2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.6空間向量及其運(yùn)算試題理北師大版

PAGEPAGE18第八章立體幾何與空間向量8.6空間向量及其運(yùn)算試題理北師大版1．空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量模為0的向量0單位向量長(zhǎng)度(模)為1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為－a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一個(gè)平面的向量2.空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理空間兩個(gè)向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.(2)空間向量根本定理如果向量e1,e2，e3是空間三個(gè)不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3，使得a＝λe1＋λ2e2＋λ3e3.空間中不共面的三個(gè)向量e1，e2，e3叫作這個(gè)空間的一個(gè)基底．3．空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB叫作向量a，b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，假設(shè)〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么稱a與b互相垂直，記作a⊥b.②兩向量的數(shù)量積空間兩個(gè)非零向量a，b，那么|a||b|cos〈a，b〉叫作向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))【知識(shí)拓展】1．向量三點(diǎn)共線定理：在平面中A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)．2．向量四點(diǎn)共面定理：在空間中P、A、B、C四點(diǎn)共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點(diǎn)．【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√〞或“×〞)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面．(√)(2)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(3)對(duì)于非零向量b，由a·b＝b·c，那么a＝c.(×)(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．(×)(5)假設(shè)A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，那么有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.(√)1．正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，那么eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值為()A．a(chǎn)2B.eq\f(1,2)a2C.eq\f(1,4)a2D.eq\f(\r(3),4)a2答案C解析如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，那么|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量?jī)蓛蓨A角為60°.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)(a·c＋b·c)＝eq\f(1,4)(a2cos60°＋a2cos60°)＝eq\f(1,4)a2.2．(2022·大連模擬)向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．a(chǎn)∥b，a∥c B．a(chǎn)∥b，a⊥cC．a(chǎn)∥c，a⊥b D．以上都不對(duì)答案C解析因?yàn)閏＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，所以a∥c.又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.應(yīng)選C.3．與向量(－3，－4,5)共線的單位向量是_________________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),10)，\f(2\r(2),5)，－\f(\r(2),2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),10)，－\f(2\r(2),5)，\f(\r(2),2)))解析因?yàn)榕c向量a共線的單位向量是±eq\f(a,|a|)，又因?yàn)橄蛄?－3，－4,5)的模為eq\r(－32＋－42＋52)＝5eq\r(2)，所以與向量(－3，－4,5)共線的單位向量是±eq\f(1,5\r(2))(－3，－4，5)＝±eq\f(\r(2),10)(－3，－4,5)．4.如圖，在四面體O－ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，那么eq\o(OE,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)答案eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c解析eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.5．(教材改編)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點(diǎn)，那么EF的長(zhǎng)為________．答案eq\r(2)解析|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\o(EF,\s\up6(→))2＝(eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))2＝eq\o(EC,\s\up6(→))2＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋eq\o(DF,\s\up6(→))2＋2(eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→)))＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴EF的長(zhǎng)為eq\r(2).題型一空間向量的線性運(yùn)算例1(1)如下圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，那么eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________________.答案eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))解析eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)).(2)三棱錐O－ABC中，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是△ABC的重心，用基向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示eq\o(MG,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→)).解eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)[eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\o(OA,\s\up6(→))]＝－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).思維升華用向量表示某一向量的方法用向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．首尾相接的假設(shè)干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．在立體幾何中三角形法那么、平行四邊形法那么仍然成立．(2022·青島模擬)如下圖，在空間幾何體ABCD－A1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).解(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋(a＋c＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c)＋(a＋eq\f(1,2)c)＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2(2022·天津模擬)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)求證：BD∥平面EFGH；(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))．證明(1)連接BG，那么eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由共面向量定理的推論知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)閑q\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以EH∥BD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)找一點(diǎn)O，并連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，同理eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))，即EH綊FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形，所以EG，F(xiàn)H交于一點(diǎn)M且被M平分．故eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OG,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)[eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))]＋eq\f(1,2)[eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))．思維升華(1)證明空間三點(diǎn)P，A，B共線的方法①eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；②對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)；③對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．(2)證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的方法①eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；②對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；③對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；④eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，假設(shè)點(diǎn)M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(1)判斷eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三個(gè)向量是否共面；(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．解(1)由題意知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))即eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，∴eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面且基線過同一點(diǎn)M，∴M，A，B，C四點(diǎn)共面．從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)．題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用例3(2022·濟(jì)南模擬)如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求線段AC1的長(zhǎng)；(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；(3)求證：AA1⊥BD.(1)解設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，那么|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝|a＋b＋c|＝eq\r(a＋b＋c2)＝eq\r(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋b·c＋c·a)＝eq\r(12＋12＋22＋20－1－1)＝eq\r(2).∴線段AC1的長(zhǎng)為eq\r(2).(2)解設(shè)異面直線AC1與A1D所成的角為θ，那么cosθ＝|cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC1,\s\up6(→))·\o(A1D,\s\up6(→)),|\o(AC1,\s\up6(→))||\o(A1D,\s\up6(→))|))).∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝b－c，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，|eq\o(A1D,\s\up6(→))|＝eq\r(b－c2)＝eq\r(|b|2－2b·c＋|c|2)＝eq\r(12－2×－1＋22)＝eq\r(7).∴cosθ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC1,\s\up6(→))·\o(A1D,\s\up6(→)),|\o(AC1,\s\up6(→))||\o(A1D,\s\up6(→)))))＝|eq\f(－2,\r(2)×\r(7))|＝eq\f(\r(14),7).故異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為eq\f(\r(14),7).(3)證明∵eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，∴eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，∴eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，∴AA1⊥BD.思維升華(1)利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系，也可以利用垂直關(guān)系，通過向量共線確定點(diǎn)在線段上的位置；(2)利用夾角公式，可以求異面直線所成的角，也可以求二面角；(3)可以通過|a|＝eq\r(a2)，將向量的長(zhǎng)度問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問題求解．如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求eq\o(AC1,\s\up6(→))的長(zhǎng)；(2)求eq\o(BD1,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))夾角的余弦值．解(1)記eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，那么|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2))＝6，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC1的長(zhǎng)為eq\r(6).(2)eq\o(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，∴|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，∴cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(6),6).即eq\o(BD1,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))夾角的余弦值為eq\f(\r(6),6).18．坐標(biāo)法在立體幾何中的應(yīng)用典例(12分)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點(diǎn)．(1)求eq\o(BN,\s\up6(→))的模；(2)求cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉的值；(3)求證：A1B⊥C1M.思想方法指導(dǎo)利用向量解決立體幾何問題時(shí)，首先要將幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，通過建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解．標(biāo)準(zhǔn)解答(1)解如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝eq\r(1－02＋0－12＋1－02)＝eq\r(3).[2分](2)解依題意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2)．所以eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(1，－1,2)，eq\o(CB1,\s\up6(→))＝(0,1,2)，eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(CB1,\s\up6(→))＝3，|eq\o(BA1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，所以cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up6(→))·\o(CB1,\s\up6(→)),|\o(BA1,\s\up6(→))||\o(CB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(30),10).[6分](3)證明依題意得C1(0,0,2)，M(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2)，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(－1,1，－2)，eq\o(C1M,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)．[9分]所以eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o(C1M,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋0＝0，所以eq\o(A1B,\s\up6(→))⊥eq\o(C1M,\s\up6(→))，即A1B⊥C1M.[12分]1．