dx(a2)dx2a034特別時得半徑r的球體體積3．球3.平面曲線弧長設(shè)有一曲線弧段，它的方程是yx)，a,]如果(x[,]上連續(xù)的導數(shù)則稱弧段AB是光滑的試求這段光滑曲線的長度．應用定積分，即采用“分割、近似求和、取極限”的方法，可以證明：光滑曲線弧段是可求長的．從而保證我們能用簡化的方法，即微元法，來導出計算弧長的公式．如圖6—19所示，為積分變量，其變化區(qū)間為[a]相應于[,]任一子區(qū)[,x]的一段弧的長度，可以用曲線在點(f())處切線上相應的一直線段的長度來近似代替，這直線段的長度為()2dy)21y于是得弧長元素(也稱弧微分)ds

2

dx因此所求的弧長為

1

．

(5.10)

f(x)

ax

圖—30

2sindt．2sindt若弧段AB由參數(shù)2sindt．2sindt

xx(t)yy(

t

給出，其中x(ty(t)

有連續(xù)的導數(shù)，且[

)]

2

)]

2

0．則弧長素，即微弧分為ds[

2

2dt，所以

[

)]

)]

．

(5.11)若弧段AB由極坐標方程r(

)，

]給出，其r(

)

]上有連續(xù)的導數(shù)，則應用極坐標xrcos

rsin

可得x

y

cos

利用公式(推出例

．r2r求懸鏈線yx到那一段的弧長(圖—．2

(5.12)解

x

2

代入公式(5.10)，

1

a0

x

dx

a

．

o圖6—

a

例在擺線x(tt，ycost)上求分擺線第一拱(圖6—11)1:3的點的坐標．解

t

時，點的坐(x(

),y(

))分擺線第一拱成1:3．由于弧微分a

2

t)

2

2

2

ttdt2，2由公式(5.11)可得3

0

tt2231

解得

1，所．隨之有223x

)a，y(3

)

a2

．所求的點的坐標((

3)a,a3例12

求阿基米德(Archimede)螺ra

(相應于從0的段(6—21)的弧長．解r

ds(

2

2

a

代入公式(5.12)，

ras

a

d1ln(

)

2

圖6—4.

112變力沿線所作的功

)]．從物理學知道，若物體在作直線運動的過程中一直受與運動方向一致的常力F的作用，則當物體有位移，力F所作的功為Fs現(xiàn)在我們來考慮變力沿直線作功問題．設(shè)某物體在力F的作用下沿x軸a動(圖—并設(shè)力F平行于軸且是x連續(xù)函數(shù)F(x)相應[a]的任一子區(qū)[,x]我們可以()看作是物體經(jīng)過這一子區(qū)間時所受的力．因此功元素為dW(x)．所以當物體沿x軸移動，作用在其上的力F(x)所作的功為(x)dx．F

(5.13)o

x

b

圖6—2232

1例1

用鐵錘將鐵釘擊入木板．設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比，在擊第一次時，將鐵釘擊入木板1，如果鐵錘每次打擊鐵釘所作的功相等，問錘擊第二次時，鐵釘又擊入多少？解

設(shè)鐵釘擊入木板的深度為，所受阻力fkx

(為比例常數(shù))鐵錘第一次將鐵釘擊入木板1cm，所作的功為

0

k

k2

．由于第二次錘擊鐵釘所作的功與第一次相等，故有1

kktd．2其中x為兩錘共將鐵釘擊入木板的深度．上式即k(x2．2解得x2，所以第二錘將鐵釘擊入木板的深度為．例

有一圓柱形大蓄水池，直徑為20米，高為30米，池中盛水半滿(即水深15)．求將水從池口全部抽出所作的功．解

建立坐標系如圖—23所示．水深區(qū)間為[．相應于[15,30]的任一子區(qū)[,x]水層，其高度，水的比重為千牛，所以功元素為odWxdx980．從而所作的功為

W

980

3015

x1036985(千焦．

圖6—定積分在物理中的應用十分廣泛，如在計算物體的質(zhì)量、靜力矩與重心、液體壓力質(zhì)點的引力等問題可以應用微元法予以分析處理種實例是不勝枚舉的要的是通過學習，使我們能熟練地運用這種方法，以不變應萬變．33

bbsinxt習題六bbsinxt利定積分的幾何意義，說明下列各等式成立：

kdxk(

(k為常)

；

a

x

12

2)

(a)

；

a

a

2

2

dx

4

a

2

(a

．設(shè)體以速度

(a數(shù))

作直線運動，求物體從靜止開始經(jīng)過時間

T

以后所走過的路程．利定積分定義計算下列積分：

x

dx

；

e

dx

．比下列各對積分的大小：

xdx

和

x

dx

；

e

和

xdx

；

lndx

和

e

xdx

；

xdx

和

)dx

．

證下列不等式：

e；20221；

dxsinxx．0x2

；設(shè)

f(x

在

[a]

上連續(xù)證若

[a]

上，

f(x0

且

fx)0

則在

[a]上

f(x0

．解列各題：設(shè)