華師版九年級數(shù)學(xué)上冊全冊教案教學(xué)設(shè)計(jì)含教學(xué)反思

華師版九年級數(shù)學(xué)上冊全冊教案教學(xué)設(shè)計(jì)含教學(xué)反思

第二十一章二次根式

21.1二次根式

【知識與技能】

1.理解二次根式的概念，并利用&(a>0)的意義解答具體題目.

2.理解右(a20)是非負(fù)數(shù)和(夜)Ja.

3.理解&=a(a》0)并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡.

【過程與方法】

1.提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題.

2.通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出&(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用具

體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出(&)'a(a20),最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

3.通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究并利用這個(gè)結(jié)論解決具體問題.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】而

I-a(a<0)

通過具體的數(shù)據(jù)體會(huì)從特殊到一般、分類的數(shù)學(xué)思想，理解

二次根式的概念及二次根式的有關(guān)性質(zhì).

1.形如&(a20)的式子叫做二次根式.

2.6(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；(&)2=a(a20)及其運(yùn)用.

利用“&(a30)”解決具體問題.

關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出

曲」a(a2O)

\-a(o<0)

多媒體課件.

回顧：

當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，、份表示a的算術(shù)平方根，即正數(shù)a的正的平方根.

當(dāng)a是零時(shí)，右等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算術(shù)平方根.

當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，G沒有意義.

【教學(xué)說明】通過對算術(shù)平方根的回顧引入二次根式的概念.

一、思考探究，獲取新知

概括：&(a》0)表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是說，?(a20)是一個(gè)非負(fù)

數(shù)，它的平方等于a.即有：

(1)4a>0；(2)(&)鼻(a20).

形如G(a20)的式子叫做二次根式.

注意：在右中，a的取值必須滿足a20,即二次根式的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

思考：C等于什么？

我們不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3等，分別計(jì)算對應(yīng)的標(biāo)的值，看看有什么

規(guī)律.

概括：當(dāng)a20時(shí)，=a；當(dāng)a<0時(shí)，-\[a^=~a.

【教學(xué)說明】針對上述問題可給予時(shí)間讓學(xué)生討論，讓學(xué)生獨(dú)立思考。

二、運(yùn)用新知，深化理解

Lx取什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義？

(1)6F⑵巫￥；

x-2

(3)V(x-3)2；(4)^7^4+\/4^3x

2.計(jì)算下列各式的值：

(1)(V18)2(2)(L

(3)(，)2(4)(35尸

3,若V^TTT+<^T=0,求，嚴(yán)4+/嚴(yán)4的值.

4.化簡：

(1)0;(2)“-4尸；

(3)唇(4)--3尸.

5,若-3WxW2時(shí)，試化簡I%-2I

+，(久+3尸.

【教學(xué)說明】可由學(xué)生搶答完成，再由老師總結(jié)歸納.

【答案】1.(1)冕這于(2)第2-1且工產(chǎn)

4

4

2(3)仝體實(shí)數(shù)(4)x=j

2.(1)18(2)彳(3)苒(4)453.2

316

4.(1)3(2)4(3)5(4)35.5

1.師生共同回顧二次根式的概念及有關(guān)性質(zhì)：(1)(Va)=a(a^O)；(2)當(dāng)a20時(shí),

=a；當(dāng)a<0時(shí)，=~a.

2.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識，還有哪些疑問？請與同伴交流.

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生回顧知識點(diǎn)，讓學(xué)生大膽發(fā)言，進(jìn)行知識提煉和知識歸納.

「概念形如癡(67>0)的式子叫做二次根式.

二次—

根式-1性質(zhì)1：(1)加20(420)

L性質(zhì)-（2）（指）2=4（。20）

性質(zhì)2Z止圖之.

.<???

1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題21.1”中選取.

本節(jié)課從復(fù)習(xí)算術(shù)平方根入手引入二次根式的概念，再通過特殊數(shù)據(jù)的計(jì)算，理解二次

根式的有關(guān)性質(zhì)，經(jīng)歷觀察、歸納、分類討論等思維過程，從中獲得數(shù)學(xué)知識與技能，體驗(yàn)

教學(xué)活動(dòng)的方法.

第二十一章二次根式

21.2二次根式的乘除法

21.2.1二次根式的乘法

【知識與技能】

理解五'?孤=，茄(a》b,b20),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

【過程與方法】

由具體數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出&?揚(yáng)=，石(a20,b20)并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

通過探究&?孤=，石(a^O,b^O),培養(yǎng)特殊到一般的探究精神，培養(yǎng)學(xué)生對事

物規(guī)律的觀察發(fā)現(xiàn)能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

Ja?4b-4ab（a20,b20）,及它的運(yùn)用.

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出，二J茄（a20,b20）.

多媒體課件.2

i.填空：

⑴Rx。=,

....，4..x9.+...........；.

