華師版九年級數(shù)學上冊全冊教案教學設計含教學反思

華師版九年級數(shù)學上冊全冊教案教學設計含教學反思

第二十一章二次根式

21.1二次根式

【知識與技能】

1.理解二次根式的概念，并利用&(a>0)的意義解答具體題目.

2.理解右(a20)是非負數(shù)和(夜)Ja.

3.理解&=a(a》0)并利用它進行計算和化簡.

【過程與方法】

1.提出問題，根據(jù)問題給出概念，應用概念解決實際問題.

2.通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出&(a20)是一個非負數(shù)，用具

體數(shù)據(jù)結合算術平方根的意義導出(&)'a(a20),最后運用結論嚴謹解題.

3.通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究并利用這個結論解決具體問題.

【情感態(tài)度與價值觀】而

I-a(a<0)

通過具體的數(shù)據(jù)體會從特殊到一般、分類的數(shù)學思想，理解

二次根式的概念及二次根式的有關性質.

1.形如&(a20)的式子叫做二次根式.

2.6(a20)是一個非負數(shù)；(&)2=a(a20)及其運用.

利用“&(a30)”解決具體問題.

關鍵：用分類思想的方法導出a(a20)是一個非負數(shù)；用探究的方法導出

曲」a(a2O)

\-a(o<0)

多媒體課件.

回顧：

當a是正數(shù)時，、份表示a的算術平方根，即正數(shù)a的正的平方根.

當a是零時，右等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算術平方根.

當a是負數(shù)時，G沒有意義.

【教學說明】通過對算術平方根的回顧引入二次根式的概念.

一、思考探究，獲取新知

概括：&(a》0)表示非負數(shù)a的算術平方根，也就是說，?(a20)是一個非負

數(shù)，它的平方等于a.即有：

(1)4a>0；(2)(&)鼻(a20).

形如G(a20)的式子叫做二次根式.

注意：在右中，a的取值必須滿足a20,即二次根式的被開方數(shù)必須是非負數(shù).

思考：C等于什么？

我們不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3等，分別計算對應的標的值，看看有什么

規(guī)律.

概括：當a20時，=a；當a<0時，-\[a^=~a.

【教學說明】針對上述問題可給予時間讓學生討論，讓學生獨立思考。

二、運用新知，深化理解

Lx取什么實數(shù)時，下列各式有意義？

(1)6F⑵巫￥；

x-2

(3)V(x-3)2；(4)^7^4+\/4^3x

2.計算下列各式的值：

(1)(V18)2(2)(L

(3)(，)2(4)(35尸

3,若V^TTT+<^T=0,求，嚴4+/嚴4的值.

4.化簡：

(1)0;(2)“-4尸；

(3)唇(4)--3尸.

5,若-3WxW2時，試化簡I%-2I

+，(久+3尸.

【教學說明】可由學生搶答完成，再由老師總結歸納.

【答案】1.(1)冕這于(2)第2-1且工產

4

4

2(3)仝體實數(shù)(4)x=j

2.(1)18(2)彳(3)苒(4)453.2

316

4.(1)3(2)4(3)5(4)35.5

1.師生共同回顧二次根式的概念及有關性質：(1)(Va)=a(a^O)；(2)當a20時,

=a；當a<0時，=~a.

2.通過這節(jié)課的學習，你掌握了哪些新知識，還有哪些疑問？請與同伴交流.

【教學說明】教師引導學生回顧知識點，讓學生大膽發(fā)言，進行知識提煉和知識歸納.

「概念形如癡(67>0)的式子叫做二次根式.

二次—

根式-1性質1：(1)加20(420)

L性質-（2）（指）2=4（。20）

性質2Z止圖之.

.<???

1.布置作業(yè)：從教材相應練習和“習題21.1”中選取.

本節(jié)課從復習算術平方根入手引入二次根式的概念，再通過特殊數(shù)據(jù)的計算，理解二次

根式的有關性質，經歷觀察、歸納、分類討論等思維過程，從中獲得數(shù)學知識與技能，體驗

教學活動的方法.

第二十一章二次根式

21.2二次根式的乘除法

21.2.1二次根式的乘法

【知識與技能】

理解五'?孤=，茄(a》b,b20),并利用它們進行計算和化簡.

【過程與方法】

由具體數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出&?揚=，石(a20,b20)并運用它進行計算.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過探究&?孤=，石(a^O,b^O),培養(yǎng)特殊到一般的探究精神，培養(yǎng)學生對事

物規(guī)律的觀察發(fā)現(xiàn)能力，激發(fā)學生的學習興趣.

