第八講 不等式

基過(guò)基過(guò)第八講

不等式考導(dǎo)．解不等式的性質(zhì)及其證明．．握兩個(gè)（注意不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．．握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等．．握簡(jiǎn)單不等式的解法．．解不等a|－b＋|≤|a＋b．實(shí)數(shù)的性質(zhì)知網(wǎng)不等式的性質(zhì)不等式的證明

解不等式

均值不等式不等式的應(yīng)用比較法綜合法分析法反證法換元法放縮法判別式法高導(dǎo)

一元一次不等式組一元二次不等式分式、高次不等式含絕對(duì)值不等式

函數(shù)性質(zhì)的討論方程根的分布最值問(wèn)題實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題取值范圍問(wèn)題不等式部分的內(nèi)容是高考較為穩(wěn)定的一個(gè)熱點(diǎn)，考查的重點(diǎn)是不等式的性質(zhì)、證明、解法及最值方面的應(yīng)用．高考試題中有以下幾個(gè)明顯的特點(diǎn)：．等式與函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、幾何、導(dǎo)、實(shí)際應(yīng)用等有關(guān)內(nèi)容綜合在一起的綜合試題多，單獨(dú)考查不等式的問(wèn)題很少，尤其是不等式的證明題．．擇題，填空題和解答題三種題型中均有各種型不等式題，特別是應(yīng)用題和綜合題幾乎都與不等式有關(guān)．．等式的證明考得比較頻繁，所涉及的方法主是比較法、綜合法和分析法，而放縮法作為一種輔助方法不容忽視．第課時(shí)、實(shí)數(shù)的大小比較法則：設(shè)a，∈，；＝

不式概和質(zhì)；.實(shí)數(shù)的大小比較法則它是比較個(gè)實(shí)數(shù)大小的依據(jù)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小只考察它們的就以了.實(shí)數(shù)的大小比較法則與實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則一起構(gòu)成了證明其它不等式性質(zhì)的基、不等式的個(gè)性質(zhì)定理及其3條論定理（對(duì)稱性）a>b第1頁(yè)共4頁(yè)

222a2n222222a2n222定理（同向傳遞性）a>b，b>c

定理3a>b

a＋c>＋c推論a>b，

定理4，c>0

a>bc<0

推論1(非負(fù)數(shù)同向相乘)a>b≥0，

推論2＞0

annNn>1)定理5＞0nn典例

N且n>1)例1.證明:(1)(x－y)(x＋＜(x＋y)(x－y)b＞變訓(xùn)1：不等式logx2x+3

＜解集是_例設(shè)＝＋log3＝2log2，中x＞0，x．比較f(x)g(x)的大小.xx變訓(xùn)2：若不等－1)a＜＋是

(n

對(duì)于任意正整數(shù)n恒立，則實(shí)數(shù)取值范圍例3.函

f(x)

＝＋滿足：

f(

≤2，

f

≤4，

f

的取值范圍．變訓(xùn)：若1＜＜，－4＜＜，則－β的值范圍是

例已知函數(shù)f(x)＝x＋＋b當(dāng)pq滿＋q，試證明：(x)＋(y)＋qy)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y都立的充要條件是o≤p≤1.變訓(xùn)4：已知＞b＞c，＋＋c＝，程＋bx＋＝0的個(gè)實(shí)數(shù)根為x、．12證明：－＜＜；若x＋x＋x＝，求x－xx＋x；122求x－x．第2頁(yè)共4頁(yè)

22Raa22a22Raa22a歸?。坏仁降男再|(zhì)是證明不等式與解不等式的重要而又基本的依據(jù)，必須要正確、熟地掌握，要弄清每一性質(zhì)的條件和結(jié)論．注意條件的放寬和加強(qiáng)，條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系．．使用作差比，其變形之一是將差式因式分解，然后根據(jù)各個(gè)因式的符號(hào)判斷差式的符號(hào)；變形之二是將差式變成非負(fù)數(shù)（或非正數(shù)）之和，然后判斷差式的符號(hào)．3．關(guān)于(式)比較大小，應(yīng)該“相等與“不等分開(kāi)加以說(shuō)明，不要籠統(tǒng)地寫(xiě)成“A≥B(或B≤A)”．基過(guò)

第課

算平數(shù)幾平數(shù)．，，稱為a的術(shù)平均數(shù)；稱

為，b的何平均數(shù)．．理1如a、b

R，么＋b2ab（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)?。教?hào)）．理2

如果a、b

，那么≥2

（當(dāng)且僅當(dāng)a＝時(shí)＝”號(hào)）即兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．．知、y

R

，x＋y＝，xy＝有下列命題：如果是值，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)x＋y有小值．如果是值，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)xy有大值．典例例1．設(shè)a

R，試比較，2

，，的大小．21b變訓(xùn)1）x0,>

a

xy111y

，a與b的大小關(guān)系（）A．B．．a(chǎn)

．

（2）鹽水中，有a克鹽（

b0

再添加克（m>0）則鹽水就變咸了，試根據(jù)這一事實(shí)提煉一個(gè)不等式.例已知a，x，y∈R

+

（，常數(shù)

abxy

，求x＋y的最小值.第3頁(yè)共4頁(yè)

+55233+55233變訓(xùn)：已知，b，∈（，為常數(shù)＋＝，值為18求，值．

abxy

，若＋y的小例已知a,都是正數(shù)，并且，證：a

+b

>

+

2變訓(xùn)3：比較下列兩個(gè)數(shù)的大小：（1（2

2；2與

；（3從以上兩小項(xiàng)的結(jié)論中，你否得出更一般的結(jié)論？并加以證明例甲、乙兩地相距S（千米車(chē)甲地勻速行到乙地，速度最大不得超過(guò)（千米小時(shí)知車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸本（元）由可變部分與固定部分組成．可變部分與速度v（千米?。┑钠椒匠烧?，且比例系數(shù)為正常數(shù)；固定部分為a元試將全程運(yùn)輸成本Y()表示成速度V(千米小時(shí)的函數(shù)為使全程運(yùn)輸成本最省，汽車(chē)應(yīng)以多大速度行駛？歸小