(2)'底x后=,

716x25=；

(3)'/100x./56=,

7100x36=.

參照上面的結(jié)果，用或“="填空.

口xR、/4義9,

716x\/25_______\/16x25,

7100x底________710()x36

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空.

五x8屁

區(qū)x5師

5xB回;

口x5v5o.

【教學(xué)說明】由學(xué)生通過具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出&?%=，石（aN0,bN0）.

一、思考探究，獲取新知

（學(xué)生活動(dòng)）讓3、4個(gè)同學(xué)上臺總結(jié)規(guī)律.

教師點(diǎn)評：（1）被開方數(shù)都是正數(shù)；（2）兩個(gè)二次根式的積等于這樣一個(gè)二次根式，它

的被開方數(shù)等于前兩個(gè)二次根式的被開方數(shù)的積.

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

4a?Jh-4ab(a20,b20).：

例1計(jì)算：

(1)J5x/7；(2)Jjx5；

(3)9x師(4)JyX6.

解：(1)5xf7=燼；

⑶。X方=V^5<27=必X3=93；

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用公式

4~a?4b=\[ab(a20,b20).

二、運(yùn)用新知，深化理解

1.直角三角形兩條直角邊的長分別為15cm和12cm,那么此直角三角形斜邊長是()

A.3V2cmB.3cmC.9cmD.27cm

2.化簡〃的結(jié)果是（）

A.\/-aB.A；

（】.—V—（1D.—J（i

3.等式\/x-1?\lx+1=Jx2-1成立的條

件是（）

A.xN1B?％N-1

C.D.xNl或

4.下列各等式成立的是()

A.45x25=85

B.53x4五=205

C.4J3x32=75

1).53x4僅=205

【答案】LB2.C3.A4.D

【教學(xué)說明】可由學(xué)生搶答完成，再由教師總結(jié)歸納.

1.由學(xué)生小組討論匯報(bào)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識，還有哪些疑問？請與

同伴交流.

2.教師總結(jié)歸納二次根式的乘法規(guī)定，??括二而(a^O.b^O).

【教學(xué)說明】教師引發(fā)學(xué)習(xí)回顧知識點(diǎn)，讓學(xué)生大膽發(fā)言，進(jìn)行知識提煉和知識歸納.

一般地，有

yfa4h=4ab(a>0,Z>>0)

這就是說，兩個(gè)算術(shù)平方根的積，等于它們

被開方數(shù)的積的算術(shù)平方根.

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題21.2”中選取.

這節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生通過具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出?孤=疝(a2O,b2O),

并學(xué)會(huì)它的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的探究精神，培養(yǎng)學(xué)生對于事物規(guī)律的觀察、發(fā)現(xiàn)

能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

第二十一章二次根式

21.2二次根式的乘除法

21.2.2積的算術(shù)平方根

【知識與技能】

1.^.^-4ab-4a?4b（a》O,b》O）；

2.isffl4ab-4a?Jb（a'O,b2O）.

【過程與方法】

利用逆向思維，得出而=五■?揚(yáng)（a》O,b》O）,并運(yùn)用它解題和化簡.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

讓學(xué)生推導(dǎo)而=右?直（aeo,beO）以訓(xùn)練逆向思維，通過嚴(yán)謹(jǐn)解題，增強(qiáng)學(xué)生

準(zhǔn)確解題的能力.

-Jab-4a?4b(a20,b20)及其運(yùn)用.

Jab?4h(a20,b20)的理解與應(yīng)用.

多媒體課件.2

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為—二而（a》0,b20）.反過來，

y[ah=4a?4b（a20,b20）.

【教學(xué)說明】引導(dǎo)讓學(xué)生通過復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的二次根式的規(guī)定，利用逆向思維，得出

4cib=4a?4b(a20,b20).

一、思考探究，獲取新知

例1化簡：

(1)<3TT6；(2)V16x81；

(3)V81x10()；(4)\M

解：(1)V5VT6=0x屈=3x4=12；

(2)W6x8l=\Mx聞=4x9=36；

(3)\/81x100=畫xx/TOO=9x1()

=90；

(4)回=\^x6=斤XB=3E

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生利用疝=—?揚(yáng)(a20,b>0)直接化簡即可.

例2判斷下列各式是否正確，不正確的請改正：

(1)7(-4)X(-9)=\T^4x；

(2)屋疹二4xBx后

=4Bx底=4厄=8]3.

【教學(xué)說明】注意引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握積的算術(shù)平方根應(yīng)用的條件：a》0,b20.

二、運(yùn)用新知，深化理解

1.化簡：(1)V20;(2)718;(3)V24；(4)病.

2.自由落體的公式為s=Lgt?(g為重力加速度，它的值為lOm/s?),若物體下落的高度

2

為120m,則下落的時(shí)間是s.

