多面體與球-習(xí)題

【模擬試題】一選題：球上有3個(gè)，其中任意兩點(diǎn)的球面距都等于大圓周長(zhǎng)的圓的周長(zhǎng)為4，么這個(gè)球的半徑為（）

，經(jīng)過(guò)這3點(diǎn)的小

43

23

C.2D.

3如A、BC是表面積為

的球面上三點(diǎn)，，

，O為球心，則直線與面ABC所的角是（）

3arccosC.63把方形ABCD沿角線AC折，當(dāng)以ABC、D四為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，異面直線與BC的角為（）30B.°C.60D.90°已體積相等的正方體、球、等邊圓柱的全面積分別為、S、，則它們之的關(guān)123系是（）

12

3

1

2C.

2

1

21

3如，一個(gè)由三根細(xì)鐵桿、、PC組的支架，三根桿的兩兩夾角都是°，一個(gè)半徑為的球放在支架上，則球心點(diǎn)P距離是（）

3

2

C.2D.

已球的表面積為20，面上有ABC三，如果AB=AC=2，球心到平面ABC的距離為（）

BC2

，則B.

2

C.

3

地半徑為R，在北緯30°圈上有兩點(diǎn)ABA點(diǎn)經(jīng)度為東經(jīng)°B的經(jīng)度為西經(jīng)60、B點(diǎn)的球面距離為（）

R

C.

R3

R一正方體內(nèi)接于一個(gè)球，過(guò)球心作一截面，則截面的可能圖形是（）（1）（）C.（1）（2）二解題：如所示是球的徑、D是面上兩，且都在以為直徑的小圓上，設(shè)小圓所在的平面為

（1求證：平面ABC⊥；（2D為BC

的中點(diǎn)與面所的角為球的半徑OD且垂直于平面

的截面截BC弦點(diǎn)，與過(guò)OD的面圓的面積之比。在長(zhǎng)為2R的方體容器內(nèi)裝滿(mǎn)水，先把半徑為R的放入水中，然后再放入一球，使它淹沒(méi)在水中使出的水多這個(gè)球的半徑應(yīng)是多少？并計(jì)算放入兩球后溢出的水量與容器容量之比。上靠近北緯30、東經(jīng)°的A，洛杉磯靠近北緯30、西經(jīng)120°點(diǎn)如果以美國(guó)新研制的倍音速的飛機(jī)，那么從洛杉磯起飛到上海需要多長(zhǎng)時(shí)間？（)1.70

，音速為340m/s，球半徑取R=6378km

33【試題答】一B解：球心為，題設(shè)知三棱錐—ABC正四面體，且ABC外接圓半徑是，設(shè)球半徑為R，則

，∴

3D解得該球的半徑是23截面圓上AB=2BC=4ABC60

AC2截面

，則截面圓的圓心是BC中點(diǎn)，面圓半徑是2，由球的知識(shí)知⊥1所以O(shè)AO是直線OA與面ABC所的角在

OAO中，2,21所以

cos1

13故直線OA與截面ABC所的角是

解：圖，面ADC折到

AD

的位置，顯然面ABC面

AD

時(shí)，體積最大，O是AC中點(diǎn)，連結(jié)、OD∵面ABC面

AD

∴

OD

又

OD∴在

Rt

中，

D

ODAD∴

，即

為等邊三角形又AD//BC∴ADAD所的角即為ADBC所的角，即選。解：

S32

V

)

，

3S()∴

，得

2

1A解：圖所示O為心O為切點(diǎn)E、的截面小圓的圓，EFP為正三角1

形設(shè)

∴

1

由射影定理知

OE1∴

13a3

3

∴球心點(diǎn)的離為

A解：圖，設(shè)球的球心是，于到、B、C的離都是球的半徑∴O在面ABC的射影的心在

ABC

中，由余弦定理得

cosA

2

222(23)222∴

設(shè)外圓半徑為正弦定理得

BCsin120

=2

∵

球

2

∴

∴球O平面ABC的離

OO

2

2

D解：點(diǎn)A都北緯30點(diǎn)經(jīng)度為東經(jīng)20的經(jīng)度為西經(jīng)

60∴AB兩的連線是緯線圈的直徑，過(guò)B作⊥赤道平面于，則

BOE∵OO⊥道平面∴1

O601

∴

2∴過(guò)AB的大圓劣弧長(zhǎng)1

AB

R解：截面平行于正方體的一條側(cè)棱時(shí)，得）或（3截過(guò)正方體的角線

時(shí)，得（2論何都不能截出（二解）BC的中點(diǎn)

O

，連OO1

∵O是BC直徑的圓的圓心1則OOO1

1

即OO面BCD1

又∵OO面ABC1∴面ABC面，即面ABC⊥

（2）為

的中點(diǎn)，則DO⊥，過(guò)OD且直于平面的面截弦，E1即是

O∴

OEB

∵AC⊥

∴AC面，

設(shè)BC

r

，則

CD

2

r

，

CD

2rtan

∴

2BC22rtan

r2∴

S

OEDS圓

S

DS圓

14

SABCS圓

1r421r22

2(2解設(shè)半徑為R的的球心為O，后一球的球心為

O

，作出正方形的對(duì)角線，如圖所示的矩形

AACC11

中，O點(diǎn)在對(duì)角線

1

中點(diǎn)處，欲使第二個(gè)球放入后溢出的水最多，則球心O也上，作OQAC于，P⊥AC于P設(shè)兩球外切于11APO~1

E，則∴

QO11

由AC11∴AO1

12

R1

∴

(AE

)又

AER3R

∴

3)R此時(shí)所求比為

43)3)3

R

92

解析設(shè)地半徑為

，

AB

所對(duì)球心角為

，

30

緯度圈的半徑為r

，則

r

，