-新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)練習(xí)14基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)含解析新人教A版選擇性必修

PAGEPAGE7基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分)1．在曲線f(x)＝eq\f(1,x)上切線的傾斜角為eq\f(3,4)π的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(1，1) B．(－1，－1)C．(－1，1) D．(1，1)或(－1，－1)【解析】選D.切線的斜率k＝taneq\f(3,4)π＝－1，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－eq\f(1,x2)，所以－eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))＝－1，所以x0＝1或－1，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)或(－1，－1).2．下列命題中正確的是()①若f′(x)＝cosx，則f(x)＝sinx；②若f′(x)＝0，則f(x)＝1；③若f(x)＝sinx，則f′(x)＝cosx；④若f(x)＝eq\f(1,x)，則f′(x)＝eq\f(1,x2).A．①B．①②C．③D．①②③④【解析】選C.①當(dāng)f(x)＝sinx＋1時(shí)，f′(x)＝cosx；②當(dāng)f(x)＝2時(shí)，f′(x)＝0；④若f(x)＝eq\f(1,x)，則f′(x)＝－eq\f(1,x2).3．若f(x)＝sinx，f′(α)＝eq\f(1,2)，則下列α的值中滿足條件的是()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,6)C．eq\f(2,3)πD．eq\f(5,6)π【解析】選A.因?yàn)閒(x)＝sinx，所以f′(x)＝cosx.又因?yàn)閒′(α)＝cosα＝eq\f(1,2)，所以α＝2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z).當(dāng)k＝0時(shí)，α＝eq\f(π,3).4．函數(shù)y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為()A．eq\f(9,4)e2B．2e2C．e2D．eq\f(e2,2)【解析】選D.因?yàn)楫?dāng)x＝2時(shí)，y′＝e2，所以切線方程為y－e2＝e2(x－2).當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－e2，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1.故切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為eq\f(1,2)×|－e2|×1＝eq\f(e2,2).5．對(duì)任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，則此函數(shù)解析式可以為()A．f(x)＝x3B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x3＋1D．f(x)＝x4－1【解析】選B.由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4項(xiàng)，所以A，C不正確，然后將x＝1代入B，D中驗(yàn)證可得B正確．6．(多選題)若f(x)＝x2，g(x)＝x3，則能滿足g′(x)－f′(x)＞0的區(qū)間有()A．(－∞，0) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))【解析】選AB.因?yàn)間′(x)＝3x2，f′(x)＝2x，由g′(x)－f′(x)＞0，得3x2－2x＞0，得x＞eq\f(2,3)或x＜0.二、填空題(每小題5分，共10分)7．直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線y＝lnx(x＞0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝________．【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則y0＝lnx0.因?yàn)閥′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，由題意知eq\f(1,x0)＝eq\f(1,2)，所以x0＝2，y0＝ln2.由ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，得b＝ln2－1.答案：ln2－18．若質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程是s＝t2，則質(zhì)點(diǎn)P在t＝8時(shí)的瞬時(shí)速度為________．【解析】由s＝t2得s′＝2t，所以v＝2t.所以t＝8時(shí)，v＝16.答案：16三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2，求適合f′(x)＋1＝g′(x)的x值．【解析】因?yàn)閒′(x)＝eq\f(1,x)，g′(x)＝2x，又f′(x)＋1＝g′(x)，所以eq\f(1,x)＋1－2x＝0，2x2－x－1＝0，得x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍)，所以x的值為1.10．已知曲線y＝5eq\r(x)，求：(1)這條曲線與直線y＝2x－4平行的切線方程．(2)過點(diǎn)P(0，5)且與曲線相切的切線方程．【解析】(1)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，由y＝5eq\r(x)，得y′＝eq\f(5,2\r(x))，所以切線斜率為eq\f(5,2\r(x0))，因?yàn)榍芯€與直線y＝2x－4平行，所以eq\f(5,2\r(x0))＝2.所以x0＝eq\f(25,16)，所以y0＝eq\f(25,4).則所求切線方程為y－eq\f(25,4)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(25,16)))，即16x－8y＋25＝0.(2)因?yàn)辄c(diǎn)P(0，5)不在曲線y＝5eq\r(x)上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為M(t，u)，則切線斜率為eq\f(5,2\r(t))，又切線斜率為eq\f(u－5,t)，所以eq\f(5,2\r(t))＝eq\f(u－5,t)＝eq\f(5\r(t)－5,t).所以2t－2eq\r(t)＝t，又t≠0，解得t＝4.所以切點(diǎn)為M(4，10)，斜率為eq\f(5,4).所以切線方程為y－10＝eq\f(5,4)(x－4)，即5x－4y＋20＝0.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．滿足f(x)＝f′(x)的函數(shù)f(x)可以是()A．f(x)＝log1920 B．f(x)＝eq\r(x)C．