【答案】1.(1)25(2)3。(3)2B

(4)3B2.26

【教學(xué)說明】可由學(xué)生自主完成分組討論，小組代表匯報(bào)，再由老師總結(jié)歸納.

1.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識，還有哪些疑問？請與同伴交流.

2.教師總結(jié)歸納積的算術(shù)平方根等于各因式算術(shù)平方根的積，即

4ab=>[a?4b(a20,b20).

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生回顧知識點(diǎn)，讓學(xué)生大膽發(fā)言，進(jìn)行知識提煉和知識歸納.

一般地，有

i4ab=y/a4b(a>0,/>>0)i

這就是說，積的平方根，等于各因式算

術(shù)平方根的積.

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題21.2”中選取.

^g?@?

本課時(shí)教學(xué)以“自主探究一一合作交流”為主體形式，先給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，提供

學(xué)生創(chuàng)新的空間與可能,再給不同層次的學(xué)生提供一個(gè)交流合作的機(jī)會(huì),培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探究、

合作學(xué)習(xí)的能力，訓(xùn)練逆向思維，通過嚴(yán)謹(jǐn)解題，增加學(xué)生準(zhǔn)確解題的能力.

第二十一章二次根式

21.2二次根式的乘除法

21.2.3二次根式的除法

【知識與技能】

1.理解堂=怖(aN0,b>0)和杳=堂(a20,b>0),并運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算.

2.利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出

逆向等式及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

3.理解最簡二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.

【過程與方法】

4a

1.先由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出(a^0,b>0),并用它進(jìn)行計(jì)算.

4b

_y/a

2.再利用逆向思維,得出(a>0,b>0),并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡.

bJb

3.理解最簡二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

通過探啜

;(a>0,b>0)培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的探究精神；讓學(xué)生推導(dǎo)

^4〈a'。"〉。)以訓(xùn)練逆向思維’通過嚴(yán)謹(jǐn)解題’增強(qiáng)學(xué)生準(zhǔn)確解題的能力.

4a[a_yfa

1.理解(a>0,b>0),(a^0,b>0)及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化

y/b

2.最簡二次根式的運(yùn)用.

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.最簡二次根式的運(yùn)用.

多媒體課件.2

(學(xué)生活動(dòng))請同學(xué)們完成下列各題.

1.寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向公式.

2.填空：

zOJ9

/加-

\t-

716

/廊

(一

X2)一

3)q

4)

/怖

V=

回x/16

廊

國

而

/

l=

\

杯:

+L國

.A

3.利用計(jì)算器計(jì)算填空:

2\

一-

J3一

一7-

口

。

4\

=)=

5一/

規(guī):t

3

一

口

笈

5一

【教學(xué)說明】每組推薦一名學(xué)生上臺闡述運(yùn)算結(jié)果，最后教師點(diǎn)評.

一、思考探究，獲取新知

剛才同學(xué)們都練習(xí)得很好，上臺的同學(xué)也回答得十分準(zhǔn)確，根據(jù)大家的練習(xí)和回答，我

們可以得到：

一般地，對二次根式的除法規(guī)定:

4a_[a

(a>0,b>0)

反過來,(a20,b>0)

卜面我們利用這個(gè)規(guī)定來計(jì)算和化簡一些題目.

例1計(jì)算:

直接利嗯

【教學(xué)說明】(a^0,b>0)

例2化簡:

觀察上面各小題的最后結(jié)果，發(fā)現(xiàn)這些二次根式有這些特點(diǎn):

(1)被開方數(shù)中不含分母；

(2)被開方數(shù)中所含的因數(shù)(或因式)的基的指數(shù)都小于2.

【教學(xué)說明】利用二次根式的乘法、除法規(guī)定來化簡，要求最后結(jié)果化成最簡二次根式.

二、運(yùn)用新知，深化理解

1.化簡:

(2)-V172-132；

(4)---.

8-2

2.已知'亍則〃的取值范圍

是.

3.如圖,在RtZ\ABC中，NC=90",AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的長.

A

【答案】1.(1)乎(2)-2750(3)

(4)8+五2.0<?^13.6.5cm

【教學(xué)說明】第1題可由學(xué)生自主完成，第2題、3題教師可給予相應(yīng)的指導(dǎo).

請若干學(xué)生口述小結(jié)，老師再利用電子課件將小結(jié)放映在屏幕上.

二次根式的除法

二次根式」1.被開方數(shù)有分母時(shí)，注意分母的取值范圍；

的化簡12.進(jìn)行二次根式乘除運(yùn)算或化簡時(shí)，結(jié)果要盡可能化簡.

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題21.2”中選取.

本課時(shí)教學(xué)突出學(xué)生主體性原則，即通過探究學(xué)習(xí)，指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，通過具體數(shù)據(jù)

得出規(guī)律，再讓學(xué)生相互交流，或上臺展示自己的發(fā)現(xiàn)，或表述個(gè)人的體驗(yàn)，從中獲取成功

的體驗(yàn)后，激發(fā)學(xué)生探究的激情.

