2020-2021人教版數(shù)學(xué)第二冊教師用書：第8章 8.1第1課時棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊教師用書：第8章8.1第1課時棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征含解析8.1基本立體圖形第1課時棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．通過對實物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征．(重點)2．理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系．（難點)3．能運用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)和有關(guān)計算．（易混點)通過空間幾何體概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。觀察下面的圖片，這些圖片你都不陌生吧．小到精巧的家居裝飾,大到宏偉的龐大建筑;從遠(yuǎn)古的金字塔，到現(xiàn)代的國家大劇院、埃菲爾鐵塔,設(shè)計師、建筑師們匠心獨具，為我們留下了精美絕倫的建筑物，每當(dāng)看到這些建筑物都會給人以震撼的美．問題:那么設(shè)計師是如何設(shè)計這些建筑物的呢？應(yīng)用到哪些數(shù)學(xué)知識呢？1．空間幾何體類別多面體旋轉(zhuǎn)體定義一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體一條平面曲線（包括直線）繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面,封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體圖形2。棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱的結(jié)構(gòu)特征定義一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱圖示及相關(guān)概念底面:兩個互相平行的面；側(cè)面：底面以外的其余各面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；頂點：側(cè)面與底面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱，四棱柱……思考1:棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形嗎?［提示］根據(jù)棱柱的概念可知，棱柱側(cè)面一定是平行四邊形．(2)棱柱的分類直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱．斜棱柱:側(cè)棱不垂直于底面的棱柱．正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱．平行六面體:底面是平行四邊形的四棱柱．（3）棱錐的結(jié)構(gòu)特征定義有一面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐圖示及相關(guān)概念底面：多邊形面;側(cè)面：有公共頂點的各個三角形面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊;頂點：各側(cè)面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐，四棱錐，……，其中三棱錐又叫四面體．底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫正棱錐思考2:有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體一定是棱錐嗎？[提示]不一定．因為“其余各面都是三角形"并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”．（4）棱臺的結(jié)構(gòu)特征定義用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺圖示及相關(guān)概念上底面：原棱錐的截面；下底面：原棱錐的底面；側(cè)面：除上下底面以外的面；側(cè)棱:相鄰側(cè)面的公共邊；頂點：側(cè)面與上(下）底面的公共頂點分類由幾棱錐截得，如三棱臺、四棱臺……思考3：棱臺的上下底面互相平行,各側(cè)棱延長線一定相交于一點嗎？［提示］根據(jù)棱臺的定義可知其側(cè)棱延長線一定交于一點．1．思考辨析(正確的畫“√",錯誤的畫“×”)(1)棱柱的側(cè)面都是平行四邊形． (）（2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐． (）(3）用一平面去截棱錐,底面和截面之間的部分叫棱臺． （)[答案］(1）√（2）×(3）×2．在三棱錐A。BCD中,可以當(dāng)作棱錐底面的三角形的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4D[每個三角形都可以作為底面．］3．下面說法中，正確的是（）A．上下兩個底面平行且是相似的四邊形的幾何體是四棱臺B．棱臺的所有側(cè)面都是梯形C．棱臺的側(cè)棱長必相等D．棱臺的上下底面可能不是相似圖形B[由棱臺的結(jié)構(gòu)特點可知，A、C、D不正確．故B正確．]4．下面屬于多面體的是________(填序號）．①建筑用的方磚；②埃及的金字塔;③茶杯；④球．①②［①②屬于多面體，③④屬于旋轉(zhuǎn)體．]棱柱的結(jié)構(gòu)特征【例1】（1）下列命題中，正確的是（)A．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形（2)如圖所示，長方體ABCD。A1B1C1D1①這個長方體是棱柱嗎？如果是,是幾棱柱？為什么？②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分,各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？若是，請指出它們的底面．(1）D［由棱柱的定義可知，只有D正確，分別構(gòu)造圖形如下:①②③圖①中平面ABCD與平面A1B1C1D1平行，但四邊形ABCD與A1B1C1D1不全等,故A錯;圖②中正六棱柱的相對側(cè)面ABB1A1與EDD1E1(2)［解]①長方體是四棱柱．因為它有兩個平行的平面ABCD與平面A1B1C1D1②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，其中一部分,有兩個平行的平面BB1M與平面CC1N,其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，這符合棱柱的定義，所以是三棱柱，可用符號表示為三棱柱BB1M-CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符號表示為四棱柱ABMA1-DCND有關(guān)棱柱結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略1有關(guān)棱柱概念辨析問題應(yīng)緊扣棱柱定義①兩個面互相平行；②其余各面是四邊形；③相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行。