2020-2021人教版數(shù)學(xué)第二冊(cè)教師用書(shū)：第9章 9.29.2.4 總體離散程度的估計(jì)含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)教師用書(shū)：第9章9.29.2.4總體離散程度的估計(jì)含解析9.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差）．（重點(diǎn)）2.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1。通過(guò)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。2.通過(guò)利用標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差估計(jì)總體的離散程度,培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：甲：8，6，7,8，6，5，9，10，4,7；乙：6,7,7,8，6,7,8,7，9,5.經(jīng)過(guò)計(jì)算可知甲、乙的命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)都是7環(huán)．問(wèn)題：若從二人中選一人去和兄弟部分參加射擊大賽,只用平均數(shù)能否作出選擇?1．一組數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn的方差和標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為eq\f（1,n)eq\i\su（i＝1,n，)xi－eq\o（x,\s\up7（－)））2＝eq\f(1,n)eq\i\su（i＝1，n，x）eq\o\al（2，i）－eq\x\to(x）2，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(\f(1，n）\i\su(i＝1,n,xi－\o(x，\s\up7（－））2)).2．總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差(1）總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差：如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，…,YN,總體的平均數(shù)為eq\x\to(Y),則稱S2＝eq\f（1,N）eq\i\su(i＝1,N,)Yi－eq\o(Y，\s\up7（－)））2為總體方差，S＝eq\r(S2）為總體標(biāo)準(zhǔn)差．(2）總體方差的加權(quán)形式:如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k（k≤N）個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi（i＝1,2，…，k），則總體方差為S2＝eq\f(1,N)eq\i\su（i＝1,k，f）i(Yi－eq\o(Y,\s\up7(－）））2。3．樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1，y2，…，yn,樣本平均數(shù)為eq\x\to(y）,則稱s2＝eq\f（1，n）eq\i\su（i＝1,n,)yi－eq\o(y,\s\up7(－）))2為樣本方差，s＝eq\r（s2)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．4．標(biāo)準(zhǔn)差的意義標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小．5．分層隨機(jī)抽樣的方差設(shè)樣本容量為n，平均數(shù)為eq\x\to(x），其中兩層的個(gè)體數(shù)量分別為n1，n2，兩層的平均數(shù)分別為eq\o(x，\s\up7(－）)1，eq\o（x，\s\up7(－))2，方差分別為seq\o\al（2,1)，seq\o\al（2,2）,則這個(gè)樣本的方差為s2＝eq\f(n1，n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\o(x，\s\up7（－))1－eq\o（x，\s\up7（－）））2］＋eq\f（n2,n)[seq\o\al（2,2）＋（eq\o（x,\s\up7（－）)2－eq\o(x,\s\up7(－)）)2］．思考1:甲班和乙班各有學(xué)生20人、40人，甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為80分，方差為2，乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為82分，方差為4，那么甲班和乙班這60人的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分是eq\f（80＋82，2）＝81分嗎？方差是eq\f（2＋4,2）＝3嗎?為什么？［提示]不是，因?yàn)榧装嗪鸵野嘣谶@60人中的權(quán)重是不同的．思考2:數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)是eq\o（x,\s\up7(－））,方差為s2，數(shù)據(jù)x1,x2，…，xn,eq\o（x,\s\up7(－)）的方差為seq\o\al(2,1)，那么s2與seq\o\al(2，1)的大小關(guān)系如何？[提示］因?yàn)閿?shù)據(jù)x1，x2，…，xn，eq\o（x，\s\up7(－）)比數(shù)據(jù)x1,x2，…，xn更加相對(duì)集中,所以方差變小了，即seq\o\al(2,1)＜s2.1．思考辨析(正確的畫(huà)“√"，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)若一組數(shù)據(jù)的值大小相等，沒(méi)有波動(dòng)變化，則標(biāo)準(zhǔn)差為0。 （)（2)標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)郊?；?biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)椒稚ⅲ?（)[提示]（1)正確．(2）錯(cuò)誤．