第二H■?一章二次根式

21.3二次根式的加減法

【知識與技能】

1.掌握同類二次根式的概念，會(huì)判斷同類二次根式，會(huì)合并同類二次根式.

2.掌握二次根式加減乘除混合運(yùn)算的方法.

【過程與方法】

通過二次根式的加減法運(yùn)算培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

形成良好的思維習(xí)慣，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題，并能運(yùn)用所學(xué)的知識解

決問題.

二次根式加減法的運(yùn)算.

^80?

探討二次根式加減法的運(yùn)算方法，快速準(zhǔn)確進(jìn)行二次根式加減法的運(yùn)算.

多媒體課件.2

1.合并同類項(xiàng)：

(1)2x+3x；(2)2X-3X2+5X2.

解：⑴5x；(2)4x2.

這幾道題是你運(yùn)用什么知識做的？加減法則.

2.化簡：

(1)停；(2)廊.

解：(1)T；(2)4區(qū)

3.如何進(jìn)行二次根式的加減計(jì)算?先化簡，再合并.

4.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數(shù)相同，這些二次

根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數(shù)相同的二次根式.如2行與3正；

2瓜、3次與5次.

一、思考探究，獲取新知

例1計(jì)算：

(1)22+32；

(2)2區(qū)-3區(qū)+5區(qū)；

(3)7+2/7+3V55<7'；

(4)3B-23+8.

解：(1)5。；(2)8優(yōu);(3)12d(4)2區(qū)

例2計(jì)算：

(1)2V12-64+3腐；

(2)(41+廊)+(5).

解：(1)14J3；(2)3回+5.

【教學(xué)說明】進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，必須先將其化簡，是同類二次根式才可合并.

例3計(jì)算:

(1)(揭-5B).6；

(2)(5+B)?(5。-2B);

(3)(35+2))?(3J5-27)；

(4)(4+35產(chǎn)

4LL

解：(1)三-152；(2)19厲;(3)17；

(4)61+245.

【教學(xué)說明】在二次根式的運(yùn)算中，多項(xiàng)式乘法法則和乘法公式仍然適用.

二、運(yùn)用新知，深化理解

1.下列計(jì)算是否正確？為什么？

⑴底-B二癡二T；

(2)R+9=v?+9；

(3)35-J2=2J2.

2.以卜二次根式：①注；②厄;③停；

④加7中，與8是同類二次根式的是()

A.①和②B.②和③

C.①和④1).③和④

3.計(jì)算：

(1)網(wǎng)-畫+5；

(2)\M+(項(xiàng)-萬j；

(3)；(2+8)一;(2+歷)；

24

(4)3\M-9Jy+3712.

4.已知%=8+1,y=B-1，求下列各式的值

(1)X2+2xy+y2；(2)x2-y2.

【答案】L解：(1)不正確，此式結(jié)果為2

2-B；

(2)不正確,此式結(jié)果為5；(3)正確.

2.C

3.解：(1)35;

(2)10。一3B；

⑶丁??；

(4)15區(qū)

4.解:⑴12；(2)4區(qū)

【教學(xué)說明】這類計(jì)算的簡便方法是先變形，再代入求值.

請學(xué)生分組討論，小組代表匯報(bào)，教師展示本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識要點(diǎn).

^g?@?

1.同類二次根式

如-2G與4及，3人與-2萬

2.二次根式的加減

二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化簡，

再將同類二次根式合并.

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題21.3”中選取.

18@?

本節(jié)課通過復(fù)習(xí)整式的加減法合并同類項(xiàng)，引入二次根式的概念及二次根式的合并方

法，對法則的教學(xué)與整式的加減比較學(xué)習(xí)，在理解、掌握和運(yùn)用二次根式的加減法運(yùn)算法則

的學(xué)習(xí)過程中，滲透了分析、概括、類比等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的思維品質(zhì)和興趣.

第二十二章一元二次方程

22.1一元二次方程

【知識與技能】

1.知道一元二次方程的意義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(a

WO).

2.在分析、揭示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)的

過程中，使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具,增加對一元二次方程的感性認(rèn)識.

【過程與方法】

通過解決實(shí)際問題，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，引入一元二次方程的概念，讓學(xué)生認(rèn)

識一元二次方程及其相關(guān)概念，提高學(xué)生利用方程思想解決實(shí)際問題的能力.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根.

由實(shí)際問題列出的一元二次方程解出根后，還要考慮這些根是否確定是實(shí)際問題的根.

多媒體課件.2

問題1綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長

方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？

【分析】設(shè)長方形綠地的寬為x米，不難列出方程x(x+10)=900,整理可得

X2+10X-900=0.(1)

問題2學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩

年的年平均增長率.