Ja?4b-4ab（a20,b20）,及它的運用.

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出，二J茄（a20,b20）.

多媒體課件.2

i.填空：

⑴Rx。=,

....，4..x9.+...........；.

(2)'底x后=,

716x25=；

(3)'/100x./56=,

7100x36=.

參照上面的結果，用或“="填空.

口xR、/4義9,

716x\/25_______\/16x25,

7100x底________710()x36

2.利用計算器計算填空.

五x8屁

區(qū)x5師

5xB回;

口x5v5o.

【教學說明】由學生通過具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出&?%=，石（aN0,bN0）.

一、思考探究，獲取新知

（學生活動）讓3、4個同學上臺總結規(guī)律.

教師點評：（1）被開方數(shù)都是正數(shù)；（2）兩個二次根式的積等于這樣一個二次根式，它

的被開方數(shù)等于前兩個二次根式的被開方數(shù)的積.

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

4a?Jh-4ab(a20,b20).：

例1計算：

(1)J5x/7；(2)Jjx5；

(3)9x師(4)JyX6.

解：(1)5xf7=燼；

⑶。X方=V^5<27=必X3=93；

【教學說明】引導學生應用公式

4~a?4b=\[ab(a20,b20).

二、運用新知，深化理解

1.直角三角形兩條直角邊的長分別為15cm和12cm,那么此直角三角形斜邊長是()

A.3V2cmB.3cmC.9cmD.27cm

2.化簡〃的結果是（）

A.\/-aB.A；

（】.—V—（1D.—J（i

3.等式\/x-1?\lx+1=Jx2-1成立的條

件是（）

A.xN1B?％N-1

C.D.xNl或

4.下列各等式成立的是()

A.45x25=85

B.53x4五=205

C.4J3x32=75

1).53x4僅=205

【答案】LB2.C3.A4.D

【教學說明】可由學生搶答完成，再由教師總結歸納.

1.由學生小組討論匯報通過這節(jié)課的學習，你掌握了哪些新知識，還有哪些疑問？請與

同伴交流.

2.教師總結歸納二次根式的乘法規(guī)定，??括二而(a^O.b^O).

【教學說明】教師引發(fā)學習回顧知識點，讓學生大膽發(fā)言，進行知識提煉和知識歸納.

一般地，有

yfa4h=4ab(a>0,Z>>0)

這就是說，兩個算術平方根的積，等于它們

被開方數(shù)的積的算術平方根.

1.布置作業(yè)：從教材“習題21.2”中選取.

這節(jié)課教師引導學生通過具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出?孤=疝(a2O,b2O),

并學會它的應用，培養(yǎng)學生由特殊到一般的探究精神，培養(yǎng)學生對于事物規(guī)律的觀察、發(fā)現(xiàn)

能力，激發(fā)學生的學習興趣.

第二十一章二次根式

21.2二次根式的乘除法

21.2.2積的算術平方根

【知識與技能】

1.^.^-4ab-4a?4b（a》O,b》O）；

2.isffl4ab-4a?Jb（a'O,b2O）.

【過程與方法】

利用逆向思維，得出而=五■?揚（a》O,b》O）,并運用它解題和化簡.

【情感態(tài)度與價值觀】

讓學生推導而=右?直（aeo,beO）以訓練逆向思維，通過嚴謹解題，增強學生

準確解題的能力.

-Jab-4a?4b(a20,b20)及其運用.

Jab?4h(a20,b20)的理解與應用.

多媒體課件.2

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為—二而（a》0,b20）.反過來，

y[ah=4a?4b（a20,b20）.

【教學說明】引導讓學生通過復習上節(jié)課學習的二次根式的規(guī)定，利用逆向思維，得出

4cib=4a?4b(a20,b20).

一、思考探究，獲取新知

例1化簡：

(1)<3TT6；(2)V16x81；

(3)V81x10()；(4)\M

解：(1)V5VT6=0x屈=3x4=12；

(2)W6x8l=\Mx聞=4x9=36；

(3)\/81x100=畫xx/TOO=9x1()

=90；

(4)回=\^x6=斤XB=3E

【教學說明】引導學生利用疝=—?揚(a20,b>0)直接化簡即可.

例2判斷下列各式是否正確，不正確的請改正：

(1)7(-4)X(-9)=\T^4x；

(2)屋疹二4xBx后

=4Bx底=4厄=8]3.

【教學說明】注意引導學生理解并掌握積的算術平方根應用的條件：a》0,b20.

