-新教材高中數學第一章預備知識1.3第2課時全集與補集學案北師大版必修第一冊

PAGEPAGE7第2課時全集與補集某學習小組學生的集合為U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，張軍，趙云，馮佳，薛香芹，錢忠良，何曉慧}，其中在學校應用文寫作比賽與技能大賽中獲得過金獎的學生集合為P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，張軍}．[問題]沒有獲得金獎的學生有哪些？知識點一全集在研究某些集合的時候，它們往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合叫作全集，常用符號eq\a\vs4\al(U)表示．全集包含所要研究的這些集合．在集合運算問題中，全集一定是實數集嗎？提示：全集是一個相對性的概念，只包含研究問題中涉及的所有的元素，所以全集因問題的不同而異．知識點二補集1．定義：設U是全集，A是U的一個子集(即A?U)，則由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫作U中子集A的補集，記作?UA.2．符號：?UA＝{x|x∈U，且x?A}．3．Venn圖4．補集的性質(1)A∪(?UA)＝eq\a\vs4\al(U)；(2)A∩(?UA)＝eq\a\vs4\al(?)；(3)?UU＝eq\a\vs4\al(?)，?U?＝U，?U(?UA)＝eq\a\vs4\al(A)；(4)(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)；(5)(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．eq\a\vs4\al()1．補集是相對于全集而言的，它與全集不可分割．一方面，若沒有定義全集，則不存在補集的說法；另一方面，補集的元素逃不出全集的范圍．2．補集既是集合之間的一種關系，同時也是集合之間的一種運算．求集合A的補集的前提是A為全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的．1．已知全集U＝{0，1，2}，且?UA＝{2}，則A＝()A．{0} B．{1}C．? D．{0，1}答案：D2．設全集為U，M＝{0，2，4}，?UM＝{6}，則U＝()A．{0，2，4，6} B．{0，2，4}C．{6} D．?答案：A補集的簡單運算[例1](鏈接教科書第10頁例7)(1)設集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，則?UA＝()A．? B．{1，3，5}C．{2，4} D．{0，1，3，5}(2)(2021·金華市檢測)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，則集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的補集?UA為()A．{x∈R|0＜x＜2} B．{x∈R|0≤x＜2}C．{x∈R|0＜x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}[解析](1)因為集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，所以?UA＝{0，1，3，5}．(2)借助數軸(如圖)易得?UA＝{x∈R|0＜x≤2}．[答案](1)D(2)Ceq\a\vs4\al()求集合補集的2種方法(1)當集合用列舉法表示時，直接用定義或借助Venn圖求解；(2)當集合是用描述法表示的連續(xù)數集時，可借助數軸，利用數軸分析求解．[跟蹤訓練]1．設集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜－2}，則?UM＝()A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2＜x＜2}C．{x|x＜－2或x＞2} D．{x|x≤－2或x≥2}解析：選A如圖，在數軸上表示出集合M，可知?UM＝{x|－2≤x≤2}．2．設集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若?RM??RN，則k的取值范圍是________．解析：由?RM??RN，可知M?N，則k的取值范圍為k≥2.答案：{k|k≥2}交集、并集、補集的綜合運算[例2](鏈接教科書第10頁例8)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}．(1)求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)；(2)求?U(A∪B)和?U(A∩B)．[解](1)A∩B＝{x|－2＜x≤2}，(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(?UB)＝{x|2＜x＜3}．(2)?U(A∪B)＝{x|x＜－3或3≤x≤4}．?U(A∩B)＝{x|x≤－2或2＜x≤4}．eq\a\vs4\al()解決集合交、并、補運算的技巧(1)如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結合交集、并集、補集的定義來求解．在解答過程中常常借助于Venn圖來求解；(2)如果所給集合是無限集，則常借助數軸，把已知集合及全集分別表示在數軸上，然后進行交、并、補集的運算．解答過程中要注意邊界問題．[跟蹤訓練]1．(2021·臺州五校高一聯(lián)考)若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，則?U(M∪N)＝()A．{1，2，3} B．{2}C．{1，3，4} D．{4}解析：選D∵全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，∴M∪N＝{1，2，3}，∴?U(M∪N)＝{4}．故選D.2．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|－1＜x＜2}，則(?RA)∩B＝()A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＞1}C．{x|1≤x＜2} D．{x|x≥1}解析：選A因為集合A＝{x|x≤1}，所以?RA＝{x|x＞1}，則(?RA)∩B＝{x|1＜x＜2}.與補集相關的參數值的求解[例3]設集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(?UA)∩B＝?，求實數m的取值范圍．[解]由已知A＝{x|x≥－m}，得?UA＝{x|x<－m}，因為B＝{x|－2<x<4}，(?UA)∩B＝?，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范圍是{m|m≥2}．[母題探究]1．(變條件)本例將條件“(?UA)∩B＝?”改為“(?UA)∩B≠?”