解：設(shè)這兩年的年平均增長率為x,我們知道，去年年底的圖書數(shù)是5萬冊，則今年年

底的圖書數(shù)是5(1+x)萬冊，同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年底的(1+x)倍，即5

(1+x)?(1+x)=5(1+x)2萬冊.可列得方程5(1+x)2=7.2,整理可得5<+10x-2.2=0(2)

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生列出方程，解決問題.

一、思考探究，獲取新知

思考、討論

問題1和問題2分別歸結(jié)為解方程（1）和（2）.顯然，這兩個(gè)方程都不是一元二次方

程.那么這兩個(gè)方程與一元二次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點(diǎn)呢？

共同特點(diǎn)：

（1）都是整式方程

（2）只含有一個(gè)未知數(shù)

（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2

【歸納總結(jié)】上述兩個(gè)整式方程中都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,

這樣的方程叫做一元二次方程.通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑篴x2+bx+c=O（a,b、c是已知數(shù),

aWO）.其中ax?叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)，bx叫做一次項(xiàng)系數(shù)，c叫做常數(shù)項(xiàng).

二、典例精析，掌握新知

例1判斷下列方程是否為一元二次方程：

I1-x2=0②2（x2-1）=3y

③2/-3.x-1=0@'4--=0

%%

（KK久+3）2=（》-3>⑥9%2=5-4x

解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.

【教學(xué)說明】（1）一元二次方程為整式方程；（2）類似⑤這樣的方程要化簡后才能判斷.

例2將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)

系數(shù).一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

解：2X2-13X+11=0；2,-13,11.

【教學(xué)說明】將一元二次方程化成一般形式時(shí)，通常要將首項(xiàng)化負(fù)為正，化分為整.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及

常數(shù)項(xiàng).

（1）5X2-1=4X

（2）4x=81

(3)4x(x+2)=25

(4)(3x-2)(x+1)=8x-3

解：⑴5X2-4X-1=0；5,-4,-1；

(2)4x2-81=0：4,0,-81

(3)4X2+8X-25=0；4,8,-25

(4)3x-7x+>0；3,-7,1.

2.根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.

(1)4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形的邊長x；

(2)一個(gè)長方形的長比寬多2,面積是100,求長方形的長x；

(3)把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平

方，求較短一段的長X.

解：⑴4x=25；4xJ25=0；

(2)x(x-2)=100；x-2x-100=0；

(3)x=(1-x)2；x2-3x+l=0.

3.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一個(gè)根，求a的值.

解：：x=2是方程ax2+4x-5=0的一個(gè)根.

3

.?.4a+8-5=0解得：a=--.

4

L只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0(a#0),一元二次方程的項(xiàng)及系數(shù)都是根據(jù)

一般式定義的，這與多項(xiàng)式中的項(xiàng)、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致的.

3.在實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)的過程中，體會(huì)學(xué)習(xí)一元二次方程的必

要性和重要性.

是整式方程

一元二次方程的概念只含有一個(gè)未知數(shù)

一未知數(shù)的最高次數(shù)是2

元

二

2

次一元二次方程的一般形式（ix+bx-=0（存0）

方

程

二次項(xiàng)系數(shù)

常數(shù)項(xiàng)

一元二次方程的解(根)一次項(xiàng)系數(shù)

4g???

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題22.1”中選取.

學(xué)習(xí)本課時(shí)，可讓學(xué)生先自主探索再合作交流，小組內(nèi)，小組之間充分交流后概括所得

結(jié)論，從而強(qiáng)化學(xué)生對一元二次方程的有關(guān)概念的認(rèn)識，掌握建模思想，利用一元二次方程

解決實(shí)際問題.

第二十二章一元二次方程

22.2一元二次方程的解法

22.2.1直接開平方法和因式分解法

【知識與技能】

1.會(huì)用直接開平方法解形如a(x-k)2=b(aW0,ab20)的方程.

2.靈活應(yīng)用因式分解法解一元二次方程.

3.使學(xué)生了解轉(zhuǎn)化的思想在解方程中的應(yīng)用.

【過程與方法】

創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問題情境，綜合運(yùn)用探究式、啟發(fā)式、活動(dòng)式等幾種方法進(jìn)行教學(xué).

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)的參與“教”與“學(xué)”的整個(gè)過程，激發(fā)求知的欲望，體驗(yàn)求知的成

功，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣和自信心.

利用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程.

合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練地解一元二次方程.

多媒體課件.2

問：怎樣解方程(x+1)2=256?

解：方法1：直接開平方，得x+l=±16

所以原方程的解是x,=15,X2=-17

方法2：原方程可變形為：

(x+1)--256=0,方程左邊分解因式，得(x+1+16)(x+1-16)=0

即(x+17)(x-15)=0

所以x+17=0或x-15=0

原方程的解*=15,X2=T7

【教學(xué)說明】讓學(xué)生說出作業(yè)中的解法，教師板書.