二、運用新知，深化理解

1.化簡：(1)V20;(2)718;(3)V24；(4)病.

2.自由落體的公式為s=Lgt?(g為重力加速度，它的值為lOm/s?),若物體下落的高度

2

為120m,則下落的時間是s.

【答案】1.(1)25(2)3。(3)2B

(4)3B2.26

【教學說明】可由學生自主完成分組討論，小組代表匯報，再由老師總結歸納.

1.通過這節(jié)課的學習，你掌握了哪些新知識，還有哪些疑問？請與同伴交流.

2.教師總結歸納積的算術平方根等于各因式算術平方根的積，即

4ab=>[a?4b(a20,b20).

【教學說明】教師引導學生回顧知識點，讓學生大膽發(fā)言，進行知識提煉和知識歸納.

一般地，有

i4ab=y/a4b(a>0,/>>0)i

這就是說，積的平方根，等于各因式算

術平方根的積.

1.布置作業(yè)：從教材“習題21.2”中選取.

^g?@?

本課時教學以“自主探究一一合作交流”為主體形式，先給學生獨立思考的時間，提供

學生創(chuàng)新的空間與可能,再給不同層次的學生提供一個交流合作的機會,培養(yǎng)學生獨立探究、

合作學習的能力，訓練逆向思維，通過嚴謹解題，增加學生準確解題的能力.

第二十一章二次根式

21.2二次根式的乘除法

21.2.3二次根式的除法

【知識與技能】

1.理解堂=怖(aN0,b>0)和杳=堂(a20,b>0),并運用它們進行計算.

2.利用具體數(shù)據(jù)，通過學生練習活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出

逆向等式及利用它們進行計算和化簡.

3.理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.

【過程與方法】

4a

1.先由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出(a^0,b>0),并用它進行計算.

4b

_y/a

2.再利用逆向思維,得出(a>0,b>0),并運用它進行解題和化簡.

bJb

3.理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過探啜

;(a>0,b>0)培養(yǎng)學生由特殊到一般的探究精神；讓學生推導

^4〈a'。"〉。)以訓練逆向思維’通過嚴謹解題’增強學生準確解題的能力.

4a[a_yfa

1.理解(a>0,b>0),(a^0,b>0)及利用它們進行計算和化

y/b

2.最簡二次根式的運用.

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.最簡二次根式的運用.

多媒體課件.2

(學生活動)請同學們完成下列各題.

1.寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向公式.

2.填空：

zOJ9

/加-

\t-

716

/廊

(一

X2)一

3)q

4)

/怖

V=

回x/16

廊

國

而

/

l=

\

杯:

+L國

.A

3.利用計算器計算填空:

2\

一-

J3一

一7-

口

。

4\

=)=

5一/

規(guī):t

3

一

口

笈

5一

【教學說明】每組推薦一名學生上臺闡述運算結果，最后教師點評.

一、思考探究，獲取新知

剛才同學們都練習得很好，上臺的同學也回答得十分準確，根據(jù)大家的練習和回答，我

們可以得到：

一般地，對二次根式的除法規(guī)定:

4a_[a

(a>0,b>0)

反過來,(a20,b>0)

卜面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目.

例1計算:

直接利嗯

【教學說明】(a^0,b>0)

例2化簡:

觀察上面各小題的最后結果，發(fā)現(xiàn)這些二次根式有這些特點:

(1)被開方數(shù)中不含分母；

(2)被開方數(shù)中所含的因數(shù)(或因式)的基的指數(shù)都小于2.

【教學說明】利用二次根式的乘法、除法規(guī)定來化簡，要求最后結果化成最簡二次根式.

二、運用新知，深化理解

1.化簡:

(2)-V172-132；

(4)---.

8-2

2.已知'亍則〃的取值范圍

是.

3.如圖,在RtZ\ABC中，NC=90",AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的長.

A

【答案】1.(1)乎(2)-2750(3)

(4)8+五2.0<?^13.6.5cm

【教學說明】第1題可由學生自主完成，第2題、3題教師可給予相應的指導.

請若干學生口述小結，老師再利用電子課件將小結放映在屏幕上.

二次根式的除法

二次根式」1.被開方數(shù)有分母時，注意分母的取值范圍；

的化簡12.進行二次根式乘除運算或化簡時，結果要盡可能化簡.

1.布置作業(yè)：從教材“習題21.2”中選取.

本課時教學突出學生主體性原則，即通過探究學習，指導學生獨立思考，通過具體數(shù)據(jù)

得出規(guī)律，再讓學生相互交流，或上臺展示自己的發(fā)現(xiàn)，或表述個人的體驗，從中獲取成功

的體驗后，激發(fā)學生探究的激情.