求解時，首先看是否有兩個面平行,再看是否滿足其他特征.2多注意觀察一些實物模型和圖片便于反例排除。eq\o(［跟進訓(xùn)練］）1．（多選題）下列關(guān)于棱柱的說法正確的是（)A．所有棱柱的兩個底面都平行B．所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余每相鄰面的公共邊互相平行C．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱D．棱柱至少有五個面ABD［對于A、B、D，顯然是正確的；對于C，棱柱的定義是這樣的：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”這一條件,因此所圍成的幾何體不一定是棱柱．如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯誤．］棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征【例2】（1)(多選題)下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法，正確的是（）A．棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形B．棱錐的側(cè)面只能是三角形C．由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐D．棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐（2）判斷如圖所示的幾何體是不是棱臺，為什么？（1）ABC[A正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；B正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；C正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；D錯誤，如圖所示，四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．］（2)［解]①②③都不是棱臺．因為①和③都不是由棱錐所截得的，故①③都不是棱臺，雖然②是由棱錐所截得的,但截面和底面不平行，故不是棱臺，只有用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分才是棱臺．關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征題目的判斷方法（1）舉反例法結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確．(2)直接法棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形,此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點延長后相交于一點eq\o(［跟進訓(xùn)練])2．(一題多空）下列幾何體中，________是棱柱，________是棱錐,________是棱臺(僅填相應(yīng)序號)．①③④⑥⑤［結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺的定義可知①③④是棱柱，⑥是棱錐，⑤是棱臺．］多面體的表面展開圖［探究問題］1．棱柱的側(cè)面展開圖是什么圖形？正方體的表面展開圖又是怎樣的？［提示]棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形；正方體的表面展開圖如圖：2．棱臺的側(cè)面展開圖又是什么樣的?［提示］棱臺的側(cè)面展開圖是多個相連的梯形．【例3】（1）某同學(xué)制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品盒的平面展開圖應(yīng)該為(對面是相同的圖案）(）（2）如圖是三個幾何體的平面展開圖，請問各是什么幾何體？［思路探究](1)正方體的平面展開圖?以其中一個面不動把其他面展開．(2）常見幾何體的定義與結(jié)構(gòu)特征?空間想象或動手制作平面展開圖進行實踐．（1)A［由選項驗證可知選A．］（2)［解］圖①中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形，符合棱柱特點;圖②中,有5個三角形，且具有共同的頂點，還有一個五邊形，符合棱錐特點；圖③中，有3個梯形，且其腰的延長線交于一點，還有兩個相似的三角形,符合棱臺的特點．把平面展開圖還原為原幾何體，如圖所示．所以①為五棱柱，②為五棱錐,③為三棱臺．1.將本例(1)改為：水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個正方體的平面展開圖（圖中數(shù)字寫在正方體的外表面上),若圖中“0"上方的“2”在正方體的上面，則這個正方體的下面是(）A．1 B．9C．快 D．樂B［將圖形折成正方體知選B．］2。將本例（2)的條件改為：一個幾何體的平面展開圖如圖所示．(1）該幾何體是哪種幾何體？（2）該幾何體中與“?！弊置嫦鄬Φ氖悄膫€面？與“你"字面相對的是哪個面？［解](1）該幾何體是四棱臺．(2)與“祝"相對的面是“前”，與“你”相對的面是“程”．多面體展開圖問題的解題策略（1）繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征,發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過程中,常常給多面體的頂點標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖．(2）由展開圖復(fù)原幾何體:若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推．同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的,也就是說，一個多面體可有多個表面展開圖．一、知識必備1．在理解的基礎(chǔ)上，要牢記棱柱、棱錐、棱臺的定義,能夠根據(jù)定義判斷幾何體的形狀．2．棱柱、棱臺、棱錐關(guān)系圖二、方法必備在解答基本立體圖形中的問題時，一般要通過對空間幾何體的展開、折疊等方法,實現(xiàn)立體問題平面化，可以比較形象、直觀地解決問題．1．棱臺不具備的特點是(）A．兩底面相似 B．側(cè)面都是梯形C．側(cè)棱都相等 D．側(cè)棱延長后都交于一點C[由于棱錐的側(cè)棱不一定相等,所以棱臺的側(cè)棱都相等的說法是錯誤的．]2．有一個多面體,共有四個面圍成，每一個面都是三角形，則這個幾何體為()A．四棱柱 B．四棱錐C．三棱柱 D．三棱錐D[根據(jù)棱錐的定義可知該幾何體是三棱錐．］3．下列圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個棱柱的是(）ABCDD［A,B，C中底面多邊形的邊數(shù)與側(cè)面數(shù)不相等．]4．(一題兩空）一個棱柱至少有________個面,頂點最少的一個棱臺有________條側(cè)棱．53[面最少的棱柱是三棱