一、思考探究，獲取新知

探究一桶油漆可刷的面積為1500dm2,李林用這桶油漆恰好刷完10個(gè)同樣的正方體形

狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？

探究1設(shè)一個(gè)盒子的棱長為xdm,則它的外表面面積為，10個(gè)這種盒子的外表面面積

的和為，由此你可得到方程為，你能求出它的解嗎？

【教學(xué)說明】學(xué)生通過自主探究，嘗試用開平方法解決一元二次方程，體驗(yàn)成功的快樂.

教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思考是否正確，是否注意到實(shí)際問題的解與對應(yīng)的一元二次方程的解之間

的關(guān)系，幫助學(xué)生獲取新知.

【討論結(jié)果】解：6x2,10X6x；10X6x2=1500,整理得x?=25,根據(jù)平方根的意義，得x=

±5,可以驗(yàn)證，5和-5是原方程的兩個(gè)根，因?yàn)槔忾L不能為負(fù)值，所以盒子的棱長為5dm,

故x=5dm.

【歸納結(jié)論】一般地，對于方程

x2=p,(1)

(1)當(dāng)p>0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程(【)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根

XI=-7P,X2=A；

(2)當(dāng)p=0時(shí)，方程(I)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根Xi=Xz=O;

(3)當(dāng)p<0時(shí)，因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x,都有所以方程(I)無實(shí)數(shù)根.

探究2學(xué)生通過討論，交流得出方程為10『4.9/=0.

在學(xué)生用配方法或公式法求出上述方程的解后，教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試找出其簡捷解法為：

x(10-4.9x)=0.x=0或10-4.9x=0,XFO,X=—七2.04.

249

從而可知物體被拋出約2.04s后落回到地面.

想一想以上解方程的方法是如何使二次方程降為一次方程的？

【教學(xué)說明】讓學(xué)生自主探索，進(jìn)行歸納總結(jié)，既鍛煉學(xué)生的分析問題，解決問題能力，

又能培養(yǎng)總結(jié)化歸能力，并從中體驗(yàn)轉(zhuǎn)化、降次的思想方法.

【討論結(jié)果】當(dāng)方程的一邊為0,而另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，利用

a?b=O,則a=0或b=0,把一元二次方程變?yōu)閮蓚€(gè)一元一次方程，從而求出方程的解.這種

解法稱為因式分解法.

二、典例精析，掌握新知

例1用直接開平方法解下列方程

(1)(3x+l)2=7；(2)y2+2y+l=24;(3)9n-24n+16=l1.

解：(i)一；7；

(2)-1±2⑹；

(3)4±41_

【教學(xué)說明】運(yùn)用開平方法解形如(x+m):n(n>0)的方程時(shí)，最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是

漏掉負(fù)根.

例2用因式分解法解下列方程：

(1)5x-4x=0

(2)3x(2x+l)=4x+2

(3)(x+5)2=3X+15

_4

解：(1)%l=0,%2二彳

/、21

(2).=y,x2=-y

⑶=-5,%2=-2

【教學(xué)說明】解這里的(2)(3)題時(shí)，注意整體劃歸的思想.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.用直接開平方法解下列方程

(1)3(x-1)-6=0

(2)x-4x+4=5

(3)(x+5)J25

(4)X2+2X+1=4

解：(1)%I=1+優(yōu),%2T-K

(2)陽=2+5,出=2-5

(3=0,久2=-10

(4)Q=1,叼=-3

2.用因式分解法解下列方程：

(1)f+%=0(2)x2-2樂=0

(3)3,-6x=-3(4)4.1121=0

(5)(%—4)2=(5-2%)2

解：(1)%]=0,%2=~1

(2).%=。,n=28

(3)%,="2=1

，八1111

(4)盯=—,x2=--

(5)久]=3,x2=1

3.把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小圓形場地

的半徑.

解：設(shè)小圓形場地的半徑為xm.

則可列方程2nx1n(x+5)；

解得Xi=5+5,X2=5-5(舍去).

答：小圓形場地的半徑為(5+5a)m.

【教學(xué)說明】可由學(xué)生自主完成例題，分小組展示結(jié)果，教師點(diǎn)評.

1.引導(dǎo)學(xué)生回憶用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步驟.

2.對于形如a(x-k)Jb(a#O,b'O)的方程，只要把(x-k)看作一個(gè)整體，就可轉(zhuǎn)

化為x2=n(n>0)的形式用直接開平方法解.

3.當(dāng)方程出現(xiàn)相同因式(單項(xiàng)式或多項(xiàng)式)時(shí)，切不可約去相同因式，而應(yīng)用因式分解

法解.

因式分解的方法有

ma+mb+me=m(a+b+c);

將方程左邊因式

22

分解，右邊=0.a±2ab+b=(a±6戶；

a2-h2=(a+b)(a-h).