第二H■?一章二次根式

21.3二次根式的加減法

【知識與技能】

1.掌握同類二次根式的概念，會判斷同類二次根式，會合并同類二次根式.

2.掌握二次根式加減乘除混合運算的方法.

【過程與方法】

通過二次根式的加減法運算培養(yǎng)學生的運算能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

形成良好的思維習慣，學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題，并能運用所學的知識解

決問題.

二次根式加減法的運算.

^80?

探討二次根式加減法的運算方法，快速準確進行二次根式加減法的運算.

多媒體課件.2

1.合并同類項：

(1)2x+3x；(2)2X-3X2+5X2.

解：⑴5x；(2)4x2.

這幾道題是你運用什么知識做的？加減法則.

2.化簡：

(1)停；(2)廊.

解：(1)T；(2)4區(qū)

3.如何進行二次根式的加減計算?先化簡，再合并.

4.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數(shù)相同，這些二次

根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數(shù)相同的二次根式.如2行與3正；

2瓜、3次與5次.

一、思考探究，獲取新知

例1計算：

(1)22+32；

(2)2區(qū)-3區(qū)+5區(qū)；

(3)7+2/7+3V55<7'；

(4)3B-23+8.

解：(1)5。；(2)8優(yōu);(3)12d(4)2區(qū)

例2計算：

(1)2V12-64+3腐；

(2)(41+廊)+(5).

解：(1)14J3；(2)3回+5.

【教學說明】進行二次根式的加減運算時，必須先將其化簡，是同類二次根式才可合并.

例3計算:

(1)(揭-5B).6；

(2)(5+B)?(5。-2B);

(3)(35+2))?(3J5-27)；

(4)(4+35產

4LL

解：(1)三-152；(2)19厲;(3)17；

(4)61+245.

【教學說明】在二次根式的運算中，多項式乘法法則和乘法公式仍然適用.

二、運用新知，深化理解

1.下列計算是否正確？為什么？

⑴底-B二癡二T；

(2)R+9=v?+9；

(3)35-J2=2J2.

2.以卜二次根式：①注；②厄;③停；

④加7中，與8是同類二次根式的是()

A.①和②B.②和③

C.①和④1).③和④

3.計算：

(1)網-畫+5；

(2)\M+(項-萬j；

(3)；(2+8)一;(2+歷)；

24

(4)3\M-9Jy+3712.

4.已知%=8+1,y=B-1，求下列各式的值

(1)X2+2xy+y2；(2)x2-y2.

【答案】L解：(1)不正確，此式結果為2

2-B；

(2)不正確,此式結果為5；(3)正確.

2.C

3.解：(1)35;

(2)10。一3B；

⑶丁?。?/p>

(4)15區(qū)

4.解:⑴12；(2)4區(qū)

【教學說明】這類計算的簡便方法是先變形，再代入求值.

請學生分組討論，小組代表匯報，教師展示本節(jié)課學習的知識要點.

^g?@?

1.同類二次根式

如-2G與4及，3人與-2萬

2.二次根式的加減

二次根式相加減，先把各個二次根式化簡，

再將同類二次根式合并.

1.布置作業(yè)：從教材“習題21.3”中選取.

18@?

本節(jié)課通過復習整式的加減法合并同類項，引入二次根式的概念及二次根式的合并方

法，對法則的教學與整式的加減比較學習，在理解、掌握和運用二次根式的加減法運算法則

的學習過程中，滲透了分析、概括、類比等數(shù)學思想方法，提高學生的思維品質和興趣.

第二十二章一元二次方程

22.1一元二次方程

【知識與技能】

1.知道一元二次方程的意義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(a

WO).

2.在分析、揭示實際問題的數(shù)量關系并把實際問題轉化為數(shù)學模型(一元二次方程)的

過程中，使學生感受方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的工具,增加對一元二次方程的感性認識.

【過程與方法】

通過解決實際問題，把實際問題轉化為數(shù)學模型，引入一元二次方程的概念，讓學生認

識一元二次方程及其相關概念，提高學生利用方程思想解決實際問題的能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過生活學習數(shù)學，并用數(shù)學解決生活中的問題來激發(fā)學生的學習熱情.

判定一個數(shù)是否是方程的根.

由實際問題列出的一元二次方程解出根后，還要考慮這些根是否確定是實際問題的根.

