-新教材高中數(shù)學(xué)午間半小時四十練習(xí)含解析蘇教版必修第二冊

PAGEPAGE4午間半小時(四十)(30分鐘50分)一、單選題1．若長方體的長、寬、高分別為3cm，4cm，5cm，則長方體的體積為()A．27cm3B．60cm3C．64cm3D．125cm3【解析】選B.V＝3×4×5＝60cm3.2．若正方體的棱長為eq\r(2)，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為()A．eq\f(\r(2),6)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(2,3)【解析】選B.所求八面體體積是兩個底面邊長為1，高為eq\f(\r(2),2)的四棱錐的體積和，一個四棱錐體積V1＝eq\f(1,3)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6)，故八面體體積V＝2V1＝eq\f(\r(2),3).3．用邊長分別為2與4的矩形，作圓柱的側(cè)面，則這個圓柱的體積為()A．eq\f(4,π) B．eq\f(6,π)C．eq\f(6,π)或eq\f(8,π) D．eq\f(4,π)或eq\f(8,π)【解析】選D.當(dāng)圓柱的高和底面周長分別為2和4時，則可得底面半徑為eq\f(2,π)，底面面積為eq\f(4,π)，則體積為eq\f(8,π)；當(dāng)圓柱的高和底面周長分別為4和2時，則可得底面半徑為eq\f(1,π)，底面面積為eq\f(1,π)，則體積為eq\f(4,π)；則可得圓柱的體積為eq\f(8,π)或eq\f(4,π).4．如果三個球的半徑之比是1∶2∶3，那么最大球的體積是其余兩個球的體積之和的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍【解析】選C.半徑大的球的體積也大，設(shè)三個球的半徑分別為x，2x，3x，則最大球的半徑為3x，其體積為eq\f(4,3)π×(3x)3，其余兩個球的體積之和為eq\f(4,3)πx3＋eq\f(4,3)π×(2x)3，所以eq\f(4,3)π×(3x)3÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πx3＋\f(4,3)π×（2x）3))＝3.5．如圖，ABC-A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C-AA′B′B的體積是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)【解析】選C.VC－AA′B′B＝VABC－A′B′C′－VC－A′B′C′＝S△ABC·AA′－eq\f(1,3)S△ABC·AA′＝eq\f(2,3)S△ABC·AA′＝eq\f(2,3).6．體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得的這個圓臺的圓錐的體積是()A．54B．54πC．58D．58π【解析】選A.設(shè)上底面半徑為r，則由題意求得下底面半徑為3r，設(shè)圓臺高為h1，則52＝eq\f(1,3)πh1(r2＋9r2＋3r·r)，所以πr2h1＝12.令原圓錐的高為h，由相似知識得eq\f(r,3r)＝eq\f(h－h(huán)1,h)，所以h＝eq\f(3,2)h1，所以V原圓錐＝eq\f(1,3)π(3r)2×h＝3πr2×eq\f(3,2)h1＝eq\f(9,2)×12＝54.二、多選題7．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，動點E在線段A1C1上，F(xiàn)，M分別是AD，CD的中點，則下列結(jié)論中正確的是()A．FM∥A1C1B．BM⊥平面CC1FC．存在點E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．三棱錐B-CEF的體積為定值【解析】選ABD.在A中，因為F，M分別是AD，CD的中點，所以FM∥AC∥A1C1，故A正確；在B中，因為tan∠BMC＝eq\f(BC,CM)＝2，tan∠CFD＝eq\f(CD,FD)＝2，故∠BMC＝∠CFD，故∠BMC＋∠DCF＝∠CFD＋∠DCF＝eq\f(π,2).故BM⊥CF，又有BM⊥C1C，CF∩C1C＝C，所以BM⊥平面CC1F，故B正確；在C中，BF與平面CC1D1D有交點，所以不存在點E，使得平面BEF∥平面CC1D1D，故C錯誤；在D中，三棱錐B-CEF以平面BCF為底，則高是定值，所以三棱錐B-CEF的體積為定值，故D正確．8．如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，則正確的是()A．三棱錐D-BEF的體積為6B．直線PB與直線DF垂直C．平面DEF截三棱錐P-ABC所得的截面面積為12D．點P與點A到平面BDE的距離相等【解析】選ACD.A.因為PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，又因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，所以DE∥PA，DE＝eq\f(1,2)PA＝3，S△BEF＝eq\f(1,2)BF·EF＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)AB×eq\f(1,2)BC＝6，所以V三棱錐D-BEF＝eq\f(1,3)×S△BEF×DE＝eq\f(1,3)×6×3＝6，故正確；B.若直線PB與直線DF垂直，因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，又EF∥BC，所以EF⊥平面PAB，所以EF⊥PB，所以PB⊥平面DEF，易知AB⊥平面DEF，矛盾，故錯誤；C.如圖所示：取PB的中點G，連接GD，GF，則GF∥PA，GF＝eq\f(1,2)PA，DE∥PA，DE＝eq\f(1,2)PA，所以DE∥GF，DE＝GF，所以平面DEF截三棱錐P-ABC所得的截面為矩形GFED，其面積為2S△DEF＝2×eq\f(1,2)EF×DE＝2×eq\f(1,2)×4×3＝12，故正確；D.因為DE∥PA，DE?平面DEB，PA?平面DEB，所以PA∥平面DEB，所以點P與點A到平面BDE的距離相等，故正確．三、填空題9．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點，則三棱錐E-BCD的體積是________.【解析】因為長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為120，所以AB·BC·CC1＝120，因為E為CC1的中點，所以CE＝eq\f(1,2)CC1，由長方體的性質(zhì)知CC1⊥底面ABCD，所以CE是三棱錐E-BCD的底面BCD上的高，所以三棱錐E-BCD的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB·BC·CE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB·BC·eq\f(1,2)CC1＝eq\f(1,12)×120＝10.答案：1010．已知四棱錐的底面是邊長為eq\r(2)的正方形，側(cè)棱長均為eq\r(5).若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為________.【解析】由題意四棱錐的底面是邊長為eq\r(2)的正方形，側(cè)棱長均為eq\r(5)，借助勾股定理，可知四棱錐的高為eq\r(5－1)＝2，