因式分解法原理如果。,力=0，那么o=0或6=0.

簡記歌訣：

步驟右化零左分解

兩因式各求解

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題22.2”中選取.

本節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生探討直接開平方法和因式分解法解一元二次方程，讓學(xué)生小組討

論，歸納總結(jié)探究，掌握基本方法和步驟，合理、恰當(dāng)、熟練地運(yùn)用直接開平方法和因式分

解法，在整個(gè)教學(xué)過程中注意整體劃歸的思想.

22.2.2配方法

【知識與技能】

掌握用配方法解一元二次方程.

【過程與方法】

理解通過變形運(yùn)用開平方法解一元二次方程的方法，進(jìn)一步體驗(yàn)降次的數(shù)學(xué)思想方法.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

在學(xué)生合作交流過程中，進(jìn)一步增強(qiáng)合作交流意識，培養(yǎng)探究精神，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂

趣.

用配方法解一元二次方程的方法和技巧.

用配方法解一元二次方程的方法和技巧.

多媒體課件.

問題要使一塊長方形的場地的長比寬多6m,并且面積為16m*場地的長與寬各是多少？

思考如果設(shè)這個(gè)長方形場地的寬為xm,則長為,由題意可列出的方程

為，你能將此方程化為（x+n）Jp的形式，并求出它的解嗎？

【教學(xué)說明】經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出一元二次方程模型的過程，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)

學(xué)建模能力，并通過思考，用類比、轉(zhuǎn)化思想方法探索出解這類方程的一種方法，導(dǎo)入新課.

教學(xué)過程中，應(yīng)給予學(xué)生充分思考，交流活動(dòng)時(shí)間，達(dá)到探索新知的目的.

一、思考探究，獲取新知

討論:配方法屆一元二次方程的一般步驟：

【討論結(jié)果】（1）現(xiàn)將已知方程化為一般形式；（2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（3）常數(shù)項(xiàng)移

到右邊；（4）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；（5）

變形為（x+p）2=q的形式，如果q》0,方程的根是X=-p±Jq；如果q<0,方程無實(shí)根.

二、典例精析，掌握新知

例1解下列方程

(1)2X2+1=3X(2)3xJ-6x+4=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0

【分析】我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配

一個(gè)含有x的完全平方.

【解】略

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.將二次三項(xiàng)式x?-4x+2配方后，得()

A.(x-2).2

B.(x-2)-2

C.(X+2)2+2

D.(X+2)2-2

2.已知XJ8X+15=0,左邊化成含x的完全平方式，其中正確的有()

A.X-8X+(-4)M1

B.x-8x+(-4)=l

C.XZ+8X+42=1

D.X2-4X+4=-11

r2—r—2

3.若代數(shù)式，的值為0,則x的值為_______.

x-1

4.方程x-2x-3=0的解為.

5.要使一塊長方形場地的長比寬多3m,其面積為28m試求這個(gè)長方形場地的長與寬

各是多少？

【教學(xué)說明】通過上述幾道題目的練習(xí)，可進(jìn)一步鞏固對本節(jié)知識的理解和領(lǐng)悟.

【答案】LB

2.B

3.x=2

4.Xi=-1,X2=3

5.長與寬分別為7nl和4m.

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能用配方法解一元二次方程嗎？有哪些需要注意的地方？

2.用配方法解一元二次方程涉及哪些數(shù)學(xué)思想方法？

【教學(xué)說明】讓學(xué)生通過對上述問題的回顧與思考，反思學(xué)習(xí)體會(huì)，完善知識體系.

1.通過配成完全平方的形式來解方程的方法，

叫做配方法.

2.用配方法解『II次方程的一般步驟：

一移T二化T三配一四開.

?@?

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題22.2”中選取.

1.本節(jié)課，重在學(xué)生的自主參與，進(jìn)而獲得成功的體驗(yàn)，在數(shù)學(xué)方法上，仍突出數(shù)學(xué)研

究中轉(zhuǎn)化的思想，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生合理的認(rèn)識沖突，激發(fā)興趣，建立自信心.

2.在練習(xí)內(nèi)容上，有所改進(jìn)，加強(qiáng)了核心知識的理解與鞏固，提高自己解決問題的能力，

感受數(shù)學(xué)創(chuàng)造的樂趣，提高教學(xué)效果.

3.用配方法解一元二次方程是學(xué)習(xí)解一元二次方程的基本方法,后面的求根公式是在配

方法的基礎(chǔ)上推出的，配方法在使用時(shí)又與原來學(xué)習(xí)的完全平方式聯(lián)系密切，用配方法解一

元二次方程既是對原來知識的鞏固，又是對后面學(xué)習(xí)內(nèi)容的鋪墊.在二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的求

解中也同樣使用的是配方法，因此配方法是一種基本的數(shù)學(xué)解題方法.