多媒體課件.2

問題1綠苑小區(qū)住宅設計，準備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長

方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？

【分析】設長方形綠地的寬為x米，不難列出方程x(x+10)=900,整理可得

X2+10X-900=0.(1)

問題2學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩

年的年平均增長率.

解：設這兩年的年平均增長率為x,我們知道，去年年底的圖書數(shù)是5萬冊，則今年年

底的圖書數(shù)是5(1+x)萬冊，同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年底的(1+x)倍，即5

(1+x)?(1+x)=5(1+x)2萬冊.可列得方程5(1+x)2=7.2,整理可得5<+10x-2.2=0(2)

【教學說明】教師引導學生列出方程，解決問題.

一、思考探究，獲取新知

思考、討論

問題1和問題2分別歸結為解方程（1）和（2）.顯然，這兩個方程都不是一元二次方

程.那么這兩個方程與一元二次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點呢？

共同特點：

（1）都是整式方程

（2）只含有一個未知數(shù)

（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2

【歸納總結】上述兩個整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,

這樣的方程叫做一元二次方程.通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑篴x2+bx+c=O（a,b、c是已知數(shù),

aWO）.其中ax?叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)，bx叫做一次項系數(shù)，c叫做常數(shù)項.

二、典例精析，掌握新知

例1判斷下列方程是否為一元二次方程：

I1-x2=0②2（x2-1）=3y

③2/-3.x-1=0@'4--=0

%%

（KK久+3）2=（》-3>⑥9%2=5-4x

解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.

【教學說明】（1）一元二次方程為整式方程；（2）類似⑤這樣的方程要化簡后才能判斷.

例2將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項

系數(shù).一次項系數(shù)及常數(shù)項.

解：2X2-13X+11=0；2,-13,11.

【教學說明】將一元二次方程化成一般形式時，通常要將首項化負為正，化分為整.

三、運用新知，深化理解

1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及

常數(shù)項.

（1）5X2-1=4X

（2）4x=81

(3)4x(x+2)=25

(4)(3x-2)(x+1)=8x-3

解：⑴5X2-4X-1=0；5,-4,-1；

(2)4x2-81=0：4,0,-81

(3)4X2+8X-25=0；4,8,-25

(4)3x-7x+>0；3,-7,1.

2.根據(jù)下列問題，列出關于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.

(1)4個完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形的邊長x；

(2)一個長方形的長比寬多2,面積是100,求長方形的長x；

(3)把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平

方，求較短一段的長X.

解：⑴4x=25；4xJ25=0；

(2)x(x-2)=100；x-2x-100=0；

(3)x=(1-x)2；x2-3x+l=0.

3.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一個根，求a的值.

解：：x=2是方程ax2+4x-5=0的一個根.

3

.?.4a+8-5=0解得：a=--.

4

L只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0(a#0),一元二次方程的項及系數(shù)都是根據(jù)

一般式定義的，這與多項式中的項、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致的.

3.在實際問題轉化為數(shù)學模型(一元二次方程)的過程中，體會學習一元二次方程的必

要性和重要性.

是整式方程

一元二次方程的概念只含有一個未知數(shù)

一未知數(shù)的最高次數(shù)是2

元

二

2

次一元二次方程的一般形式（ix+bx-=0（存0）

方

程

二次項系數(shù)

常數(shù)項

一元二次方程的解(根)一次項系數(shù)

4g???

1.布置作業(yè)：從教材“習題22.1”中選取.

學習本課時，可讓學生先自主探索再合作交流，小組內，小組之間充分交流后概括所得

結論，從而強化學生對一元二次方程的有關概念的認識，掌握建模思想，利用一元二次方程

解決實際問題.

第二十二章一元二次方程

22.2一元二次方程的解法

22.2.1直接開平方法和因式分解法

【知識與技能】

1.會用直接開平方法解形如a(x-k)2=b(aW0,ab20)的方程.

2.靈活應用因式分解法解一元二次方程.

3.使學生了解轉化的思想在解方程中的應用.

【過程與方法】

創(chuàng)設學生熟悉的問題情境，綜合運用探究式、啟發(fā)式、活動式等幾種方法進行教學.

【情感態(tài)度與價值觀】

鼓勵學生積極主動的參與“教”與“學”的整個過程，激發(fā)求知的欲望，體驗求知的成

功，增強學習的興趣和自信心.

利用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程.

合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練地解一元二次方程.

多媒體課件.2

問：怎樣解方程(x+1)2=256?