，其他條件不變，則m的取值范圍又是什么？解：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以?UA＝{x|x<－m}，又(?UA)∩B≠?，所以－m>－2，解得m<2.故m的取值范圍為{m|m<2}．2．(變條件)本例將條件“(?UA)∩B＝?”改為“(?UB)∪A＝R”，其他條件不變，則m的取值范圍又是什么？解：由已知A＝{x|x≥－m}，?UB＝{x|x≤－2或x≥4}．又(?UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.故m的取值范圍為{m|m≥2}．eq\a\vs4\al()由集合的補集求解參數的方法(1)如果所給集合是有限集，由補集求參數問題時，可利用補集定義求解；(2)如果所給集合是無限集，與集合交、并、補運算有關的求參數問題時，一般利用數軸分析求解．[跟蹤訓練]1．(多選)設全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k∈R}，且B∩(?UA)≠?，則滿足條件的k的值可以是()A．0 B．1C．2 D．4解析：選BC?UA＝{x|1＜x＜3}，若B∩(?UA)＝?，則k＋1≤1或k≥3，∴k≤0或k≥3，因此，若B∩(?UA)≠?，則所求k的范圍為0＜k＜3.故選B、C.2．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－3≤x≤m＋3}，若A??RB，則實數m的取值范圍是________．解析：?RB＝{x|x＜m－3或x＞m＋3}，又∵A??RB，∴m－3＞3或m＋3＜－1，∴m＞6或m＜－4.答案：(－∞，－4)∪(6，＋∞)集合運算中的元素個數問題(鏈接教科書第12頁閱讀材料)在部分有限集中，我們經常遇到有關集合中元素的個數問題，我們常用Venn圖表示兩集合的交、并、補．如果用card表示有限集中元素的個數，即card(A)表示有限集合A中元素的個數，則有如下結論：(1)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；(2)card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．[問題探究]1．對于上述結論(1)能用Venn圖解釋嗎？提示：如圖所示，設①表示A中不含A∩B的區(qū)域里的元素個數；②表示B中不含A∩B的區(qū)域里的元素個數；③表示A∩B區(qū)域里的元素個數．則card(A∪B)表示A和B區(qū)域里一共有的不同元素的個數，即card(A∪B)＝①＋②＋③；card(A)表示集合A的區(qū)域里的元素個數，即card(A)＝①＋③；card(B)表示集合B的區(qū)域里的元素個數，即card(B)＝②＋③.注意到card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝(①＋③)＋(②＋③)－③＝①＋②＋③＝card(A∪B)，則結論(1)得證．2．試用問題探究1的方法給出結論(2)的證明．提示：對于結論(2)，如圖所示，card(A∪B∪C)表示A，B，C中所含不同元素的總個數，而card(A)＋card(B)＋card(C)中A∩B，A∩C，B∩C區(qū)域里的元素個數分別出現(xiàn)兩次，故應分別減去一次．又card(A∩B∩C)在card(A∩B)，card(A∩C)，card(B∩C)中各出現(xiàn)一次，即出現(xiàn)三次，但又已被減去三次，故需再加上．故有結論：card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．[遷移應用]1．(2021·太湖中學段考)向50名學生調查對A，B兩事件的態(tài)度，有如下結果：贊成A的人數是全體人數的eq\f(3,5)，其余的不贊成；贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外對A，B都不贊成的學生人數比對A，B都贊成的學生人數的eq\f(1,3)多1人．則對A，B都不贊成的學生的人數為________．解析：設50名學生為全集I，則贊成A的人數為50×eq\f(3,5)＝30，贊成B的人數為30＋3＝33.設對A，B都贊成的學生人數為x，則對A，B都不贊成的學生人數為eq\f(x,3)＋1，贊成A不贊成B的人數為30－x，贊成B不贊成A的人數為33－x，如圖所示，所以由題意得(30－x)＋(33－x)＋x＋eq\f(x,3)＋1＝50，解得x＝21，則eq\f(x,3)＋1＝8.所以對A，B都不贊成的學生的人數為8.答案：82．某市場調查公司為了解某市市民在閱讀報紙方面的取向，抽樣調查了500位市民，調查結果顯示：訂閱日報的有334人，訂閱晚報的有297人，其中兩種都訂的有150人(假定只有這兩種報紙)．試問：(1)只訂日報不訂晚報的有多少人？(2)只訂晚報不訂日報的有多少人？(3)至少訂一種報紙的有多少人？(4)有多少人不訂報紙？解：設I＝{x|x是抽樣調查的500位市民}，A＝{x|x是訂閱日報的人}，B＝{x|x是訂閱晚報的人}，則card(A∩B)＝150，card(I)＝500，card(A)＝334，card(B)＝297.用Venn圖表示如圖所示．(1)A∩(?IB)＝{x|x是只訂日報不訂晚報的人}，則card(A∩(?IB))＝334－150＝184.(2)B∩(?IA)＝{x|x是只訂晚報不訂日報的人}，則card(B∩(?IA))＝297－150＝147.(3)A∪B＝{x|x是至少訂一種報紙的人}，則card(A∪B)＝334＋297－150＝481.(4)?I(A∪B)＝{x|x是不訂報紙的人}，則card(?I(A∪B))＝500－481＝19.1．設全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，則?U(A∩B)等于()A．{2，3} B．{1，4，5}C．{4，5} D．{1，5}解析：選B∵A∩B＝{2，3}，∴?U(A∩B)＝{1，4，5}．2．設全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜9}，B＝{x∈Z|－4＜x＜4}，則集合(?UA)∩B中的元素的個數為()A．3 B．4C．5 D．6解析：選B∵U＝R，A＝{x|0＜x＜9}，∴?UA＝{x|x≤0或x≥9}．又∵B＝{x∈Z|－4＜x＜4}，∴(?UA)∩B＝{x∈Z|－4＜x≤0}＝{－3，－2，－1，0}共4個元素．3．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∩(?UB)等于()A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3}解析：選D由題意可得，?UB＝{x|－1≤x≤4}，又因為A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∩(?UB)＝{x|－1≤x≤3}．4．(2021·重慶南岸區(qū)高一月考)如圖，設全集U＝R，M＝(－∞，1]，N＝(－∞，0]∪(2，＋∞)，則