22.2.3公式法

【知識與技能】

i.理解并掌握求根公式的推導(dǎo)過程；

2.能利用公式法求一元二次方程的解.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索求根公式的過程，加強(qiáng)推理技能，進(jìn)一步發(fā)展邏輯思維能力.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

用公式法求解一元二次方程的過程中，鍛煉學(xué)生的運(yùn)算能力，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣，培

養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度.

用公式法解一元二次方程.

推導(dǎo)一元二次方程求根公式的過程.

多媒體課件

我們知道，對于任意給定的一個(gè)一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出

它的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.事實(shí)上，任何一個(gè)一元二次方程都可以寫成ax?+bx+c=O的形式，我們是否

也能用配方法求出它的解呢？想想看，該怎樣做？

【教學(xué)說明】讓學(xué)生回顧用配方法解一元二次方程的一般過程，從而嘗試著求

ax2+bx+c=0(aWO)的方程的解，導(dǎo)入新課，教學(xué)時(shí)，應(yīng)給予足夠的思考時(shí)間，讓學(xué)生自主

探究.

一、思考探究，獲取新知

通過問題情境思考后，師生共同探討方程ax2+bx+c=O(a#0)的解.

bc

由ax'+bx+c=O(aWO),移項(xiàng)，ax?+bx=-c.二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x、一x=--.配方，得

aa

bb.c.b.b,b2-4ac

x2+-x+(t—)2=——+(h)-2，InrPl/2

a2aa2a2a4a~

至此，教師應(yīng)作適當(dāng)停頓，提出如下問題，引導(dǎo)學(xué)生分析、探究：

(1)兩邊能直接開平方嗎？為什么？

(2)你認(rèn)為下一步該怎么辦？談?wù)勀愕目捶?

【教學(xué)說明】設(shè)置停頓并提出兩個(gè)問題的目的在于糾正學(xué)生的盲目行為，引導(dǎo)學(xué)生正確

認(rèn)識代數(shù)式b?-4ac的取值與此方程的解之間的關(guān)系，加深認(rèn)知.教學(xué)時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生積極主動(dòng)

思考，暢所欲言，在相互交流中促進(jìn)理解.

【討論結(jié)果】師生共同完善認(rèn)知：

(1)當(dāng)好-4QC>0時(shí)，兩邊可直接開平方,

-6+\/b2-4ac-b-qb~-4ac

x9X2

,?i~l5a=loa；

(2)當(dāng)/-4ac=0時(shí)，有(x+2)。=0.Xj=

2a

X,=-5(注意:防止出現(xiàn)x=-g的錯(cuò)誤認(rèn)識)；

laZa

(3)當(dāng)If-44c<0時(shí)，由(工+g尸<0可

2a

知,此方程無解.

一般地，式子b?-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)根的判別式，通常用△表示,

即A=b2-4ac.從而有：

①當(dāng)△=bJ-4ac>0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(aWO)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=b"-4ac=0

時(shí)，方程ax"+bx+c=O(aWO)有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=b"4acV0時(shí)，方程ax,bx+cWXaWO)

沒有實(shí)數(shù)解；

—h+h~—4"，、

②當(dāng)A20時(shí)，方程ax'bx+cRSWO)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根可寫成x=—,這個(gè)

2a

式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)的求根公式.

二、典例精析，掌握新知

例1不解方程，判別下列各方程的根的情況.

(l)x2+x+l=O;(2)X2-3X+2=0;(3)3X-A/2X=2.

【分析】找出方程中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，利用b'-4ac與0的大小關(guān)系

可得結(jié)論.注意：在確定方程中a、b、c的值時(shí)，一定要先把方程化為一般式后才能確定，

否則會(huì)出現(xiàn)失誤.

【解】由(1)；a=l,b=l,c=l,"TacnJxiXEVO,原方程無實(shí)數(shù)解；

(2)Va=l,b=-3,c-2,△=bL：-4ac=(-3);;-4X1X2=l>0,.,.原方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根;

(3)原方程可化為3x-V2x-2=0,.\a=3,b=-&,c=-2,/.△=b2-4ac=(-72)2-4X3

X(-2)=2+24=26>0....原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

例2用公式法解下列方程:

(1)X2-4X-7=0;(2)2X2-25/2X+1=0;(3)5x2-3x=x+l;(4)x2+17=8x

【分析】將方程化為一般形式后，找出a、b、c的值并計(jì)算b?-4ac后，可利用公式求

出方程的解.

【解】

解：(1)?「a=1,6=-4,c=-7A=-

4ac=(-4)2-4x1x(-7)=44>0,/.方程的

兩個(gè)實(shí)數(shù)根為X=4土2"二2土叵,即/二2

+7H,X2=2-x/n；

(2)".'a=2.6=-22,c=l,且

4ac=(-2①2_4x2xl=0,.?.方程有兩個(gè)相