完全平方數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)（初一）

完全平方數(shù)預(yù)備知識：，，一、基本概念及性質(zhì)一個數(shù)如果是一個整數(shù)的平方，則稱之為完全平方數(shù)。比如0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…特殊地，0也是一個完全平方數(shù)，且是最小的一個。很顯然，正整數(shù)中，完全平方數(shù)有無限多個。關(guān)于完全平方數(shù)，有以下的性質(zhì)：（1）任何完全平方數(shù)的個位數(shù)字只能是0，1，4，5，6，9中的一個，不能是2，3，7，8.證明：平方運算結(jié)果的個位數(shù)字取決于底數(shù)的個位數(shù)字，與其他位上的數(shù)字沒有關(guān)系，因此按照個位分別是0~9討論，立得上述結(jié)果。（2）偶完全平方數(shù)是4的倍數(shù)。證明：設(shè)一個偶數(shù)為2n，則（2n）2=4n2.（3）奇完全平方數(shù)是8的倍數(shù)余1.證明：用表示一個奇數(shù)，則=，其中為相鄰兩數(shù)之積，必為偶數(shù)，因此為8的倍數(shù)加1.（4）奇完全平方數(shù)的十位數(shù)字一定是偶數(shù)。證明：首先注意到它們的十位都是偶數(shù)。一般地，對一個奇數(shù)，，當b是奇數(shù)時，的十位與的十位相同，為偶數(shù)。（5）如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6；反之，如果完全平方數(shù)的個位數(shù)字是6，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。證明：我們僅證明后一個結(jié)論。已知=10k+6，證明k為奇數(shù)。因為的個位數(shù)為6，所以m的個位數(shù)為4或6，于是可設(shè)m=10n+4或10n+6。則10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6，即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3，∴k為奇數(shù)。推論1：如果一個數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，而個位數(shù)字不是6，那么這個數(shù)一定不是完全平方數(shù)。推論2：如果一個完全平方數(shù)的個位數(shù)字不是6，則它的十位數(shù)字是偶數(shù)。（6）完全平方數(shù)有奇數(shù)個不同的正約數(shù)。證明：先介紹一個一般性的結(jié)論。一個正整數(shù)a分解質(zhì)因數(shù)結(jié)果為，則a有個不同的正約數(shù)。應(yīng)用以上結(jié)論，完全平方數(shù)因式分解的結(jié)果中，所有的都是偶數(shù)，因此（+1）都是奇數(shù)，任意多個奇數(shù)相乘的結(jié)果還是奇數(shù)。（7）完全平方數(shù)與完全平方數(shù)的積還是完全平方數(shù)，完全平方數(shù)與非完全平方數(shù)的積是非完全平方數(shù)。證明：這一點可以根據(jù)分解質(zhì)因數(shù)得到。(8)在兩個相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù)，即若<k<(n+1)則k一定不是完全平方數(shù)。二、例題分析例1、一個自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。解：設(shè)此自然數(shù)為x，依題意可得(m,n為自然數(shù))(2)-(1)可得，即(但89為質(zhì)數(shù)，其正因子只能是1與89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數(shù)是1981。例2、求證：四個連續(xù)的整數(shù)的積加上1，等于一個奇數(shù)的平方(1954年基輔數(shù)學(xué)競賽題)。分析:設(shè)四個連續(xù)的整數(shù)為，其中n為整數(shù)。欲證是一奇數(shù)的平方，只需將它變成一個奇數(shù)的平方即可。證明:設(shè)這四個整數(shù)之積加上1為m，則而n(n+1)是兩個連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù)；又因為2n+1是奇數(shù)，因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)。這就證明了m是一個奇數(shù)的平方。例3.求證：五個連續(xù)整數(shù)的平方和不是完全平方數(shù).證明：設(shè)五個連續(xù)整數(shù)為m－2,m－1,m,m+1,m+2.其平方和為S.那么S＝（m－2）2＋（m－1）2＋m2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m2+2）.∵m2的個位數(shù)只能是0，1，4，5，6，9∴m2+2的個位數(shù)只能是2，3，6，7，8，1∴m2+2不能被5整除.而5（m2+2）能被5整除，即S能被5整除，但不能被25整除.∴五個連續(xù)整數(shù)的平方和不是完全平方數(shù).質(zhì)數(shù)合數(shù)一、內(nèi)容提要1、正整數(shù)的一種分類：質(zhì)數(shù)的定義：如果一個大于1的正整數(shù)，只能被1和它本身整除，那么這個正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（質(zhì)數(shù)也稱素數(shù)）。合數(shù)的定義：一個正整數(shù)除了能被1和本身整除外，還能被其他的正整數(shù)整除，這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)。根椐質(zhì)數(shù)定義可知質(zhì)數(shù)只有1和本身兩個正約數(shù)。質(zhì)數(shù)中只有一個偶數(shù)2。如果兩個質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)，那么其中必有一個是2；如果兩個質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)，那么其中也必有一個是2。3、任何合數(shù)都可以分解為幾個質(zhì)數(shù)的積。能寫成幾個質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)就是合數(shù)。二、例題例1兩個質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)a(a≥5)，求這兩個數(shù)。解：∵兩個質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)∴必有一個是2所求的兩個質(zhì)數(shù)是2和a－2。例2已知兩個整數(shù)的積等于質(zhì)數(shù)m,求這兩個數(shù)。解：∵質(zhì)數(shù)m只含兩個正約數(shù)1和m,又∵（－1）（－m）=m∴所求的兩個整數(shù)是1和m或者－1和－m.例3已知三個質(zhì)數(shù)a,b,c它們的積等于30，求適合條件的a,b,c的值。解：分解質(zhì)因數(shù)：30＝2×3×5適合條件的值共有：，，，，，應(yīng)注意上述六組值的書寫排列順序，本題如果改為4個質(zhì)數(shù)a,b,c,d它們的積等于210,即abcd=2×3×5×7，那么適合條件的a，b，c，d值共有24組，試把它寫出來。例4試寫出4個連續(xù)正整數(shù)，使它們個個都是合數(shù)。解：（本題答案不是唯一的）設(shè)N是不大于5的所有質(zhì)數(shù)的積，即N＝2×3×5