標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)椒稚?；?biāo)準(zhǔn)差越小，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)郊校鄞鸢福荩?）√（2）×2．在教學(xué)調(diào)查中,甲、乙、丙三個(gè)班的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)分布如圖1、2、3，假設(shè)三個(gè)班的平均分都是75分，s1，s2,s3分別表示甲、乙、丙三個(gè)班數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）圖1圖2圖3A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1D［所給圖是成績(jī)分布圖，平均分是75分,在圖1中，集中在75分附近的數(shù)據(jù)最多，圖3中從50分到100分均勻分布,所有成績(jī)不集中在任何一個(gè)數(shù)據(jù)附近，圖2介于兩者之間．由標(biāo)準(zhǔn)差的意義可得s3＞s2＞s1。］3．已知一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)為1，2,3，4，5,則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為(）A．1B．eq\r（2）C．eq\r(3）D．2B［∵樣本容量n＝5，∴eq\o(x，\s\up7（－））＝eq\f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∴s＝eq\r（\f（1,5）［1－32＋2－32＋3－32＋4－32＋5－32]）＝eq\r（2）.］方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算【例1】甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量,各從中抽取6件測(cè)量,數(shù)據(jù)為甲：9910098100100103；乙：9910010299100100.（1）分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．[解](1)eq\o(x，\s\up7（－))甲＝eq\f（1，6）(99＋100＋98＋100＋100＋103）＝100，eq\o(x，\s\up7（－））乙＝eq\f（1,6）（99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[（99－100)2＋(100－100）2＋(98－100）2＋（100－100）2＋(100－100)2＋(103－100)2］＝eq\f（7，3），seq\o\al（2，乙）＝eq\f(1，6)［(99－100）2＋(100－100）2＋(102－100)2＋(99－100)2＋（100－100)2＋（100－100）2]＝1.(2)兩臺(tái)機(jī)床所加工零件的直徑的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2，乙)，所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義1標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小。標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會(huì)超過(guò)極差。2標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：［0，＋∞.標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)相等，說(shuō)明數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒(méi)有離散性.eq\o(［跟進(jìn)訓(xùn)練］)1．如圖，樣本A和B分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為eq\o（x,\s\up7(－））A和eq\o(x,\s\up7(－））B，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為sA和sB,則（）A．eq\o（x,\s\up7(－)）A>eq\o（x，\s\up7(－)）B，sA〉sB B．eq\o(x,\s\up7（－）)A<eq\o（x，\s\up7（－）)B，sA>sBC．eq\o(x，\s\up7(－））A〉eq\o(x，\s\up7(－））B，sA〈sB D．eq\o（x，\s\up7（－））A<eq\o（x,\s\up7（－））B，sA〈sBB［eq\o(x,\s\up7（－))A＝eq\f(1，6)（2。5＋10＋5＋7.5＋2。5＋10）＝6。25，eq\o（x，\s\up7（－)）B＝eq\f（1，6)（15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝eq\f(35,3）≈11.67.seq\o\al(2,A)＝eq\f(1，6)［(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6。25）2＋（7。5－6。25)2＋（2.5－6。25）2＋(10－6。25)2］≈9。90，seq\o\al（2，B）＝eq\f(1，6）eq\b\lc\［\rc\（\a\vs4\al\co1（15－11.672＋10－11。672＋12.5－11。672））eq\b\lc\\rc\]（\a\vs4\al\co1(＋10－11.672＋12。5－11.672＋10－11。672））≈3.47。故eq\o（x，\s\up7（－)）A＜eq\o（x，\s\up7（－））B，sA＞sB．]分層隨機(jī)抽樣的方差【例2】甲、乙兩支田徑隊(duì)體檢結(jié)果為：甲隊(duì)的體重的平均數(shù)為60kg,方差為200,乙隊(duì)體重的平均數(shù)為70kg,方差為300,又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1∶4，那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差分別是什么?