-新教材高中數(shù)學(xué)第一章預(yù)備知識(shí)2.1第2課時(shí)充要條件學(xué)案北師大版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE5第2課時(shí)充要條件主人邀請(qǐng)張三、李四、王五三個(gè)人吃飯，時(shí)間到了，只有張三、李四準(zhǔn)時(shí)赴約，王五打電話說：“臨時(shí)有急事，不能去了．”主人聽了，隨口說了句：“該來的沒有來．”張三聽了臉色一沉，起來一聲不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不該走的又走了．”李四聽了大怒，拂袖而去．[問題](1)張三為什么走了？(2)李四為什么也走了？知識(shí)點(diǎn)充要條件1．一般地，如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充分且必要條件，簡(jiǎn)稱p是q的充要條件，記作p?q．2．p是q的充要條件也常常說成“p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立”，或“p與q等價(jià)”．3．當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，q也是p的充要條件．eq\a\vs4\al()“p是q的充要條件”也可以說成“p與q是等價(jià)的”“p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立”“q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立”．1．若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題，這種說法對(duì)嗎？提示：正確．若p是q的充要條件，則p?q，即p等價(jià)于q.2．“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？提示：①p是q的充要條件說明p是條件，q是結(jié)論．②p的充要條件是q說明q是條件，p是結(jié)論．1．“a＋b＜0”是“a＜0，b＜0”的()A．充分而不必要條件 B．充要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案：C2．點(diǎn)P(x，y)是第二象限的點(diǎn)的充要條件是()A．x＜0，y＜0 B．x＜0，y＞0C．x＞0，y＞0 D．x＞0，y＜0答案：B3．從“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分又不必要條件”中選一個(gè)合適的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；(2)“x＜5”是“x＜3”的________．解析：(1)設(shè)A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要條件．(2)設(shè)A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＜3}，因?yàn)锳B，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分條件．答案：(1)充要條件(2)必要不充分條件充要條件的判斷[例1](鏈接教科書第17頁(yè)例3)判斷下列各題中，p是否為q的充要條件？(1)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(2)p：|x|＞3，q：x2＞9.[解](1)若a2＋b2＝0，則a＝b＝0，即p?q；若a＝b＝0，則a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，所以p是q的充要條件．(2)由于p：|x|＞3?q：x2＞9，所以p是q的充要條件．eq\a\vs4\al()1．判斷p是q的充要條件，主要是判斷p?q及q?p這兩個(gè)命題是否成立．若p?q成立，則p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；若q?p成立，則p是q的必要條件，同時(shí)q是p的充分條件．2．在已知充要條件的前提下，充分條件是不確定的，只要保證是充要條件的一個(gè)子集即可，而充分不必要條件應(yīng)為充要條件的一個(gè)真子集．[跟蹤訓(xùn)練]1．a(chǎn)，b中至少有一個(gè)不為零的充要條件是()A．a(chǎn)b＝0 B．a(chǎn)b＞0C．a(chǎn)2＋b2＝0 D．a(chǎn)2＋b2＞0解析：選Da2＋b2＞0，則a，b不同時(shí)為零；a，b中至少有一個(gè)不為零，則a2＋b2＞0.2．設(shè)集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，則A?(A∩B)的充要條件為________；一個(gè)充分不必要條件可為________．解析：A?(A∩B)?A?B，B＝{x|3≤x≤22}．若A＝?，則2a＋1＞3a－5，解得a＜6；若A≠?，則A?B?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋1≥3，,3a－5≤22，,3a－5≥2a＋1))?6≤a≤9.綜上可知，A?(A∩B)的充要條件為a≤9；一個(gè)充分不必要條件可為6≤a≤9.答案：a≤96≤a≤9(答案不唯一)充要條件的證明[例2]證明：如圖梯形ABCD為等腰梯形的充要條件是AC＝BD.[證明](1)必要性：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，又∵BC＝CB，∴△BAC≌△CDB，∴AC＝BD.(2)充分性：如圖，過點(diǎn)D作DE∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵AD∥BE，DE∥AC，∴四邊形ACED是平行四邊形．∴DE＝AC.∵AC＝BD，∴BD＝DE，∴∠E＝∠1.又∵AC∥DE.∴∠2＝∠E，∴∠1＝∠2.在△ABC和△DCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DB，,∠2＝∠1，,BC＝CB，))∴△ABC≌△DCB.∴AB＝DC.∴梯形ABCD為等腰梯形．由(1)(2)可得，梯形ABCD為等腰梯形的充要條件是AC＝BD.eq\a\vs4\al()充要條件的證明策略(1)要證明一個(gè)條件p是不是q的充要條件，需要從充分性和必要性兩個(gè)方向進(jìn)行，即證明兩個(gè)命題“若p，則q”為真且“若q，則p”為真；(2)在證明的過程中也可以利用集合的思想來證明，證明p與q的解集是相同的，證明前必須分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論．[提醒]證明時(shí)一定要注意分清充分性與必要性的證明方向．[跟蹤訓(xùn)練]求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.證明：設(shè)p：方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根是1，q：a＋b＋c＝0.①必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一個(gè)根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.充分、必要及充要條件的應(yīng)用[例3]已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以q是p的充分不必要條件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，))解得m≤3.又m>0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|0<m≤3}．[母題探究]1．(變條件)若本例中“p是q的必要不充分條件”改為“p是q的充分不必要條件”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因?yàn)閜是q的充分不必要條件，設(shè)p代表的集合為A，q代表的集合為B，所以AB.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10.))解得m≥9，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≥9}．2．(變?cè)O(shè)問)本例中p，q不變，是否存在實(shí)數(shù)m使p是q的充要條件？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．解：因?yàn)閜：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．若p是q的充要條件，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＝1－m，,10＝1＋m，))方程組無解．故不存在實(shí)數(shù)m，使得p是q的充要條件．eq\a\vs4\al()充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧(1)應(yīng)用：可利用充分性與必要性進(jìn)行相關(guān)問題的求解，特別是求參數(shù)的值或取值范圍問題；(2)求解步驟：先把p，q等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．[跟蹤訓(xùn)練]已知a＞0，設(shè)p：－a≤x≤3a，q：－1＜x＜6.若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．{a|1＜a＜2} B．{a|1≤a≤2}C．{a|0＜a＜1} D．{a|0＜a≤2}解析：選C因p是q的充分不必要條件，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a>－1，,3a<6，,a>0，))解得0<a<1.故選C.1．設(shè)A，B是兩個(gè)集合，則“A∩B＝A”是“A?B”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C結(jié)合Venn圖(圖略)可知，A∩B＝A，得A?B，反之，若A?B，即集合A為集合B的子集，則A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A?B”的充要條件．故選C.2．使不等式2x－4≥0成立的一個(gè)充分不必要條件是()A．x＜2 B．x≤0或x≥2C．x∈{2，3，5} D．x≥2解析：選C由2x－4≥0得x≥2，所以選項(xiàng)中只有{2，3，5}{x|x≥2}，故只有C選項(xiàng)中的條件是使不等式2x－4≥0成立的一個(gè)充分不必要條件．3．函數(shù)y＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的充要條件是________．解析：函數(shù)y＝x2＋mx＋1的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(m,2)＝1，所以m＝－2.答案：－24．下列各題中，哪些p是q的充要條件？