解：方法1：直接開平方，得x+l=±16

所以原方程的解是x,=15,X2=-17

方法2：原方程可變形為：

(x+1)--256=0,方程左邊分解因式，得(x+1+16)(x+1-16)=0

即(x+17)(x-15)=0

所以x+17=0或x-15=0

原方程的解*=15,X2=T7

【教學說明】讓學生說出作業(yè)中的解法，教師板書.

一、思考探究，獲取新知

探究一桶油漆可刷的面積為1500dm2,李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形

狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？

探究1設一個盒子的棱長為xdm,則它的外表面面積為，10個這種盒子的外表面面積

的和為，由此你可得到方程為，你能求出它的解嗎？

【教學說明】學生通過自主探究，嘗試用開平方法解決一元二次方程，體驗成功的快樂.

教師應關注學生的思考是否正確，是否注意到實際問題的解與對應的一元二次方程的解之間

的關系，幫助學生獲取新知.

【討論結果】解：6x2,10X6x；10X6x2=1500,整理得x?=25,根據(jù)平方根的意義，得x=

±5,可以驗證，5和-5是原方程的兩個根，因為棱長不能為負值，所以盒子的棱長為5dm,

故x=5dm.

【歸納結論】一般地，對于方程

x2=p,(1)

(1)當p>0時，根據(jù)平方根的意義，方程(【)有兩個不等的實數(shù)根

XI=-7P,X2=A；

(2)當p=0時，方程(I)有兩個相等的實數(shù)根Xi=Xz=O;

(3)當p<0時，因為對任意實數(shù)x,都有所以方程(I)無實數(shù)根.

探究2學生通過討論，交流得出方程為10『4.9/=0.

在學生用配方法或公式法求出上述方程的解后，教師引導學生嘗試找出其簡捷解法為：

x(10-4.9x)=0.x=0或10-4.9x=0,XFO,X=—七2.04.

249

從而可知物體被拋出約2.04s后落回到地面.

想一想以上解方程的方法是如何使二次方程降為一次方程的？

【教學說明】讓學生自主探索，進行歸納總結，既鍛煉學生的分析問題，解決問題能力，

又能培養(yǎng)總結化歸能力，并從中體驗轉化、降次的思想方法.

【討論結果】當方程的一邊為0,而另一邊可以分解成兩個一次因式的乘積時，利用

a?b=O,則a=0或b=0,把一元二次方程變?yōu)閮蓚€一元一次方程，從而求出方程的解.這種

解法稱為因式分解法.

二、典例精析，掌握新知

例1用直接開平方法解下列方程

(1)(3x+l)2=7；(2)y2+2y+l=24;(3)9n-24n+16=l1.

解：(i)一；7；

(2)-1±2⑹；

(3)4±41_

【教學說明】運用開平方法解形如(x+m):n(n>0)的方程時，最容易出現(xiàn)的錯誤是

漏掉負根.

例2用因式分解法解下列方程：

(1)5x-4x=0

(2)3x(2x+l)=4x+2

(3)(x+5)2=3X+15

_4

解：(1)%l=0,%2二彳

/、21

(2).=y,x2=-y

⑶=-5,%2=-2

【教學說明】解這里的(2)(3)題時，注意整體劃歸的思想.

三、運用新知，深化理解

1.用直接開平方法解下列方程

(1)3(x-1)-6=0

(2)x-4x+4=5

(3)(x+5)J25

(4)X2+2X+1=4

解：(1)%I=1+優(yōu),%2T-K

(2)陽=2+5,出=2-5

(3=0,久2=-10

(4)Q=1,叼=-3

2.用因式分解法解下列方程：

(1)f+%=0(2)x2-2樂=0

(3)3,-6x=-3(4)4.1121=0

(5)(%—4)2=(5-2%)2

解：(1)%]=0,%2=~1

(2).%=。,n=28

(3)%,="2=1

，八1111

(4)盯=—,x2=--

(5)久]=3,x2=1

3.把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小圓形場地

的半徑.

解：設小圓形場地的半徑為xm.

則可列方程2nx1n(x+5)；

解得Xi=5+5,X2=5-5(舍去).

答：小圓形場地的半徑為(5+5a)m.

【教學說明】可由學生自主完成例題，分小組展示結果，教師點評.

1.引導學生回憶用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步驟.

2.對于形如a(x-k)Jb(a#O,b'O)的方程，只要把(x-k)看作一個整體，就可轉

化為x2=n(n>0)的形式用直接開平方法解.

3.當方程出現(xiàn)相同因式(單項式或多項式)時，切不可約去相同因式，而應用因式分解

法解.

因式分解的方法有

ma+mb+me=m(a+b+c);

將方程左邊因式

22

分解，右邊=0.a±2ab+b=(a±6戶；

a2-h2=(a+b)(a-h).