[解]由題意可知eq\o（x，\s\up7（－))甲＝60，甲隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為eq\f(1，1＋4）＝eq\f(1，5），eq\o(x，\s\up7（－)）乙＝70，乙隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為eq\f(4，1＋4）＝eq\f(4，5)，則甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重為eq\x\to（x）＝eq\f（1,5)×60＋eq\f（4，5)×70＝68kg,甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的體重的方差為s2＝eq\f（1，5）［200＋（60－68)2]＋eq\f（4，5)［300＋（70－68)2]＝296。計(jì)算分層隨機(jī)抽樣的方差s2的步驟1確定eq\x\to（x）1，\x\to(x）2，s\o\al（2，1）,s\o\al（2,2），2確定eq\x\to(x）；3應(yīng)用公式s2＝eq\f（n1,n）［s\o\al（2,1）＋\x\to(x）1－\x\to(x）2］＋\f（n2,n)［s\o\al(2,2)＋\x\to(x）2－\x\to(x）2］，計(jì)算s2。eq\o（[跟進(jìn)訓(xùn)練］)2．已知某省二、三、四線城市數(shù)量之比為1∶3∶6，2019年8月份調(diào)查得知該省所有城市房產(chǎn)均價(jià)為1.2萬(wàn)元/平方米，方差為20，二、三、四線城市的房產(chǎn)均價(jià)分別為2.4萬(wàn)元/平方米，1。8萬(wàn)元/平方米，0.8萬(wàn)元/平方米，三、四線城市房?jī)r(jià)的方差分別為10,8,則二線城市的房?jī)r(jià)的方差為_(kāi)_______．118.52[設(shè)二線城市的房?jī)r(jià)的方差為s2，由題意可知20＝eq\f(1，1＋3＋6）［s2＋(1.2－2。4）2］＋eq\f（3，1＋3＋6）[10＋（1.2－1。8)2］＋eq\f(6，1＋3＋6)[8＋（1。2－0。8）2]，解得s2＝118.52，即二線城市的房?jī)r(jià)的方差為118.52.]數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的綜合應(yīng)用[探究問(wèn)題］1．對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,應(yīng)該從哪幾個(gè)方面進(jìn)行？[提示］用平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的平均水平，用眾數(shù)反映數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，用中位數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和一般水平，用標(biāo)準(zhǔn)差或方差反映數(shù)據(jù)的離散程度．2．對(duì)比兩組數(shù)據(jù)時(shí),要從哪幾個(gè)方面進(jìn)行?［提示］從眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差等幾個(gè)方面．【例3】在一次科技知識(shí)競(jìng)賽中，某學(xué)校的兩組學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦卤恚悍謹(jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷這兩個(gè)組在這次競(jìng)賽中的成績(jī)誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)劣，并說(shuō)明理由．[思路探究］分別求出這兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差，從這幾個(gè)方面進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．[解]（1)甲組成績(jī)的眾數(shù)為90，乙組成績(jī)的眾數(shù)為70，從成績(jī)的眾數(shù)比較看，甲組成績(jī)好些．(2）eq\x\to（x）甲＝eq\f（1,2＋5＋10＋13＋14＋6)（50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6）＝eq\f（1，50)×4000＝80，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)（50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq\f(1，50)×4000＝80.seq\o\al（2,甲)＝eq\f（1，2＋5＋10＋13＋14＋6）［2×(50－80)2＋5×（60－80)2＋10×（70－80）2＋13×(80－80)2＋14×（90－80）2＋6×（100－80)2]＝172，seq\o\al（2,乙）＝eq\f（1，4＋4＋16＋2＋12＋12）[4×（50－80)2＋4×(60－80）2＋16×（70－80）2＋2×(80－80)2＋12×(90－80）2＋12×(100－80)2］＝256。∵eq\x\to（x)甲＝eq\x\to(x）乙，seq\o\al(2,甲）〈seq\o\al(2，乙），∴甲組成績(jī)較乙組成績(jī)穩(wěn)定,故甲組好些．(3）甲、乙兩組成績(jī)的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分．其中，甲組成績(jī)?cè)?0分以上(包括80分）的有33人，乙組成績(jī)?cè)?0分以上（包括80分)的有26人．從這一角度看，甲組的成績(jī)較好．(4)從成績(jī)統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績(jī)大于等于90分的有20人，乙組成績(jī)大于等于90分的有24人，所以乙組成績(jī)集中在高分段的人數(shù)多．同時(shí),乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人．