2014四川省孫訓(xùn)方力學(xué)比賽參考解答

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第五屆四川省孫訓(xùn)方大學(xué)生力學(xué)比賽試題

參考解答

一、解：1、平衡時歪面傾角θ的最大值

本題存在兩種也許的平衡臨界狀態(tài)，一是整體處于沿歪面下滑的狀態(tài)，二是整體繞軸A翻轉(zhuǎn)。

若要別下滑，只需滿腳99.347.0tan1=≤-θ若要別翻轉(zhuǎn)，取整體為研究對象，

由∑=0)(FMA

得0)]3

31(sin[cos23N≥+-=θθPPFA

解得37.323

33

tan

1

=+≤-θ故平衡時歪面傾角的最大值為37.32=θ2、平衡時圓盤O1與O2之間鉸鏈C沿圓盤公切線方向的約束力與傾角θ的關(guān)系取整體為研究對象由

∑=0xF得

θsin3SSPFFBA=+

再分不取圓盤O1、O2和O3為對象分不由

0)(,0)(ttS1=--=∑DCAOFFFrFM

0)(,0)(ttS2=+'-=∑ECBOFFFrFM

0)(,0)(tt3='-'=∑DEOFFrFM

聯(lián)立解之得

θsin2

3

tPFC=

n

B

C

F'

FnE

F'tE'nD

A

NB

x

y

B

x

y

二解：1、相對軌跡

由剛體平面運動理論知aC和aD的方向如圖所示。假如盤上與動點M重合點為加速度瞬心，則aC與直線CM和aD與直線DM的夾角應(yīng)相等，均為θ，且

2

tanωαθ=

又DCaa⊥，故DMCM⊥。

由此講明不管角速度ω和角加速度α取何值，加速度瞬心必位于以CD=r為直徑的圓周上，即動點M的相對軌跡是以CD=r為直徑的圓弧，相對軌跡方程為

4

)2(2

22

rryx=-+

相對運動方程

因為αraC=（純滾動），在t時間tαω=，又輪C上與動點M重合點的加速度為零，因此

4

24

424

21t

rt

raCMC

αααα

ω

α+=

+=

+=

而4

22

4

2

24

24

2

1os,11sint

tct

ααω

αωθαω

ααθ+=

+=

+=+=

故相對運動方程為

4

24221sin,1costr

CMyttrCMxαθααθ+=?=+=?=

2、相對速度的大小

對前面所得相對運動方程求導(dǎo)得

2

423

224242)

1(4dd,)1()1(2ddttrtyvtttrtxvyxααααα+-==+-==相對速度的大小

124

22

2t

t

rvvvyxαα+=

+=

三、解：1、圓盤的角加速度

思考質(zhì)點A運動到距盤心O為r處，如圖（a）所示，此刻圓盤的角速度為ω，

質(zhì)點A相對圓盤的速度為ωrvt

r

r

v===er,dd，由系統(tǒng)機械能守恒和對轉(zhuǎn)軸z的動量矩守恒，有

2

a2202

02

121)4(21mvJmrJzz+=+ωω，ωω)()4(XXXmrJmrJzz+=+將202mrJz=和22

22arrv+==ω代入得

)(21

892222XXX20r

rmmrmr++=ωωω(A))2(4

9XXX2

rrmmr+=ωω(B)將0rr=代入式(A)和(B)得當質(zhì)點A運動到盤沿B時圓盤的角速度

04

3ωω=

質(zhì)點M的速度和相對速度

00r00a4

3

,423ωωrrvrv===

對式（B）求導(dǎo)得r

rmrrmωα2)2(0220++=將0rr=時，04

3

ωω=和00r

43

ωrrv==代入上式解得當質(zhì)點A運動到盤沿B時，圓盤的角加速度

208

3ωα-=負號表示與ω轉(zhuǎn)向相反。

圓盤作用于質(zhì)點A的水平力大小

如圖（c）所示，當質(zhì)點A運動到盤沿B時，由點的合成運動理論，質(zhì)點A的絕對加速度為科氏加速度與牽連切向加速度的矢量和

teCaaaa-=

c)

(

將2000te200rC8

3,892ωαωωrrarva===

=代入上式得2

00t

eCa4

3ωraaa=

-=由質(zhì)點動力學(xué)基本方程得圓盤作用于質(zhì)點A的水平力大小為

2

00aN4

3ωmrmaF==

2、力偶矩M與質(zhì)點A相對圓盤位置r之間的關(guān)系如圖(d)所示，用動量矩定理

0022)[(dd

ddωωr

mrmrJt

tLMzO=+==(C)再列出相對運動微分方程

20Ie22dt

dωmrFrm==令t

rr

vddr==，則上式可改寫為dd22

02rrvω=積分并思考到初始條件得)4

(2

02

20

2r

2

rrvr

-==ω(D)代入式（C）得)4

(22

02

20

rrmrM-=ω

質(zhì)點A運動到圓盤邊沿B所需要的時刻由式（D）得

)4

(dd202

0rrtrr-==ω

解此微分方程并思考到初始條件得

trrrrr02

20

20

0)4

(dω=-

?

002

2

20

317.1)32ln(1])4(ln[1

ωωω=+=-

+=

rrrrrt

d)

(

四、解：

=

當F處于最左端時，壓桿的軸力最大，

五、解：1）使用疊加原理

在均布載荷q作用時：向下

在鋼索預(yù)緊力作用時：向上

（拉力）8分

絕對值,6分2）別能

在鋼索預(yù)緊力作用時：向下；

即預(yù)緊力仍然使C截面撓度向下，無法向上；而q的作用，C的撓度向下。6分

六、解：1）在桿2和桿4頂端力作用下：每根桿上端鉸接處浮現(xiàn)切向力

在桿3頂端的力作用下：設(shè)每桿均受壓

平衡方程