因式分解法原理如果。,力=0，那么o=0或6=0.

簡記歌訣：

步驟右化零左分解

兩因式各求解

1.布置作業(yè)：從教材“習題22.2”中選取.

本節(jié)課教師引導學生探討直接開平方法和因式分解法解一元二次方程，讓學生小組討

論，歸納總結探究，掌握基本方法和步驟，合理、恰當、熟練地運用直接開平方法和因式分

解法，在整個教學過程中注意整體劃歸的思想.

22.2.2配方法

【知識與技能】

掌握用配方法解一元二次方程.

【過程與方法】

理解通過變形運用開平方法解一元二次方程的方法，進一步體驗降次的數(shù)學思想方法.

【情感態(tài)度與價值觀】

在學生合作交流過程中，進一步增強合作交流意識，培養(yǎng)探究精神，增強數(shù)學學習的樂

趣.

用配方法解一元二次方程的方法和技巧.

用配方法解一元二次方程的方法和技巧.

多媒體課件.

問題要使一塊長方形的場地的長比寬多6m,并且面積為16m*場地的長與寬各是多少？

思考如果設這個長方形場地的寬為xm,則長為,由題意可列出的方程

為，你能將此方程化為（x+n）Jp的形式，并求出它的解嗎？

【教學說明】經歷從實際問題中抽象出一元二次方程模型的過程，進一步增強學生的數(shù)

學建模能力，并通過思考，用類比、轉化思想方法探索出解這類方程的一種方法，導入新課.

教學過程中，應給予學生充分思考，交流活動時間，達到探索新知的目的.

一、思考探究，獲取新知

討論:配方法屆一元二次方程的一般步驟：

【討論結果】（1）現(xiàn)將已知方程化為一般形式；（2）化二次項系數(shù)為1；（3）常數(shù)項移

到右邊；（4）方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；（5）

變形為（x+p）2=q的形式，如果q》0,方程的根是X=-p±Jq；如果q<0,方程無實根.

二、典例精析，掌握新知

例1解下列方程

(1)2X2+1=3X(2)3xJ-6x+4=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0

【分析】我們已經介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配

一個含有x的完全平方.

【解】略

三、運用新知，深化理解

1.將二次三項式x?-4x+2配方后，得()

A.(x-2).2

B.(x-2)-2

C.(X+2)2+2

D.(X+2)2-2

2.已知XJ8X+15=0,左邊化成含x的完全平方式，其中正確的有()

A.X-8X+(-4)M1

B.x-8x+(-4)=l

C.XZ+8X+42=1

D.X2-4X+4=-11

r2—r—2

3.若代數(shù)式，的值為0,則x的值為_______.

x-1

4.方程x-2x-3=0的解為.

5.要使一塊長方形場地的長比寬多3m,其面積為28m試求這個長方形場地的長與寬

各是多少？

【教學說明】通過上述幾道題目的練習，可進一步鞏固對本節(jié)知識的理解和領悟.

【答案】LB

2.B

3.x=2

4.Xi=-1,X2=3

5.長與寬分別為7nl和4m.

1.通過本節(jié)課的學習，你能用配方法解一元二次方程嗎？有哪些需要注意的地方？

2.用配方法解一元二次方程涉及哪些數(shù)學思想方法？

【教學說明】讓學生通過對上述問題的回顧與思考，反思學習體會，完善知識體系.

1.通過配成完全平方的形式來解方程的方法，

叫做配方法.

2.用配方法解『II次方程的一般步驟：

一移T二化T三配一四開.

?@?

1.布置作業(yè)：從教材“習題22.2”中選取.

1.本節(jié)課，重在學生的自主參與，進而獲得成功的體驗，在數(shù)學方法上，仍突出數(shù)學研

究中轉化的思想，激發(fā)學生產生合理的認識沖突，激發(fā)興趣，建立自信心.

2.在練習內容上，有所改進，加強了核心知識的理解與鞏固，提高自己解決問題的能力，

感受數(shù)學創(chuàng)造的樂趣，提高教學效果.

3.用配方法解一元二次方程是學習解一元二次方程的基本方法,后面的求根公式是在配

方法的基礎上推出的，配方法在使用時又與原來學習的完全平方式聯(lián)系密切，用配方法解一

元二次方程既是對原來知識的鞏固，又是對后面學習內容的鋪墊.在二次函數(shù)頂點坐標的求

解中也同樣使用的是配方法，因此配方法是一種基本的數(shù)學解題方法.

