四川大學(xué)自動化專業(yè)英語 微分方程模型(1階段)

微分方程模型2一般方程其中(0)§1、微分方程穩(wěn)定性理論簡介345判定平衡點穩(wěn)定性的兩種方法：

直接法——求出解的表達式，再由穩(wěn)定性的定義判定平衡點的穩(wěn)定性。(2)間接法——不求解，直接利用微分方程的性質(zhì)判定平衡點的穩(wěn)定性6(2)一階自治方程的平衡點及穩(wěn)定性7§2

、人口模型8基本假設(shè):人口的相對增長率為常數(shù)r.B：出生率D：死亡率人口函數(shù)：Malthus模型Malthus模型特點:在有限的時間內(nèi),在生存空間和食物供應(yīng)充足的環(huán)境下,Malthus人口模型是比較準確的;但是,由于生存空間有限、食物短缺、戰(zhàn)爭、疾病、自然災(zāi)害,以及人為控制人口增長等等原因,Malthus人口模型不能準確地反映出人口的實際增長情況.9美國人口的Malthus預(yù)測值(單位:百萬)比較精確誤差增大整整高出一倍！10Logistic阻滯增長模型基本假設(shè):人口的相對增長率隨著人口數(shù)量的增加而減少,當(dāng)人數(shù)超過某飽和值N

后,相對增長率為負.故x=0是不穩(wěn)定平衡點,x=N是穩(wěn)定平衡點.A.直接法分析平衡點r:固有增長率11拐點12B.間接法分析平衡點故N是穩(wěn)定平衡點.13美國人口的Logisitc預(yù)測值(單位:百萬)很吻合1415§3

、捕魚模型16直接法分析平衡點：17圖解法：固定曲線調(diào)節(jié)E產(chǎn)量模型1819魚量方程同產(chǎn)量模型：效益模型2021比較：22當(dāng)漁場向眾多的盲目經(jīng)營者開放，只要有微薄利潤，經(jīng)營者也會去捕撈，稱為盲目捕撈（或開放式捕撈），這將導(dǎo)致捕撈過度。捕撈過渡23242526一階自治方程組的平衡點及穩(wěn)定性1、線性系統(tǒng)

稱為系數(shù)矩陣(5)當(dāng)特征根的實部均小于零時，平衡點是穩(wěn)定的；當(dāng)存在實部大于零的特征根時，平衡點是不穩(wěn)定的。

27記鞍點區(qū)

穩(wěn)定結(jié)點區(qū)不穩(wěn)定結(jié)點區(qū)穩(wěn)定焦點區(qū)不穩(wěn)定焦點區(qū)中心區(qū)282、非線性系統(tǒng)

(4)(5)2930以兩種群為例：A、捕食者-食餌系統(tǒng)；B、相互依存；C、相互競爭Lotka-Volterra模型:§4

、生態(tài)數(shù)學(xué)模型313233捕食者(Predator)－食餌(Prey)系統(tǒng)平衡點：(1)用matlab軟件編程,可得x(t),y(t)及相軌線y(x).可以猜測,x(t),y(t)是周期函數(shù).相應(yīng)地,y(x)是閉曲線.34(1)用一階近似方程討論平衡點的穩(wěn)定性在原點(0,0)附近的一階近似方程為：特征根為a(>0)和c,所以原點是不穩(wěn)定平衡點.平衡點及相軌線35特征根為

P

點的穩(wěn)定性不能由其一階近似方程判定，所以直接討論原方程。在

點附近的一階近似方程為：36相平面上的軌線滿足微分方程：(2)(k是常數(shù))(2)相軌線37記38當(dāng)x，y在第一象限時，有根據(jù)k值考察相軌線的形狀：此時軌線退化為一點，即平衡點。394041k

減小42同理可得：即：43引入捕魚影響，模型變?yōu)椋赫f明捕撈量增大對食餌有利。44模型的延伸應(yīng)用:殺蟲濟的影響模型的局限性:多數(shù)p-p系統(tǒng)無周期震蕩,而是趨于某穩(wěn)定的平衡點.

呈周期變化的生態(tài)系統(tǒng)應(yīng)該是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的.極限環(huán)45平衡點競爭模型r1,r2:固有增長率;N1,N2:飽和量;1,

2:競爭力46麻煩!47記4849分析：505152分析：5354分析：5556分析：57相互依存模型58平衡點59606162演講完畢，謝謝觀看！內(nèi)容總結(jié)微分方程模型。直接法——求出解的表達式，再由穩(wěn)定性的定義判定平衡點的穩(wěn)定性。(2)間接法——不求解，直接利用微分方程的性質(zhì)判定平衡點的穩(wěn)定性?；炯僭O(shè):人口的相對增長率為常數(shù)r.。Malthus模型特點:在有限的時間內(nèi),在生存空間和食物供應(yīng)充足的環(huán)境下,Malthus人口模型是比較準確的。但是,由于生存空間有限、食物短缺、戰(zhàn)爭、疾病、自然災(zāi)害,以及人為控制人口增長等等原因,Malthus人口模型不能準確地反映出人口的實際增長情況.。基本假設(shè):人口的相對增長率隨著人口數(shù)量的增加而減少,當(dāng)人數(shù)超過某飽和值N后,相對增長率為負.。故x=0是不穩(wěn)定平衡點,x=N是