在以下命題中：①假設(shè)向量a，b共線，那么向量a，b所在的直線平行；②假設(shè)向量a，b所在的直線為異面直線，那么向量a，b一定不共面；③假設(shè)三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，那么向量a，b，c共面；④空間的三個(gè)向量a，b，c，那么對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案A解析a與b共線，a，b所在的直線也可能重合，故①不正確；根據(jù)自由向量的意義知，空間任意兩向量a，b都共面，故②不正確；三個(gè)向量a，b，c中任意兩個(gè)一定共面，但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面，故③不正確；只有當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，空間任意一向量p才能表示為p＝xa＋yb＋zc，故④不正確，綜上可知四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0，應(yīng)選A.2．(2022·鄭州模擬)a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，假設(shè)a，b，c三向量共面，那么λ等于()A．9B．－9C．－3D．3答案B解析由題意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,x＋2y＝6，,－3x＋3y＝λ，))解得λ＝－9.3．a(chǎn)＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，假設(shè)a⊥(a－λb)，那么實(shí)數(shù)λ的值為()A．－2B．－eq\f(14,3)C.eq\f(14,5)D．2答案D解析由題意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.4.如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，那么B，D兩點(diǎn)間的距離是()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C．1 D.eq\r(3－\r(2))答案D解析∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BF,\s\up6(→))|2＋|eq\o(FE,\s\up6(→))|2＋|eq\o(ED,\s\up6(→))|2＋2eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＋2eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝1＋1＋1－eq\r(2)＝3－eq\r(2)，故|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3－\r(2)).5．a(chǎn)，b是異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，那么異面直線a，b所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析如圖，設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝c，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b＋c，所以cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(a＋b＋c·b,|a＋b＋c||b|)＝eq\f(1,2)，所以異面直線a，b所成的角等于60°，應(yīng)選C.6．(2022·深圳模擬)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在AC1上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，N為B1B的中點(diǎn)，那么|eq\o(MN,\s\up6(→))|為()A.eq\f(\r(21),6)aB.eq\f(\r(6),6)aC.eq\f(\r(15),6)aD.eq\f(\r(15),3)a答案A解析以D為原點(diǎn)建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a，eq\f(a,2))．設(shè)M(x，y，z)，∵點(diǎn)M在AC1上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，∴(x－a，y，z)＝eq\f(1,2)(－x，a－y，a－z)，∴x＝eq\f(2,3)a，y＝eq\f(a,3)，z＝eq\f(a,3).∴M(eq\f(2a,3)，eq\f(a,3)，eq\f(a,3))，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(a－\f(2,3)a2＋a－\f(a,3)2＋\f(a,2)－\f(a,3)2)＝eq\f(\r(21),6)a.7．A，B，C，D是空間不共面四點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，那么△BCD的形狀是________三角形．(填銳角、直角、鈍角中的一個(gè))答案銳角解析因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2>0，所以∠CBD為銳角．同理∠BCD，∠BDC均為銳角．8．設(shè)O－ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG＝3GG1，假設(shè)eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，那么x，y，z的值分別為______________．答案eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，eq\f(1,4)解析如下圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG1,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(1,4).9．(2022·合肥模擬)a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，那么c＝________.答案(3，－2,2)解析因?yàn)閍∥b，所以eq\f(x,－2)＝eq\f(4,y)＝eq\f(1,－1)，解得x＝2，y＝－4，此時(shí)a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，又因?yàn)閎⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．10．(2022·天津模擬)ABCD－A1B1C1D1為正方體，①(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2；②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0；③向量eq\o(AD1,\s\up6(→))與向量eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角是60°；④正方體ABCD－A1B1C1D1的體積為|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|.其中正確的序號(hào)是________．答案①②解析①中，(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝eq\o(A1A,\s\up6(→))2＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))2＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2，故①正確；②中，eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，因?yàn)锳B1⊥A1C，故②正確；③中，兩異面直線A1B與AD1所成的角為60°，但eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為120°，故③不正確；④中，|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|＝0，故④也不正確．11.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點(diǎn)，假設(shè)平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等，那么①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上正確說法的個(gè)數(shù)為________．答案3解析eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(A1M,\s\up6(→))∥eq\o(D1P,\s\up6(→))，∴A1M∥D1P，由線面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.①③④正確．12.如下圖，空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))；(3)EG的長(zhǎng)；(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值．解(1)設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，那么|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a，eq\o(BA,\s\up6(→))＝－a，eq\o(DC,\s\up6(→))＝b－c.eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－\f(1,2)a))·(－a)＝eq\f(1,2)a2－eq\f(1,2)a·c＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(c－a)·(b－c)＝eq\f(1,2)(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－eq\f(1,4).(3)eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b－a＋eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，|eq\o(EG,\s\up6(→))|2＝eq