近世代數(shù)期末考試試題和答案解析

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1、設(shè)G有6個元素的循環(huán)群，a是生成元，則G的子集（）是子群。A、B、C、D、2、下面的代數(shù)系統(tǒng)（G，*）中，（）不是群A、G為整數(shù)集合，*為加法C、G為有理數(shù)集合，*為加法B、G為偶數(shù)集合，*為加法D、G為有理數(shù)集合，*為乘法3、在自然數(shù)集N上，下列哪種運(yùn)算是可結(jié)合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、設(shè)、、是三個置換，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），則=（）A、B、C、D、5、任意一個具有2個或以上元的半群，它（）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交換群二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、凱萊定理說：任一個子群都同一個----------同構(gòu)。2、一個有單位元的無零因子-----稱為整環(huán)。3、已知群中的元素的階等于50，則的階等于------。4、a的階若是一個有限整數(shù)n，那么G與-------同構(gòu)。5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。6、若映射既是單射又是滿射，則稱為-----------------。7、叫做域的一個代數(shù)元，如果存在的-----8、是代數(shù)系統(tǒng)使得。的元素，對任何均成立，則稱為---------。9、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉；結(jié)合律成立、---------。10、一個環(huán)R對于加法來作成一個循環(huán)群，則P是----------。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、設(shè)集合A={1,2,3}G是A上的置換群，H是G的子群，H={I,(12)}，寫出H的所有陪集。2、設(shè)E是所有偶數(shù)做成的集合，“”是數(shù)的乘法，則“”是E中的運(yùn)算，（E，）是一個代數(shù)系統(tǒng)，問（E，）是不是群，為什么？3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、若<G，*>是群，則對于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。2、設(shè)m是一個正整數(shù)，利用m定義整數(shù)集Z上的二元關(guān)系：a?b當(dāng)且僅當(dāng)m︱a–b。近世代數(shù)模擬試題三一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1、6階有限群的任何子群一定不是（）。A、2階B、3階C、4階D、6階2、設(shè)G是群，G有（）個元素，則不能肯定G是交換群。A、4個B、5個C、6個D、7個3、有限布爾代數(shù)的元素的個數(shù)一定等于（）。A、偶數(shù)B、奇數(shù)C、4的倍數(shù)D、2的正整數(shù)次冪4、下列哪個偏序集構(gòu)成有界格（）A、（N,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除關(guān)系））D、(P(A),5、設(shè)S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（）B、（Z,）)A、(1)，(123)，(132)C、(1)，(123)B、12)，(13)，(23)D、S3中的所有元素二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、群的單位元是--------的，每個元素的逆元素是--------的。2、如果是與間的一一映射，是的一個元，則----------。3、區(qū)間[1，2]上的運(yùn)算的單位元是-------。4、可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=——————————。5、環(huán)Z8的零因子有-----------------------。6、一個子群H的右、左陪集的個數(shù)----------。7、從同構(gòu)的觀點(diǎn)，每個群只能同構(gòu)于他/它自己的---------。8、無零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階數(shù)稱為R的-----------。9、設(shè)群中元素的階為，如果，那么與存在整除關(guān)系為--------。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項(xiàng)鏈，問可做出多少種不同的項(xiàng)鏈？2、S1，S2是A的子環(huán)，則S1∩S2也是子環(huán)。S1+S2也是子環(huán)嗎？3、設(shè)有置換1．求2．確定置換，。和；和的奇偶性。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、一個除環(huán)R只有兩個理想就是零理想和單位理想。2、M為含幺半群，證明b=a-1的充分必要條件是aba=a和ab2a=e。近世代數(shù)模擬試題一參考答案一、單項(xiàng)選擇題。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1、；2、單位元；3、交換環(huán)；4、整數(shù)環(huán)；5、變換群；6、同構(gòu);7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解：把和寫成不相雜輪換的乘積：可知為奇置換，為偶置換。和可以寫成如下對換的乘積：2、解：設(shè)A是任意方陣，令，和，則B是對稱矩陣，而C是反對稱矩陣，且。若令有，這里分別為對稱矩陣和反對稱矩陣，則，而等式左邊是對稱矩陣，右邊是反對稱矩陣，于是兩邊必須都等于0，即：，，所以，表示法唯一。3、答：（中有兩個不同的單位元素0和m。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、對于G中任意元x，y，由于，）不是群，因?yàn)?，所以（對每個x，從可得）。2、證明在F里有意義，作F的子集顯然是R的一個商域證畢。近世代數(shù)模擬試題二參考答案一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1、變換群；2、交換環(huán)；3、25；4、模n乘余類加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右單位元；9、消去律成立；10、交換環(huán)；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解：H的3個右陪集為：{I,(12)}，{(123)，(13)}，{(132)，(23)}H的3個左陪集為：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}2、答：（E，）不是群，因?yàn)椋‥，）中無單位元。3、解方法一、輾轉(zhuǎn)相除法。列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、證明設(shè)e是群<G，*>的幺元。令x＝a－1*b，則a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。若x∈G也是a*x＝b的解，則x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。2、容易證明這樣的關(guān)系是Z上的一個等價關(guān)系，把這樣定義的等價類集合記為Zm，每個整數(shù)a所在的等價類記為[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可記為，稱之為模m剩余類。若m︱a–b也記為a≡b(m)。當(dāng)m=2時，Z2僅含2個元：[0]與[1]。近世代數(shù)模擬試題三參考答案一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解在學(xué)群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進(jìn)行計(jì)算：例如，全白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，…等等，可得總共8種。2、證由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：因?yàn)镾1，S2是A的子環(huán)，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：3、解：