22.2.3公式法

【知識與技能】

i.理解并掌握求根公式的推導過程；

2.能利用公式法求一元二次方程的解.

【過程與方法】

經歷探索求根公式的過程，加強推理技能，進一步發(fā)展邏輯思維能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

用公式法求解一元二次方程的過程中，鍛煉學生的運算能力，養(yǎng)成良好的運算習慣，培

養(yǎng)嚴謹認真的科學態(tài)度.

用公式法解一元二次方程.

推導一元二次方程求根公式的過程.

多媒體課件

我們知道，對于任意給定的一個一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出

它的兩個實數(shù)根.事實上，任何一個一元二次方程都可以寫成ax?+bx+c=O的形式，我們是否

也能用配方法求出它的解呢？想想看，該怎樣做？

【教學說明】讓學生回顧用配方法解一元二次方程的一般過程，從而嘗試著求

ax2+bx+c=0(aWO)的方程的解，導入新課，教學時，應給予足夠的思考時間，讓學生自主

探究.

一、思考探究，獲取新知

通過問題情境思考后，師生共同探討方程ax2+bx+c=O(a#0)的解.

bc

由ax'+bx+c=O(aWO),移項，ax?+bx=-c.二次項系數(shù)化為1,得x、一x=--.配方，得

aa

bb.c.b.b,b2-4ac

x2+-x+(t—)2=——+(h)-2，InrPl/2

a2aa2a2a4a~

至此，教師應作適當停頓，提出如下問題，引導學生分析、探究：

(1)兩邊能直接開平方嗎？為什么？

(2)你認為下一步該怎么辦？談談你的看法.

【教學說明】設置停頓并提出兩個問題的目的在于糾正學生的盲目行為，引導學生正確

認識代數(shù)式b?-4ac的取值與此方程的解之間的關系，加深認知.教學時，應讓學生積極主動

思考，暢所欲言，在相互交流中促進理解.

【討論結果】師生共同完善認知：

(1)當好-4QC>0時，兩邊可直接開平方,

-6+\/b2-4ac-b-qb~-4ac

x9X2

,?i~l5a=loa；

(2)當/-4ac=0時，有(x+2)。=0.Xj=

2a

X,=-5(注意:防止出現(xiàn)x=-g的錯誤認識)；

laZa

(3)當If-44c<0時，由(工+g尸<0可

2a

知,此方程無解.

一般地，式子b?-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)根的判別式，通常用△表示,

即A=b2-4ac.從而有：

①當△=bJ-4ac>0時，方程ax2+bx+c=0(aWO)有兩個不相等的實數(shù)根；當△=b"-4ac=0

時，方程ax"+bx+c=O(aWO)有兩個相等實數(shù)根；當△=b"4acV0時，方程ax,bx+cWXaWO)

沒有實數(shù)解；

—h+h~—4"，、

②當A20時，方程ax'bx+cRSWO)的兩個實數(shù)根可寫成x=—,這個

2a

式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)的求根公式.

二、典例精析，掌握新知

例1不解方程，判別下列各方程的根的情況.

(l)x2+x+l=O;(2)X2-3X+2=0;(3)3X-A/2X=2.

【分析】找出方程中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項，利用b'-4ac與0的大小關系

可得結論.注意：在確定方程中a、b、c的值時，一定要先把方程化為一般式后才能確定，

否則會出現(xiàn)失誤.

【解】由(1)；a=l,b=l,c=l,"TacnJxiXEVO,原方程無實數(shù)解；

(2)Va=l,b=-3,c-2,△=bL：-4ac=(-3);;-4X1X2=l>0,.,.原方程有兩個不相等實數(shù)根;

(3)原方程可化為3x-V2x-2=0,.\a=3,b=-&,c=-2,/.△=b2-4ac=(-72)2-4X3

X(-2)=2+24=26>0....原方程有兩個不相等的實數(shù)根.

例2用公式法解下列方程:

(1)X2-4X-7=0;(2)2X2-25/2X+1=0;(3)5x2-3x=x+l;(4)x2+17=8x

【分析】將方程化為一般形式后，找出a、b、c的值并計算b?-4ac后，可利用公式求

出方程的解.

【解】

解：(1)?「a=1,6=-4,c=-7A=-

4ac=(-4)2-4x1x(-7)=44>0,/.方程的

兩個實數(shù)根為X=4土2"二2土叵,即/二2

+7H,X2=2-x/n；

(2)".'a=2.6=-22,c=l,且

4ac=(-2①2_4x2xl=0,.?.方程有兩個相