f(x)＝x20 D．f(x)＝ex【解析】選D.利用求導(dǎo)公式可得只有D滿足f(x)＝f′(x).2．正弦曲線y＝sinx上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) B．[0，π)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))【解析】選A.因?yàn)閥′＝cosx，而cosx∈[－1，1].所以直線l的斜率的范圍是[－1，1]，所以直線l傾斜角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π)).3．若曲線y＝x在點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a＝()A．64B．32C．16D．8【解析】選A.因?yàn)閥′＝－eq\f(1,2)x，所以曲線y＝x在點(diǎn)(a，a)處的切線方程為：y－a＝－eq\f(1,2)a(x－a)，由x＝0得y＝eq\f(3,2)a，由y＝0得x＝3a，所以eq\f(1,2)·eq\f(3,2)a·3a＝18，解得a＝64.4．已知直線y＝3x＋1與曲線y＝ax3＋3相切，則a的值為()A．1B．±1C．－1D．－2【解析】選A.設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則y0＝3x0＋1，且y0＝axeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))＋3，所以3x0＋1＝axeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))＋3…①.對(duì)y＝ax3＋3求導(dǎo)得y′＝3ax2，則3axeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝3，axeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝1…②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.二、填空題(每小題5分，共20分)5．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，則x＝________.【解析】因?yàn)閒(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,x)且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍去).故x＝1.答案：16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(－e，－1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________．【解析】因?yàn)閥＝lnx，所以y′＝eq\f(1,x)(x>0)，設(shè)A(x0，lnx0)，則在點(diǎn)A處的切線方程為y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，化簡(jiǎn)為y＝eq\f(1,x0)x＋lnx0－1，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(－e，－1)，所以－1＝eq\f(1,x0)(－e)＋lnx0－1，所以lnx0－eq\f(e,x0)＝0，所以x0＝e時(shí)方程成立，又因?yàn)閥＝lnx－eq\f(e,x)遞增(x＞0)，所以方程有唯一解x0＝e，A(e，1).答案：(e，1)7．(2021·廣陵高二檢測(cè))若f(x)＝x3，其導(dǎo)數(shù)滿足f′(x0)＝3，則x0的值為________.【解析】根據(jù)題意，若f(x)＝x3，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝3x2，若f′(x0)＝3，則3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝3，解得x0＝±1.答案：±18．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在M(1，f(1))處的切線方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________．【解析】依題意知，f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，f′(1)＝eq\f(1,2)，所以f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.答案：3三、解答題(每小題10分，共30分)9．過點(diǎn)P(－1，0)作直線l與曲線C1：y＝eq\r(x)和曲線C2：y＝x2＋x＋c都相切，求c的值．【解析】設(shè)直線l與曲線C1：y＝eq\r(x)相切于點(diǎn)M(x0，y0)，則eq\f(1,2\r(x0))＝eq\f(y0,x0＋1)，又y0＝eq\r(x0)，解得x0＝1，y0＝1，所以切點(diǎn)為(1，1)，切線l的方程為y＝eq\f(1,2)(x＋1)，因?yàn)橹本€l與曲線C2：y＝x2＋x＋c相切，所以由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋x＋c，,y＝\f(1,2)（x＋1），))消元整理得x2＋eq\f(1,2)x＋c－eq\f(1,2)＝0，所以判別式Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(1,2)))＝0，所以c＝eq\f(9,16).10．過已知直線x－y－4＝0上的任意一點(diǎn)P作曲線y＝x2的切線，切點(diǎn)分別為A，B，求證：直線AB過定點(diǎn)．【證明】因?yàn)辄c(diǎn)P是已知直線x－y－4＝0上的任意一點(diǎn)，所以設(shè)P(m，m－4)，又設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)閥＝x2，所以y′＝2x，所以切線AP的方程為y－y1＝2x1(x－x1)，即y＋y1＝2x1x，同理可得切線BP的方程為y＋y2＝2x2x，因?yàn)锳P，BP都經(jīng)過點(diǎn)P，所以m－4＋y1＝2x1m，m－4＋y2＝2x2m，這兩個(gè)式子說明(x1，y1)，(x2，y2)都是方程m－4＋y＝2xm的解，也就是直線m－4＋y＝2xm經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以直線AB的方程為m－4＋y＝2xm，即m(1－2x)＋(－4＋y)＝0經(jīng)過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4)).所以直線AB過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4)).11．設(shè)拋物線y＝x2與直線y＝x＋a(a是常數(shù))有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，記拋物線在兩交點(diǎn)處切線分別為l1，l2，求a值變化時(shí)l1與l2交點(diǎn)的軌跡．【解析】將y＝x＋a代入y＝x2整理得x2－x－a＝0，①因?yàn)橹本€與拋物線有