從這一角度看，乙組的成績(jī)較好．?dāng)?shù)據(jù)分析的要點(diǎn)(1)要正確處理此類問(wèn)題，首先要抓住問(wèn)題中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，全方位地進(jìn)行必要的計(jì)算、分析，而不能習(xí)慣性地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績(jī)好,像這樣的實(shí)際問(wèn)題還得從實(shí)際的角度去分析，如本例的“滿分人數(shù)";其次要在恰當(dāng)?shù)卦u(píng)估后，組織好正確的語(yǔ)言作出結(jié)論．(2）在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí),不同的標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有對(duì)和錯(cuò)的問(wèn)題,也不存在唯一解的問(wèn)題，而是根據(jù)需要來(lái)選擇“好”的決策，至于決策的好壞,是根據(jù)提出的標(biāo)準(zhǔn)而定的．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．某校擬派一名跳高運(yùn)動(dòng)員參加一項(xiàng)校際比賽,對(duì)甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了8次選拔比賽，他們的成績(jī)（單位:m）如下:甲：1.70,1。65，1。68,1.69，1。72，1.73，1。68,1.67；乙:1。60，1。73,1.72，1。61,1。62,1。71,1.70,1.75.經(jīng)預(yù)測(cè),跳高1。65m就很可能獲得冠軍．該校為了獲取冠軍，可能選哪位選手參賽？若預(yù)測(cè)跳高1。70m方可獲得冠軍呢？［解］甲的平均成績(jī)和方差如下：eq\o（x，\s\up7(－）)甲＝eq\f（1，8)（1.70＋1。65＋1。68＋1。69＋1.72＋1。73＋1。68＋1.67)＝1.69，seq\o\al(2,甲）＝eq\f(1，8）[（1.70－1.69)2＋(1。65－1.69）2＋…＋（1.67－1。69)2］＝0.0006。乙的平均成績(jī)和方差如下：eq\o（x，\s\up7（－)）乙＝eq\f（1，8）（1.60＋1。73＋1.72＋1。61＋1。62＋1。71＋1。70＋1。75）＝1.68，seq\o\al(2，乙）＝eq\f(1，8）[（1.60－1。68）2＋(1.73－1.68）2＋…＋（1.75－1.68）2］＝0。00315。顯然,甲的平均成績(jī)高于乙的平均成績(jī),而且甲的方差小于乙的方差，說(shuō)明甲的成績(jī)比乙穩(wěn)定．由于甲的平均成績(jī)高于乙，且成績(jī)穩(wěn)定，所以若跳高1。65m就很可能獲得冠軍，應(yīng)派甲參賽．在這8次選拔賽中乙有5次成績(jī)?cè)?.70m以上，雖然乙的平均成績(jī)不如甲，成績(jī)的穩(wěn)定性也不如甲，但成績(jī)突破1。70m的可能性大于甲,所以若跳高1。70m方可獲得冠軍，應(yīng)派乙參賽。一、知識(shí)必備1．標(biāo)準(zhǔn)差的平方稱為方差，有時(shí)用方差代替標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量樣本數(shù)據(jù)的離散程度．方差與標(biāo)準(zhǔn)差的測(cè)量效果是一致的，在實(shí)際應(yīng)用中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．2．現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往很多，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是未知的,我們通常用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，但要求樣本有較好的代表性．二、方法必備計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的5個(gè)步驟(1)求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\x\to(x）；(2）求出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi－eq\x\to(x）（i＝1，2,…，n)；(3)求出xi－eq\x\to（x）(i＝1,2，…，n）的平方值；(4)求出上一步中n個(gè)平方值的平均數(shù),即為樣本方差;（5）求出上一步中平均數(shù)的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．1．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為(）A．8 B．15C．16 D．32C［已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為s＝8,則s2＝64，數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為22s2＝22×64，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(22×64)＝2×8＝16，故選C．］2．(一題兩空）某學(xué)員在一次射擊測(cè)試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下:7，8,7，9,5，4，9，10,7，4,則:（1)平均命中環(huán)數(shù)為_(kāi)_______;（2）命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_______．（1)7（2）2［（1)eq\o（x，\s\up7(－）)＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.(2）∵s2＝eq\f（1,10）［（7－7)2＋（8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋（5－7）2＋（4－7)2＋(9－7)2＋(10－7）2＋(7－7）2＋（4－7）2]＝4，∴s＝2。］3．已知樣本9,10,11，x，y的平均數(shù)是10，方差是4,則xy＝________。91［由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（9＋